高洪波，李允公，劉 杰

（1．東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng) 110819；2．遼寧省交通高等專(zhuān)科學(xué)校 機(jī)電工程系，沈陽(yáng) 110122）

齒面磨損是齒輪傳動(dòng)裝置中常見(jiàn)的失效形式［1］，其機(jī)理通常是所謂的磨料磨損。當(dāng)齒輪發(fā)生磨損時(shí)，將破壞齒輪輪齒接觸表面，使輪齒齒廓偏離理想的嚙合齒廓，造成嚙合過(guò)程中的沖擊與局部齒面接觸載荷增大，削弱齒輪接觸強(qiáng)度，從而引起齒面的進(jìn)一步破壞［2］。對(duì)這種早期故障進(jìn)行監(jiān)測(cè)與診斷，可避免斷齒等惡性故障的發(fā)生。

陳予恕等［3－4］指出對(duì)齒輪箱等旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)的故障建立合理的動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)故障的演化過(guò)程及動(dòng)力學(xué)機(jī)理進(jìn)行分析，可為某些疑難振動(dòng)故障的機(jī)理研究、控制和預(yù)測(cè)提供指導(dǎo)。在齒輪磨損故障動(dòng)力學(xué)研究方面，Yesilyurt等［5］基于振動(dòng)模態(tài)分析方法對(duì)磨損輪齒嚙合剛度進(jìn)行測(cè)量，并得出輪齒嚙合剛度隨著齒面磨損呈現(xiàn)近似線性的下降。Choy等［6］建立含點(diǎn)蝕和磨損損傷的齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真模型，并以嚙合剛度幅值和相位的改變來(lái)對(duì)齒面磨損進(jìn)行模擬。王彥剛等［7－8］建立了含磨損故障的齒輪系統(tǒng)單自由度非線性振動(dòng)模型，以不同的間隙非線性函數(shù)來(lái)模擬全齒磨損和單齒磨損，并利用混沌振子方法對(duì)系統(tǒng)的分叉與混沌運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了研究。但齒輪系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的非線性機(jī)械系統(tǒng)，齒面磨損會(huì)引起齒輪系統(tǒng)齒形誤差、剛度、摩擦力等諸多動(dòng)力學(xué)參數(shù)的變化，必須綜合進(jìn)行考慮；且由于各齒磨損量的差異、齒輪系統(tǒng)偏心和軸承的振動(dòng)等原因，兩齒輪嚙合時(shí)齒側(cè)間隙是時(shí)變的，上述基于固定的齒側(cè)間隙并簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)的齒輪磨損故障動(dòng)力學(xué)模型，不能全面地反映故障系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，并且沒(méi)有考慮齒輪系統(tǒng)存在的偏心及對(duì)隨之產(chǎn)生的偏心磨損進(jìn)行分析。因此，本文綜合考慮齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)嚙合剛度、摩擦與節(jié)線沖擊、偏心等建立了基于動(dòng)態(tài)齒側(cè)間隙的單級(jí)圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)嚙合耦合型動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)齒輪系統(tǒng)普遍存在的齒面均勻磨損故障和偏心磨損故障的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了模擬，分析了不同形式和程度的齒面磨損故障下齒輪系統(tǒng)傳遞誤差、振動(dòng)沖擊狀態(tài)和振動(dòng)劇烈程度等的變化情況。最后，依據(jù)齒輪實(shí)驗(yàn)臺(tái)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)理論分析結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 動(dòng)力學(xué)模型的建立

