常山

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥230009)

點(diǎn)群的復(fù)表示環(huán)之增廣商群

常山

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥230009)

設(shè)G是有限群，R(G)為G的復(fù)表示環(huán)，I(G)為其增廣理想.對(duì)第一類(lèi)點(diǎn)群(特殊正交群SO3(R)的有限子群)和任意的自然數(shù)n，給出了增廣理想的n次冪In(G)作為自由交換群的基底，并確定了其增廣商群In(G)/In+1(G)的結(jié)構(gòu).

點(diǎn)群;復(fù)表示環(huán);增廣商群

設(shè)G是有限群，G的一個(gè)復(fù)矩陣表示(以下簡(jiǎn)稱(chēng)表示)是指群同態(tài)

其中:GLd(C)是d階復(fù)一般線性群，正整數(shù)d為表示p的維數(shù).G的兩個(gè)表示p和q稱(chēng)為是等價(jià)的，如果存在可逆方陣K，使得

記表示p，q的等價(jià)類(lèi)為［p］，［q］，定義加法［p］+［q］=［p⊕q］，其中

可以證明，G的所有表示的同構(gòu)類(lèi)組成的集合在如上定義的加法下構(gòu)成一個(gè)交換半群，該交換半群的群完備化即為G的復(fù)表示環(huán)R(G)，其加法和乘法分別由矩陣的直和和張量積誘導(dǎo).由文［1］可知，R(G)是一個(gè)含單位元的交換環(huán)，其加法群是以G的所有不可約表示的等價(jià)類(lèi)為基底的自由交換群，秩等于G的共軛類(lèi)的個(gè)數(shù).

表示的維數(shù)誘導(dǎo)了R(G)上的一個(gè)典范環(huán)同態(tài)

稱(chēng)為R(G)的增廣映射，α的核I(G)稱(chēng)為R(G)的增廣理想.記I(G)的n次冪為In(G)，稱(chēng)

為R(G)的第n個(gè)增廣商群.

確定In(G)和Qn(G)的結(jié)構(gòu)是代數(shù)表示理論中一個(gè)十分有意義的課題.在文［2－3］中，作者對(duì)二面體群Dm給出了In(Dm)作為自由交換群的一組基底并完全確定了Qn(Dm)的結(jié)構(gòu).此外，作者還證明了對(duì)任意的有限交換群G，有

其中:Δ(G)是G的整群環(huán)ZG的增廣理想.

Karpilovsky在文［4］中提出了如下公開(kāi)問(wèn)題:對(duì)任意的有限群G和所有的正整數(shù)n，確定商群Δn(G)/Δn+1(G)的結(jié)構(gòu)和同構(gòu)分類(lèi).關(guān)于這個(gè)公開(kāi)問(wèn)題已有許多的文獻(xiàn)進(jìn)行了研究，如文［5－8］.值得一提的是，作者和唐國(guó)平在文［8］中對(duì)任意的有限交換群徹底解決了這個(gè)公開(kāi)問(wèn)題，從而對(duì)任意有限交換群G確定了Qn(G)的結(jié)構(gòu).

第一類(lèi)點(diǎn)群是特殊正交群SO3(R)有限子群，包括有限循環(huán)群、二面體群、正四面體群T、正八面體群O和正二十面體群I.論文對(duì)任意正整數(shù)n，給出了T，O，I的復(fù)表示環(huán)的增廣理想的n次冪作為自由交換群的一組基底，并完全確定了其增廣商群的結(jié)構(gòu).因?yàn)門(mén)，O，I分別同構(gòu)于A4，S4，A5，所以論文的結(jié)果同時(shí)確定了Qn(A4)，Qn(S4)，Qn(A5)的結(jié)構(gòu)，這里Am和Sm分別表示m元的交錯(cuò)群和對(duì)稱(chēng)群.

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)列出若干關(guān)于Qn(G)和有限生成自由交換群的已知結(jié)果.

定理1［3］對(duì)任意的正整數(shù)n，Qn(G)是有限交換|G|－扭群.

推論1［3］設(shè)G的共軛類(lèi)個(gè)數(shù)為c(G)，則對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，In(G)都是秩為c(G)－1的自由交換群.

引理1［9］設(shè)H是秩為N的自由交換群，如果H中有N個(gè)元生成H，則這N個(gè)元組成H的基底.

