●樓可飛 (諸暨市教師進修學校 浙江諸暨 311800)

比較大小時構(gòu)造函數(shù)應注意的幾個原則

●樓可飛 (諸暨市教師進修學校 浙江諸暨 311800)

觀察近幾年高考中有關(guān)導數(shù)的解答題，幾乎題題涉及比較大小、極值或最大(小)值，在比較大小時常常需要構(gòu)造函數(shù)，這時應注意3個原則.

1 齊次性原則

要比較j與k的大小，只要比較分子z與0的大小.為了向b－a看齊，將分子變形為

構(gòu)造函數(shù)g(t)=(t－2)et+t+2，這里t=b－a＞0.導函數(shù)

從而函數(shù)g'(t)在t＞0上單調(diào)遞增，于是

因此函數(shù)g(t)在t＞0上單調(diào)遞增，即

亦即分子 z＞0，差 c＞0，故 j＞k.

這里進行了2次求導：g'(t)，g″(t).若求導一次即可解決問題，則應如何構(gòu)造函數(shù)?

圖1

圖2

2 整式化原則

例3設(shè)l為曲線在點 A(1，0)處的切線.

(1)求l的方程;

(2)證明：除切點A之外，曲線C在直線l的下方.

(2013年北京市數(shù)學高考試題)

當 x=1 時，y=0，y'=1，得直線 l為 y=x－1.

圖3

于是函數(shù)h(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增，故函數(shù)h(x)在(0，+∞)上有最小值h(1)=0，h(x)≥0，即

式(1)為分母中含有求知數(shù)x的不等式，而式(2)則為分母中不含有求知數(shù)x的不等式，這一等價的過程不妨稱為整式化.

3 對數(shù)化原則

一般地，有：

(1)如果 a ＞0，且 a≠1，則

(2)如果 a＞1，則

(3)如果0＜a＜1，則

例5設(shè)函數(shù)f(x)=axn(1－x)+b(x＞0)，n為正整數(shù)，a，b為常數(shù).曲線 y=f(x)在(1，f(1))處的切線方程為x+y=1.

(1)求 a，b的值;

(2)求函數(shù)f(x)的最大值;

(2012年湖北省數(shù)學高考試題)

分析(1)導函數(shù)

于是函數(shù)g(t)在t∈(1，2］上單調(diào)遞增，故g(t)＞g(1)=0，即式(5)成立.

例6已知函數(shù)f(x)=x2lnx.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若對任意t＞0，存在唯一的s使t=f(s)，設(shè)s關(guān)于t的函數(shù)為s=g(t)，證明：當t＞e2時，有

(2013年天津市數(shù)學高考試題改編)