建立單級(jí)直齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)嚙合耦合型動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示，兩齒輪的齒數(shù)分別為z1、z2，基圓半徑為Rp、Rg。假設(shè)：傳動(dòng)軸為短剛性軸，不存在擺動(dòng)；軸兩端的軸承具有相同的剛度和阻尼；箱體為剛體；在靜態(tài)條件下，系統(tǒng)各零件處于準(zhǔn)確安裝位置；不計(jì)重力的影響。因此，模型為二維平面振動(dòng)系統(tǒng)，具有6個(gè)自由度，分別為主、被動(dòng)齒輪繞旋轉(zhuǎn)中心的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)自由度θp、θg和在 x、y方向的平移自由度 xp、yp、xg、yg。kij、cij（i＝p，g，j＝x、y）分別為傳動(dòng)軸、軸承和箱體等的支承剛度和阻尼的組合等效值。

圖1 齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig．1 Dynamicmodel of gear system

設(shè)系統(tǒng)的廣義位移列陣當(dāng)齒輪存在與內(nèi)孔不同心誤差或安裝偏心時(shí)，主、被動(dòng)齒輪 P、G繞實(shí)際旋轉(zhuǎn)中心 Op（xp，yp）、Og（xg，yg）轉(zhuǎn)動(dòng)，O1（x1，y1）、O2（x2，y2）為兩齒輪形心，θ1＝ωpt－θp、θ′2＝ωgt＋θg為主、被動(dòng)齒輪的角位移，其中 ωp、ωg為兩齒輪角速度。ep、eg為主、被動(dòng)齒輪的偏心量，設(shè)主動(dòng)輪的偏心量初始相位為0，θ02為兩輪偏心量相位差，被動(dòng)齒輪偏心相位θ2＝θ′2＋θ02。則有，x1＝xp＋epcosθ1，y1＝y(tǒng)p－epsinθ1，x2＝xg＋egcosθ2，y2＝y(tǒng)g＋egsinθ2，嚙合線上主、被動(dòng)齒輪的切點(diǎn)P和G的y方向位移～epsinθ1－Rp（ωpt－θp），y～G＝y(tǒng)g－egsinθ2－Rg（ωgt＋θg）。齒輪系統(tǒng)沿著嚙合線方向的誤差：δs（t）＝－－e（t），其中 e（t）為靜態(tài)傳遞誤差。轉(zhuǎn)角傳遞誤差［9］：

1.1 動(dòng)態(tài)側(cè)隙

為了貯存潤(rùn)滑油并為輪齒熱膨脹留有空間，齒輪安裝時(shí)要留有一定的齒側(cè)間隙，隨著齒輪中心距或齒厚的變化，齒側(cè)間隙是時(shí)變的。當(dāng)齒輪系統(tǒng)由于偏心或軸承振動(dòng)引起中心距變化時(shí)，齒側(cè)間隙變?yōu)椋?/p>

其中 invα＝始安裝中心距和壓力角（本文根據(jù)GB／Z 1860．2－2002推薦的工業(yè)裝置最小法向側(cè)隙jbnmin確定初始安裝齒側(cè)間隙 bn，進(jìn)而得到 a0、α0）；a′、α′為齒輪實(shí)際嚙合過(guò)程中的中心距和壓力角。根據(jù)圖1：

當(dāng)齒輪磨損時(shí)，實(shí)際齒厚要小于理論齒厚，從而引起的側(cè)隙變化量［10］bt＝ti－ta，其中 ti為理想齒厚，ta為實(shí)際齒厚。

綜上，齒輪嚙合系統(tǒng)的單邊動(dòng)態(tài)側(cè)隙：

齒輪系統(tǒng)的間隙非線性函數(shù)表示為：

1.2 動(dòng)態(tài)嚙合剛度

直齒輪的嚙合剛度是隨輪齒嚙合位置和參與嚙合的輪齒數(shù)的改變而改變的周期函數(shù)，基頻為嚙合頻率，可將其展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)［11］：

式中，km＝εks，ε為重合度，ks為單齒嚙合剛度，m＜ε＜m＋1，m為整數(shù)。本文取諧波的前3項(xiàng)。

在齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，一般當(dāng)ks（t）最小時(shí)，在平均載荷的作用下，輪齒變形或靜傳遞誤差為最大。取綜合靜傳遞誤差 e（t）的相位 φe＝φi＋π，均值為 em，則其傅里葉展開(kāi)為：