有限群表示論中的一個(gè)經(jīng)典結(jié)果是兩個(gè)表示等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)它們的特征標(biāo)相等，表示的特征標(biāo)誘導(dǎo)單同態(tài)

f將表示的同構(gòu)類(lèi)［p］映到p的特征標(biāo)

特征標(biāo)在G的共軛類(lèi)上不變，因此用表1刻畫(huà)G的所有不可約表示的同構(gòu)類(lèi).其中:c1={1}，c2，…，cr是G的所有共軛類(lèi);［p1］，［p2］，…，［pr］是G的所有不可約表示的同構(gòu)類(lèi);fi是pi的特征標(biāo).特別地，［p1］是G的平凡表示，di=fi(1)是pi的維數(shù).

表1 G的特征標(biāo)表Tab.1 Character table of G

約定如下記號(hào):若gi∈ci，則用gi代表共軛類(lèi)ci;設(shè)S是R(G)的子集，用ZS表示S中元的所有整系數(shù)線性組合組成的集合;用Cm表示m階循環(huán)群.

2 Qn(T)的結(jié)構(gòu)

由文［10］可得正四面體群T(或A4)的特征標(biāo)表，如表2所示.其中

表2 T的特征標(biāo)表Tab.2 Character table of T

由此可得R(T)的乘法表，如表3所示.

表3 R(T)的乘法表Tab.3 M ultiplication table of R(T)

引理2設(shè)E=［p1］－［p2］，F(xiàn)=［p1］－［p3］，X=［p1］+［p2］+［p3］－［p4］，則

(1)I(T)是以{E，F(xiàn)，X}為基底的自由交換群;

(2)EX=0，F(xiàn)X=0，E2=2E－F，F(xiàn)2=2F－E，EF=E2+F2=E+F，X2=4X.

證明(1)由推論1和表2可知I(T)的秩為3，因此僅需證明{E，F(xiàn)，X}生成I(T).令

則a1+a2+a3+3a4=0.易見(jiàn)

于是

(2)由表3計(jì)算即得.

定理2對(duì)任意的正整數(shù)n，In(T)是以{En，En－1F，Xn}為基底的自由交換群.

證明僅需(1)生成In(T).根據(jù)引理2，In(T)可由{En，En－1F，…，F(xiàn)n，Xn}生成.在等式F2=EFE2的兩側(cè)依次乘以Fn－2，EFn－3，…，En－2可得

定理3對(duì)任意的正整數(shù)n，Qn(T)≌C3⊕C4.

證明對(duì)任意正整數(shù)n，由定理2和引理2可得

In+1(T)=Z{En+1，EnF，Xn+1}=Z{2En－En－1F，En+En－1F，4Xn}=Z{3En，En+En－1F，4Xn}.

易見(jiàn){En，En+En－1F，Xn}也是In(T)的一組基底，于是

3 Qn(O)的結(jié)構(gòu)

由文［9］可得正四面體群O(或S4)的特征標(biāo)表，如表4所示.

表4 O的特征標(biāo)表Tab.4 Character table of O

由此可得R(O)的乘法表，如表5所示.

表5 R(O)的乘法表Tab.5 M ultiplication table of R(O)

引理3設(shè)E=［p1］－［p2］，F(xiàn)=［p4］－［p5］，X=［p1］+［p3］－［p4］，Y=［p1］+［p2］－［p3］.那么

(1)I(O)是以{E，F(xiàn)，X，Y}為基底的自由交換群;

(2)EY=FY=XY=0，EX=FX=E+F，E2=F2=2E，EF=2F，X2=4X－E－F，Y2=3Y.

證明(1)根據(jù)推論1和表4，I(O)的秩為4，因此僅需證明{E，F(xiàn)，X，Y}生成I(O).令

則a1+a2+2a3+3a4+3a5=0.計(jì)算可得

于是

(2)由表5計(jì)算即得.

定理4對(duì)任意的n≥2，In(O)是以{En，En－1X，Xn，Yn}為基底的自由交換群.

證明易見(jiàn)僅需證明對(duì)任意的n≥2，(20)生成In(O).由等式EY=FY=XY=0和EX=FX可知

是In(O)的一個(gè)生成元集.由E2=F2可得

再由EX2=(E+F)X=2EX=E2X，得

于是In(O)可由{En，En－1F，En－1X，Xn，Yn}生成.最后，由引理3計(jì)算可知En－1X=En－1+En－2F，從而

由文［9］可得正二十面體群I(或A5)的特征標(biāo)表，如表6所示.

