孔令彬，辛 彤

（東北石油大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，黑龍江 大慶 163318）

非線性四階多點邊值問題的正解存在性

孔令彬，辛 彤

（東北石油大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，黑龍江 大慶 163318）

研究一類含參數(shù)的非線性四階多點邊值問題，當參數(shù)屬于一定范圍時，利用常數(shù)變易法求得與邊值問題等價的函數(shù)，并對它進行上下界估計，同時利用錐不動點定理，證明該四階邊值問題正解的存在性.

四階邊值問題；常數(shù)變易法；錐定理；正解

0 引言

近年來，非線性四階邊值問題受到人們的關(guān)注，主要應(yīng)用在物理學的流體力學、彈性力學等領(lǐng)域問題中，其正解具有深刻意義[1-3].人們研究此類問題，并且得到一些結(jié)論[4-9].筆者討論包含參數(shù)的非線性四階多點邊值問題，當參數(shù)屬于給定范圍時，得出該問題的正解.

1 問題與主要定理

考慮非線性四階多點邊值問題

式中：α為正數(shù)，0＜η＜1，滿足αη＜1，λ＞0；ρ為參數(shù)

假設(shè)條件成立：

（H1）f（t，u）在[0，1]×[0，+∞）非負連續(xù)，且

定義 稱函數(shù)u（t）為邊值問題式（1）的正解，如果它滿足u∈C3[0，1]∩C4[0，1]，在（0，1）內(nèi)u（t）＞0，并且u（t）滿足式（1）.

定理1 假設(shè)條件（H1）、（H2）成立，或者條件（H1）、（H3）成立，則所求非線性四階多點邊值問題式（1）有正解.

2 所求問題式（1）的Green函數(shù)

引理1 設(shè)m、n、q為實常數(shù)，φ1（t）、φ2（t）為非奇次方程mv″（t）+nv′（t）+qv（t）=h（t）的2個無關(guān)解，φ0（t）是邊值問題，即的一個解，由非齊次方程通解的結(jié)構(gòu)可以得到，φ（t）=c1φ1（t）+c2φ2（t）+φ0（t）是方程av″（t）+bv′（t）+cv（t）=h（t）的通解，其中c1、c2為任意常數(shù).

證明 由非齊次方程通解結(jié)構(gòu)直接驗證即可.

先考慮非線性三點邊值問題，即

容易求得非線性邊值問題，即

又由于u″（t）+ρ2u（t）=0的2個無關(guān)解是φ1（t）=cos（ρt），φ2（t）=sin（ρt），根據(jù)引理1知，邊值問題式（2）的通解可以表示為，并滿足初值條件u（0）=0，u（1）=αu（η），利用初值條件可以計算常數(shù)c1、c2，經(jīng)計算整理得邊值問題式（2）的解，用積分方程表達式表示為

知道非線性邊值問題，即

等價于積分方程

其中

又因為-v″（t）+ρ2v（t）=0的2個無關(guān)解是φ1（t）=eρt，φ2（t）=e-ρt.同理，再由引理1知非線性三點邊值問題式（4）的通解可以表示為

并滿足條件v（0）=0，v（1）-αu（η）=λ，由此確定常數(shù)c3、c4，得到邊值問題式（4）的通解等價于積分方程，即

式中：γ=sinhρ-αsinh（ρη）＞0.將式（5）代入式（3）并整理可知，非線性邊值問題式（1）的通解為

引理2 對于 Green函數(shù)G1（t，s）、G2（t，s）滿足：?s，t∈[0，1]，成立不等式，即

證明 容易得到下列關(guān)系利用Taylor公式，并注意到sinh（ρs）的單調(diào)性，可知

再由sinh（ρs）及sinh[ρ（1-s）]關(guān)于s單調(diào)性知，因此式（7）成立.

設(shè)C[0，1]是[0，1]上全體連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的Banach空間，C+[0，1]={u∈C[0，1]；u≥0}，定義映射F：C+[0，1]→C+[0，1]，則

引理3 F：K→K全連續(xù)

證明 ?u∈K，由引理2知因此Fu∈K，即F（k）?K.另外，容易知道F：K→K全連續(xù)映射.

為了證明主要結(jié)論，用到錐不動點引理[10].

引理4 設(shè)E是Banach空間，K?E是E中的錐，W1、W2是E中的開子集，0∈W1?W2，又設(shè)F：K∩W1）→K全連續(xù).如果

（1）‖F(xiàn)u‖≤‖u‖，u∈K∩?W1，并且‖F(xiàn)u‖≥‖u‖，u∈K∩?W2；

（2）‖F(xiàn)u‖≥‖u‖，u∈K∩?W1，并且‖F(xiàn)u‖≤‖u‖，u∈K∩?W2，則F在K∩（2W1）中至少存在一個不動點.

3 定理1的證明

假設(shè)條件（H1）、（H2）成立，則存在λ0∈（0，∞），使當λ∈（0，λ0]時，邊值問題式（1）有正解.記

即有‖F(xiàn)u‖≥‖u‖.