1．3 摩擦力

齒輪嚙合的動(dòng)態(tài)嚙合力可表示為 Wcy＝ks（t），其中cm為嚙合阻尼。由其產(chǎn)生的摩擦力：

摩擦力對(duì)齒輪中心的力臂分別為［12］：

式中，λ為摩擦力方向系數(shù)，μ為摩擦因數(shù)，Rag為被動(dòng)齒輪齒頂圓半徑。

1．4 運(yùn)動(dòng)微分方程

通過(guò)分別在主動(dòng)輪和被動(dòng)輪應(yīng)用拉格朗日方程得到齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

1．5 無(wú)量綱化

設(shè) τ＝frt，fr為主動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)頻，則取無(wú)量綱長(zhǎng)度d＝0．001 m，且

—xgd，yg＝—ygd，ep＝—epd，eg＝—egd，a＝—ad，b′＝b′d，Rp＝令軸承在 x、y方向具有相同的剛度和阻尼，且 sn1＝ωn1／fr，sn2則無(wú)量綱化的齒輪系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為：

2 數(shù)值仿真與分析

按文獻(xiàn)［13］取齒輪系統(tǒng)各參數(shù)如表1所示，并令輸入、輸出扭矩按0．1%正弦波動(dòng)。另外，具有齒側(cè)間隙的齒輪副，在重載情況下由于傳遞載荷的需要，輪齒時(shí)刻處于接觸狀態(tài)，齒側(cè)間隙的變化對(duì)齒輪系統(tǒng)振動(dòng)影響不顯著［14］，因此，本文齒面磨損的動(dòng)力學(xué)分析以輕載工況為主，取0．01。均勻磨損齒輪由于在輕載工況下振動(dòng)和沖擊現(xiàn)象不明顯，取均載系數(shù)Fm＝0．000 2，即接近空載的工況進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。

2.1 全齒均勻磨損故障動(dòng)力學(xué)

假設(shè)齒輪系統(tǒng)無(wú)偏心，且各齒廓磨損程度相同。根據(jù)文獻(xiàn)［15－16］試驗(yàn)研究與仿真計(jì)算，齒面磨損時(shí)齒根和齒頂部分磨損較大，節(jié)圓處磨損較小。齒面磨損使得靜傳遞誤差的均值增大，其幅值譜的主頻隨著磨損的增加發(fā)生了移動(dòng)（第1～3倍嚙合頻率）［15］，嚙合頻率處幅值逐漸減小，高次諧波處幅值逐漸增大。綜上，本文以靜態(tài)傳遞誤差的變化量 es（t） ＝模擬齒廓各處的不均勻磨損。并設(shè)當(dāng)齒輪發(fā)生輕微磨損時(shí)，節(jié)圓齒厚不發(fā)生變化，即齒側(cè)間隙不變，僅齒形改變引起靜傳遞誤差變化，而當(dāng)齒輪發(fā)生嚴(yán)重磨損時(shí)，設(shè)齒側(cè)間隙為bt＝5bn，且由于齒厚變薄嚙合剛度降低5%。

表1 齒輪系統(tǒng)參數(shù)Tab．1 Parameters of the gear system

分別對(duì)齒面無(wú)磨損、輕微磨損和嚴(yán)重磨損3種情況的無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，結(jié)果如圖2～5所示。隨著齒側(cè)間隙的增加，動(dòng)態(tài)傳遞誤差均值及波動(dòng)幅度均增大（圖2）；均勻磨損齒輪系統(tǒng)傳遞誤差幅值譜主要頻率為嚙合頻率及其高次階諧波（圖3），磨損使得傳遞誤差各階諧波幅值增高；磨損引起的齒形變化使得齒輪嚙合時(shí)齒背碰撞頻率加快（圖4（b）），進(jìn)一步加劇了齒面磨損；隨著齒側(cè)間隙的增大，齒背沖擊消失，齒輪嚙合變?yōu)楦哳l的單邊沖擊狀態(tài)（圖4（c）），振動(dòng)能量增大。圖5為主動(dòng)齒輪軸無(wú)量綱振動(dòng)加速度幅值譜，隨著齒形的改變和齒側(cè)間隙增大，嚙合頻率高次諧波的幅值增大（圖5（b）），嚴(yán)重磨損時(shí)，在嚙合頻率及高次諧波附近產(chǎn)生調(diào)制邊頻帶（圖5（c））。