證明首先計(jì)算Q1(O).由定理4可得

另一方面，{E，E+F，X，Y}顯然也是I(O)的基底，于是

設(shè)n≥2，計(jì)算可得

從而

因此，由定理4可知對(duì)任意的n≥2，有

4 Qn(I)的結(jié)構(gòu)

表6 I的特征標(biāo)表Tab.6 Character table of I

由此可得R(I)的乘法表，如表7所示.其中:∑=［p1］+［p2］+［p3］+［p4］+［p5］.

表7 R(I)的乘法表Tab.7 Multiplication table of R(I)

引理4設(shè)E=［p1］+［p2］－［p4］，F(xiàn)=［p1］+［p3］－［p4］，X=［p1］－［p2］－［p3］+［p5］，Y =［p1］+［p4］－［p5］，則

(1)I(I)是以{E，F(xiàn)，X，Y}為基底的自由交換群;

(2)EY=FY=XY=0，EX=FX=0，E2+F2=3EF，E2=4E－F，EF=E+F，X2=4X，Y2=3Y.

證明(1)由推論1和表6可知I(I)的秩為4，因此僅需證明{E，F(xiàn)，X，Y}生成I(I).令

則a1+3a2+3a3+4a4+5a5=0.計(jì)算可得

于是

(2)由表7計(jì)算即得.

定理6對(duì)任意的正整數(shù)n，In(I)是以{En，En－1F，Xn，Yn}為基底的自由交換群.

證明由引理4，僅需對(duì)n≥2證明.由等式EY=FY=XY=0和EX=FX=0，可知In(I)可由

生成.在等式F2=3EF－E2的兩側(cè)依次乘以Fn－2，EFn－3，…，F(xiàn)n－2可得

定理7對(duì)任意的正整數(shù)n，Qn(I)≌C3⊕C4⊕C5.

證明對(duì)任意的正整數(shù)n，由定理6和引理4可得

另一方面，易見(jiàn){En，En+En－1F，Xn，Yn}也是In(I)的基底，因此，對(duì)任意的正整數(shù)n，有

5 關(guān)于Qn(Am)結(jié)構(gòu)的猜想

注意到A3是交換群，且A3≌C3，于是由文［3］和［8］可得

結(jié)合定理3和定理7，猜測(cè)對(duì)任意的m≥3和任意的正整數(shù)n，有

［1］Magurn B A.An algebraic introduction to K－theory［M］.Combridge:Combridge University Press，2002:252－277.

［2］Fulton W，Harris J.Representation theory:a first course［M］.New York:Springer－Verlag，1991:12－18.

［3］Chang S，Chen H，Tang G P.Augmentation quotients for complex representation rings of dihedral groups［J］.Front Math China，2012，7(1):1－18.

［4］Karpilovsky G.Commutative group algebras［M］.Michigan:Marcel Dekker，1983:202－211.

［5］Hales AW.Stable augmentation quotients of abelian groups［J］.Pacific JMath，1985，118(2):401－410.

［6］Tang G P.On a problem of Karpilovsky［J］.Algebra Colloq，2003，10(1):11－16.

［7］Tang G P.Structure ofaugmentation quotients of finite homocyclic abelian groups［J］.SciChina Ser A，2007，50(7): 1280－1288.

［8］Chang S，Tang G P.A basis for augmentation quotients of finite abelian groups［J］.JAlgebra，2011，327(1):466－488.

［9］Lang S.Algebra［M］.3rd ed.New York:Springer，2002:42－47.

［10］孟道驥，朱萍.有限群表示論［M］.北京:科學(xué)出版社，2006:56－81.

(責(zé)任編輯 朱夜明)

Augmentation quotients for com plex representation rings of point groups

CHANG Shan
(School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China)

Let G be a finite group，R(G)its complex representation ring，and I(G)its augmentation ideal.This paper obtained an explicit Z－basis of In(G)and determined the isomorphism class of the n－th augmentation quotient In(G)/In+1(G)for the first type of pointgroup(i.e.finite subgroup of the special orthogonal group SO3(R))and for each positive integer n.

point group;complex representation ring;augmentation quotient

O153

A

1000－2162(2014)04－0013－07

10.3969/j.issn.1000－2162.2014.04.003

2014－02－21

國(guó)家自然科學(xué)基金天元專(zhuān)項(xiàng)(11226066);安徽省自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目(1308085QA01)

常山(1983—)，男，安徽合肥人，合肥工業(yè)大學(xué)講師，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)博士后.