張晗方

(江蘇師范大學(xué)教師教育學(xué)院，徐州221116)

設(shè)m為非負(fù)整數(shù),K為n維歐氏空間En中的有界凸體,G為與K相交的直線，則相交弦長(zhǎng)為σ的弦冪積分是[1,2]

(1)

(2)

當(dāng)且僅當(dāng)f1(x)∶f2(x)∶…∶fm(x)=const時(shí)等號(hào)成立.

這是著名的H?lder不等式.

(3)

證由H?lder不等式(2)知

此即不等式(2).

推論1在定理1的條件下，若記p1,p2,…,pm的算術(shù)平均為p0，則有

Ip1Ip2…Ipm≥

(4)

推論2[2]在定理1的條件下，對(duì)于三個(gè)非負(fù)整數(shù)p1,p2,p3，若0≤p3≤p2≤p1，則有

(5)

將此不等式整理一下便得不等式(5).

定理2設(shè)k,l均為正整數(shù)，且1≤k

(6)

證在(4)中取m=2,p1=k-1,p2=k+1,則有

(7)

在(7)的兩端同取k次冪，則有

(8)

在(8)中分別取k為1,2,3,…,k，則有

將這k個(gè)不等式相乘便可得

也即

(9)

由此可得

(10)

由遞推不等式(10)立即可得(5).

在文[1,2]中，定義了凸集K的平均弦長(zhǎng)為. 實(shí)際上，這里的E(σ)是E2中與凸集K的2維與1維體積(即K的面積與周長(zhǎng))相關(guān)的弦冪積分I1與I0的比，而在n維歐氏空間En中，我們給出如下的

定義設(shè)K為n維歐氏空間中的有界閉凸體，則K的弦長(zhǎng)σ的n,m次平均為

(11)

由(11)知，此處顯然有E(σ,1,0)=E(σ).

推論3設(shè)K為n維歐氏空間中的有界閉凸體，則對(duì)于K的弦長(zhǎng)σ的l,k(1≤k

E(σ,l,k)≥El-k(σ,1,0)=(E(σ))l-k(1≤k

(12)

實(shí)際上，由定理2中的(6)可知

又因?yàn)?/p>

所以有

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 任德麟. 積分幾何學(xué)引論[M].上海: 上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1988.

[2] Luis Santaló. Integral geometry and geometric probability[M]. Cambridge: Cambridge University Press，2004.