圖2 全齒均勻磨損齒輪系統(tǒng)傳遞誤差Fig．2 Transmission error with uniform wear

圖3 全齒均勻磨損齒輪系統(tǒng)傳遞誤差幅值譜Fig．3 Transmission error spectra with uniform wear

圖4 齒輪全齒均勻磨損嚙合動(dòng)載荷Fig．4 Meshing load with uniform wear

圖5 主動(dòng)齒輪軸振動(dòng)加速度·y· 幅值譜pFig．5 Vibration acceleration spectra of pinion shaft

2.2 齒輪偏心磨損故障動(dòng)力學(xué)

當(dāng)系統(tǒng)負(fù)載周期性變動(dòng)或齒輪軸偏心旋轉(zhuǎn)等使嚙合間隙周期性變化時(shí)，會(huì)使齒輪嚙合時(shí)松時(shí)緊，齒面磨損不均勻。設(shè)輕載齒輪系統(tǒng)主動(dòng)軸存在50μm的偏心，仿真得到嚙合動(dòng)載荷幅值譜如圖6所示，嚙合動(dòng)載荷除了隨嚙合頻率變化外還隨著主動(dòng)輪轉(zhuǎn)頻周期性波動(dòng)。由于齒對(duì)摩擦力與嚙合力成線性關(guān)系，可見(jiàn)主動(dòng)齒輪每轉(zhuǎn)動(dòng)一轉(zhuǎn)摩擦力變化一個(gè)周期，進(jìn)而在齒輪系統(tǒng)產(chǎn)生相同周期的磨損間隙。

圖6 齒輪系統(tǒng)存在偏心時(shí)的嚙合動(dòng)載荷Fig．6 Meshing load with eccentricity

本文用齒側(cè)間隙的周期性變化對(duì)偏心磨損進(jìn)行模其中ω為偏心磨損的齒輪軸的角速度，這里為主動(dòng)輪角速度ωp。根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程（11）進(jìn)行計(jì)算，得到仿真結(jié)果如圖7所示。齒輪系統(tǒng)仍為單周期簡(jiǎn)諧響應(yīng)，由于齒輪間隙按主軸旋轉(zhuǎn)頻率周期變動(dòng)，傳遞誤差也以磨損齒輪軸頻及倍頻為主要頻率變化（如圖7（a））；由于齒輪間隙變化是連續(xù)的，齒輪輕載嚙合無(wú)明顯的沖擊現(xiàn)象，動(dòng)載荷幅值譜以嚙合頻率及其倍頻、軸頻為主要頻率，比較圖7（b）與圖6，偏心磨損后低頻段出現(xiàn)軸頻的倍頻，除嚙合頻率外各頻率處動(dòng)載荷幅值升高；與圖5的全齒磨損情況有所不同，振動(dòng)加速度幅值譜出現(xiàn)1倍軸頻調(diào)制頻率（如圖7（c）），且隨著偏心磨損的加劇，各主頻及調(diào)制頻率幅值升高，振動(dòng)愈加劇烈。

