常微分方程通解、特解、所有解的區(qū)別與聯(lián)系

劉雄偉， 王 曉

(國防科技大學(xué)理學(xué)院，湖南長沙410073)

在國內(nèi)的高等數(shù)學(xué)教材與常微分方程教材中，對于n階常微分方程

(1)

關(guān)于通解、特解通常定義如下[1,2]：

如果包含有n個相互獨立的任意常數(shù)C1,C2,…,Cn的關(guān)系式

Φ(x,y,C1,C2,…,Cn)=0

(2)

確定的函數(shù)y=φ(x,C1,C2,…,Cn)是(1)的解，則稱(2)為(1)的通解.通過初值條件

y(x0)=y1,y′(x0)=y2,…,y(n-1)(x0)=yn

(3)

確定通解中的任意常數(shù)后，得到的解Φ(x,y)=0稱為(1)的特解.

對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，在高等數(shù)學(xué)課程的常微分方程學(xué)習(xí)過程中，通解、特解、所有解的定義及相互關(guān)系，二階齊次線性微分方程降階法和二階常系數(shù)非齊次線性微分方程所設(shè)特解的處理方式，一直是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中容易產(chǎn)生困惑的內(nèi)容.為了更好的理解和求解常微分方程，關(guān)于常微分方程的通解、特解和微分方程的所有解的基本概念和求解過程中的一些處理方式有幾點需要特別注意.

(i) 通解并不一定包含微分方程的所有解.

例如[1]，y=sin(x+C)是微分方程

(4)

的通解，但y=±1也是(4)的解，顯然不包含在通解中，即通解不包含方程的所有解.因此，在做練習(xí)時，應(yīng)該注意求解微分方程與求微分方程通解的差別.一般來說，求解微分方程應(yīng)該將滿足微分方程的所有解求出，而求通解只需要求得一個包含與微分方程階數(shù)相同個數(shù)的、相互獨立的任意常數(shù)的解即可.同時通解也不唯一，如微分方程[3]

xy′-3y=0

(5)

在全體實數(shù)范圍內(nèi)通解可以為y=Cx3，也可以是

值得注意的是，一般來說微分方程的通解可以包含它的所有解，或者在滿足一定的條件下，微分方程的通解會包含微分方程所有解[4].但是并不是所有微分方程都有通解，有些微分方程只能通過數(shù)值方法來求解.

(ii) 由(1)和(3)確定的初值問題的特解不唯一.

其中A可以是任意確定的常數(shù).但是在x>0的范圍內(nèi)則特解是唯一的.

(iii) 通解中的任意常數(shù)“不任意”.

在常微分方程通解的定義中強調(diào)相互獨立的任意常數(shù)，意指在通解中取一組給定的常數(shù)得到的函數(shù)都為對應(yīng)常微分方程的解.其實，任意常數(shù)并非可以任意取值，如siny+cosx=C是常微分方程cosydy=sinxdx的通解，此時C取大于2的值就沒有意義了[5].所以任意常數(shù)并不是一定可以取遍任意實數(shù)的，而且也不要求它一定要取遍實數(shù)，這個任意性應(yīng)該在使得通解關(guān)系式有意義的范圍內(nèi)體現(xiàn).

(iv) 包含有m(0

如y=C1ex+C2e-x是微分方程y″-y=0的通解，而對于微分方程y?-y′=0，它既不是通解，也不是特解，而是它的一組解.

(v)在求微分方程的通解時，只需要得到符合定義(2)的微分方程解即可.

在一般的高等數(shù)學(xué)教材中，在介紹利用降階法求解二階齊次線性微分方程時，采取了對劉維爾公式推導(dǎo)過程中不定積分的任意常數(shù)取零和利用線性微分方程解的結(jié)構(gòu)求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解時，當(dāng)λ和α±βi為對應(yīng)的齊次線性微分微分方程的特征根時，將所設(shè)特解乘以xk形式的作法[1].即推導(dǎo)劉維爾公式的過程中，中間的不定積分取其他常數(shù)也可以得到一個與已知特解線性無關(guān)的解；同樣，在設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解時，不乘以xk，直接設(shè)多項式為Qm+1(x)(λ和α±βi為單根時)或者Qm+2(x)(λ為二重根時)也可以，這時候?qū)?yīng)的常數(shù)項(單根)或者常數(shù)項與一次項可以任意取，只不過教材中采取了特殊值為零的作法.這樣做的目的是為了簡化計算，是完全符合求二階線性微分方程通解要求的.

例1求微分方程x2y″+xy′-y=0的通解.

解這是一個歐拉方程，也是二階齊次線性微分方程.容易看出微分方程有特解y=x，且據(jù)題意可知x≠0，由劉維爾公式，并將其中的積分常數(shù)取0，有

因此可得微分方程的通解為

如果中間過程加上任意常數(shù)，則有

容易驗證，C,D取任意確定的常數(shù)，y2都是微分方程的一個與y=x線性無關(guān)的特解.

例2求微分方程

y″-2y′-3y=e3x(1+x2)

(6)

的通解.

解這是一個二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，(6)的右邊項屬于第一種類型eλxPm(x)，并且λ=3是(6)對應(yīng)的齊次線性微分方程的單根，因此在教材[1]中設(shè)其特解形式為

f(x)=xe3x(a0+a1x+a2x2).

將其代入(6)，得特解為

(7)

其實(6)的特解也可以設(shè)為

g(x)=e3x(a0+a1x+a2x2+a3x3),

將g(x)代入(6)，有

4a1+2a2+(8a2+6a3)x+12a3x2=1+x2，

由此得(6)的特解為

(8)

容易驗證(8)是(6)的解，而(7)只是a0=0中間的一個.而根據(jù)線性微分方程組的結(jié)構(gòu)，其實(8)中的a0取任意確定的常數(shù)都構(gòu)成(6)的一個特解，因此(6)對應(yīng)的齊次線性方程的通解加上(8)都構(gòu)成(6)的通解.

值得注意的是，對于常微分方程通解的定義，在不同國家的一些教材中有不同的定義[6]，比較典型的定義是本文討論的定義和定義通解是“全部解的解族”的定義.我們這里討論的是我國高等數(shù)學(xué)教材中通常給出的通解定義.

[參 考 文 獻]

[1] 朱健民，李建平.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007：400-401.

[2] 金銀來，邱建龍，郭政.常微分方程[M].北京：電子工業(yè)出版社，2011：4-5.

[3] 管志成，李俊杰.常微分方程與偏微分方程[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2001：5-5.

[4] 錢明忠，陳友朋.常微分方程的通解[J].高等數(shù)學(xué)研究，2007，10(4)：106-108.

[5] 吳全榮.“微分方程的通解”探析[J].漯河職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2009，8(2)：130-132.

[6] 張義富.關(guān)于常微分方程通解定義的討論[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，1989(1)：53-57.