●陳薛琴 (龍港第二高級中學 浙江蒼南 325802)

一道概率習題的探究

●陳薛琴 (龍港第二高級中學 浙江蒼南 325802)

筆者基于教材中一道概率課后習題，探究了“3局2勝、5局3勝與7局4勝制”下某選手獲勝的概率，并推廣到了一般的“2k+1局k+1勝制”的概率公式.

1 問題的提出

題目甲、乙2名選手比賽，假設每局比賽甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更有利?你對局制長短的設置有何認識?每局比賽相互獨立，甲勝的局數(shù)X服從二項分布.

(人教A版《數(shù)學(選修2-3)》習題2.2B組第1題)

方法1在3局2勝制下，X～B(3，0.6)，事件{X≥2}表示“甲獲勝”，則甲勝的概率為

在5局3勝制下，X ～B(5，0.6)，事件{X≥3}表示“甲獲勝”，則甲勝的概率為

方法2在3局2勝制下，設“甲獲勝”為事件C，“前2局甲都勝”為事件A，“前2局甲勝1局，最后1局甲勝”為事件B，則C=A∪B，事件A與B互斥，則甲勝的概率為

在5局3勝制下，設“甲獲勝”為事件D，“前3局甲都勝”為事件A，“前3局甲勝2局，第4局甲勝”為事件B，“前4局甲勝2局，第5局甲勝”為事件C，則D=A∪B∪C，A，B與C這3個事件兩兩互斥，則甲勝的概率為

評析這2種計算方法的概率相等.對一般的情況成立嗎?

2 “3局2勝、5局3勝與7局4勝制”下甲勝的概率

甲、乙2名選手比賽，設每局比賽甲勝的概率為x.若采用3局2勝制，則甲勝的概率為：

方法1設甲獲勝的局數(shù)為X，則X～B(3，x)，事件(X≥2)表示“甲獲勝”，則甲勝的概率為

方法2設“甲勝”為事件C，“前2局甲都勝”為事件A，“前2局甲勝1局，最后1局甲勝”為事件B，則C=A∪B，事件A與B互斥，則甲勝的概率為

評析經(jīng)過論證：在3局2勝制下，這2種計算方法甲勝的概率都為

同理應用這2種方法，若采用5局3勝制，則甲勝的概率為

若采用7局4勝制，則甲勝的概率為

事實上以3局2勝制為例，方法1中比賽進行3 局甲勝出，可分為 4 種情況：(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1).其中(1，1，0)表示前 2 局甲勝第3局甲負.而方法2是誰先勝出2局就停止比賽.在前2局甲勝的條件下，第3局不管甲勝還是負，最終甲勝是必然事件.這2種計算方法本質上是一樣的，證明如下：

3 3種比賽制度的聯(lián)系

圖1

直觀感知通過觀察“3局2勝、5局3勝與7局4勝制”下甲勝的概率函數(shù)圖像(如圖1所示)，發(fā)現(xiàn)3個圖像恒過定點P(0.5)，關于點P中心對稱，且在點P處的切線斜率為

在7局4勝制下，甲勝的概率函數(shù)在x=0.5處導數(shù)為

故3個概率函數(shù)的圖像在點P(0.5)處的切線斜率

評析在實際問題背景中，當每局比賽甲勝的概率大于0.5時，比賽的總局數(shù)越多甲勝的概率越大.比賽局數(shù)越少，對乙越有利;比賽局數(shù)越多，對甲越有利.因此，比賽局數(shù)越多越公平.

4 “2k+1局k+1勝制”下甲勝的概率

甲、乙2名選手比賽，設每局比賽甲勝的概率為p，設甲獲勝的局數(shù)為 X，則 X ～B(2k+1，p)，事件{X≥k+1}表示“甲獲勝”，則2k+1局k+1勝制下甲勝的概率為