圖7 偏心磨損仿真曲線Fig．7 Simulation curveswith eccentric wear

3 齒輪系統(tǒng)傳遞誤差的檢測(cè)方法

根據(jù)文獻(xiàn)［9］，如果在齒輪系統(tǒng)的輸入軸端和輸出軸端分別安裝高精度的增量編碼器對(duì)角位移進(jìn)行檢測(cè)，則有：

由式（1）、（12）可得：

即可通過(guò)檢測(cè) Δθ（t）間接估計(jì) TE（t）。

4 實(shí)驗(yàn)研究

利用圖8所示實(shí)驗(yàn)臺(tái)的一級(jí)齒輪傳動(dòng)部分模擬齒輪系統(tǒng)由于磨損間隙增大的故障，由于實(shí)驗(yàn)設(shè)備的局限性，本文僅對(duì)部分動(dòng)力學(xué)分析的結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)臺(tái)齒輪模數(shù)為3 mm，主、從動(dòng)齒輪的齒數(shù)分別為20、45，使用磁粉制動(dòng)器對(duì)齒輪系統(tǒng)施加負(fù)載，負(fù)載扭矩0．45 N·m，潤(rùn)滑方式為油膜潤(rùn)滑。實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速 400 r／min，經(jīng)計(jì)算，齒輪的嚙合頻率為133．3 Hz。

圖8 齒輪實(shí)驗(yàn)臺(tái)結(jié)構(gòu)圖Fig．8 Structure of the experimental equipment

圖9 測(cè)點(diǎn)1振動(dòng)加速度及幅值譜Fig．9 Vibration acceleration and amplitude spectrum of the No．1 measuring point

通過(guò)調(diào)整兩嚙合齒輪的相對(duì)位置，使嚙合齒輪單邊齒側(cè)間隙 b′分別為 0．1 mm、0．2 mm、0．3 mm和 0．4 mm，使用加速度傳感器在小齒輪軸承座測(cè)點(diǎn)1、2上采集振動(dòng)加速度信號(hào)，采樣頻率10 240 Hz。經(jīng)處理，上述4種齒側(cè)間隙下測(cè)點(diǎn)1的振動(dòng)加速度信號(hào)及其幅值譜如圖9所示?？梢?jiàn)，齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)信號(hào)頻率以嚙合頻率及其高次諧波為主，隨著齒側(cè)間隙的增大，幅值譜嚙合頻率及各階諧波的幅值增大，高次諧波的幅值增大幅度尤為明顯，齒輪系統(tǒng)振動(dòng)沖擊的頻率加快，振動(dòng)能量增加。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與前述理論分析基本一致。

5 結(jié) 論

（1）全齒均勻磨損時(shí)，隨著齒輪磨損量的增大，齒輪傳遞誤差幅值增大，且以嚙合頻率及其高次諧波為主頻更大幅度振蕩，在空載工況下齒輪系統(tǒng)嚙合振動(dòng)由間歇的齒背沖擊變?yōu)楦哳l、劇烈的單邊沖擊。

（2）齒輪系統(tǒng)存在偏心時(shí)，齒輪嚙合將產(chǎn)生隨軸頻變化的動(dòng)載荷；偏心磨損的齒輪系統(tǒng)傳遞誤差幅值譜以磨損齒輪軸頻及倍頻為主要頻率，振動(dòng)加速度幅值譜調(diào)制頻率為偏心磨損齒輪軸頻。

（3）利用齒輪實(shí)驗(yàn)臺(tái)對(duì)齒側(cè)間隙增大的磨損故障進(jìn)行了模擬，故障機(jī)理的研究結(jié)果與實(shí)測(cè)信號(hào)的振動(dòng)特性基本相符。

（4）可通過(guò)高精度的增量編碼器對(duì)齒輪軸的角位移進(jìn)行檢測(cè)，以間接估計(jì)齒輪系統(tǒng)的傳遞誤差，結(jié)合對(duì)齒輪系統(tǒng)嚙合沖擊狀態(tài)、振動(dòng)加速度幅值譜和振動(dòng)強(qiáng)度的監(jiān)測(cè)，可對(duì)齒面磨損故障的診斷提供指導(dǎo)。

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