由引理4知，不動點u（t）存在于K∩（ˉW2W1）中，并且滿足Fu=u，因此u（t）是式（1）的一個正解.

假設(shè)條件（H1）、（H3）成立.由（H3）知，存在r＞0，使當0≤u≤r時，有f（t，u）≥μu，這里μ＞0，滿足

即有‖F(xiàn)u‖≥‖u‖.

再由條件（H3）知，存在 H＞0，使當u≥H 時有f（t，u）≤εu，這里ε＞0使，則當λ∈ （0，λ0]時 ?u∈K∩?W1，由引理2知：

（1）若f（t，u）無界，取R＞max{r，H}則有?0＜u≤R，f（u）≤f（R），令W2={u∈C[0，1]；‖u‖＜R}，則?u∈K∩?W2，有

即有‖F(xiàn)u‖≤‖u‖.

由引理4知，不動點u（t）存在于K∩（ˉW2W1）中，并且滿足Fu=u，因此u（t）是式（1）的一個正解[11-15].

4 結(jié)束語

研究一類含參數(shù)的非線性四階多點邊值問題，通過適當?shù)淖儞Q應(yīng)用常數(shù)變易法，以及結(jié)合非線性方程通解的結(jié)構(gòu)，給出該問題的Green函數(shù)，因此求出與此問題等價的積分方程形式，并對其建立上下界估計，同時在錐中定義映射和應(yīng)用錐不動點定理，最終證明該問題的正解存在性.

[1] Gupta C P.Existence and uniqueness theorem for a bending of an elastic beam equation[J].Anal.Appl，1988（26）：289-304.

[2] Agarwal R P.On fourth-order boundary value problems arising in beam analysis[J].Differential Integral Equations，1989（26）：91-110.

[3] Gupta C P.Existence and uniqueness results for a bending of an elastic beam equation at resonance[J].Math.Anal.Appl，1998（135）：208-225.

[4] Gupta C P.Existence and uniqueness results for some fourth order fully quasilinear boundary value problems[J].Anal.Appl，1990（36）：169-175.

[5] 孔令彬，張仲毅.奇異非線性四階邊值問題的正解[J].吉林大學學報，2002，40（1）：40-43.

Kong Lingbin，Zhang Zhongyi.Positive solutions of singular nonlinear fourth-order boundary value problem[J].Journal of Jilin Unvirsity，2002，40（1）：40-43.

[6] 李興昌，趙增勤.一類非共振奇異半正邊值問題正解的存在性[J].高校應(yīng)用數(shù)學學報，2008，23（1）：55-60.

Li Xingchang，Zhao Zengqin.Existence of positive solutions of a class of non-resonant singular boundary value problems[J].Applied Mathematics A Journal of Chinese Unvirsity，2008，23（1）：55-60.

[7] Ma R Y，Wang H.On the existence of positive solutions of fourth-order ordinary differential equations[J].Anal.Appl，1995（59）：225-231.

[8] 郭大鈞.非線性分析中的半序方法[M].濟南：山東科學技術(shù)出版社，2000.

Guo Dajun.Nonlinear analysis method of partially ordered[M].Ji'nan：Shandong Science and Technology Publishing Company，2000.

[9] Coster C D，F(xiàn)abry C，Munyamarere F.Nonresonance conditions for fourth order nonlinear boundary value problems[J].Internat.J.Math.Sci，1994（17）：725-740.

[10] 郭大均，孫經(jīng)先，劉兆理.非線性常微分方程泛函方法[M].2版.濟南：山東科學技術(shù)出版社，2005.

Guo Dajun，Sun JIngxian，Liu Zhaoli.Nonlinear functional differential equation method[M].2nd edition.Ji'nan：Shandong Science and Technology Publishing Company，2005.

[11] Jackson L K，Schrader K.Subfunction and third order differential inequalities[J].Differential Equations，1970（8）：180-194.

[12] Hartman P.Ordinary differntial equations[M].New York：Wiley，1964：14.

[13] 李永祥.四階非線性邊值問題的正解存在性和多解性[J].應(yīng)用數(shù)學學報，2003，26（1）：109-116.

Li Yongxiang.Positive solutions and multiple solutions of nonlinear boundary value problems for fourth-order[J].Journal of Applied Mathematics，2003，26（1）：109-116.

[14] Klasen G A.Differential inequalities and existence theorems for second and third order boundary value problem[J].Differential E-quations，1991（10）：529-537.

[15] 劉玉玲.一類半正二階三點邊值問題的正解存在性[J].紡織高?；A(chǔ)科學學報，2006，19（3）：256-258.

Liu Yuling.Existence of positive solutions of a class of second-order three-point boundary value problems[J].Basic Science Journal Textile Colleges and Universities，2006，19（3）：256-258.

O175.08

A

2095-4107（2014）04-0097-06

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2014.03.015

2014-04-09；

關(guān)開澄

黑龍江省教育廳科學技術(shù)研究項目（12541076）

孔令彬（1956-）男，碩士，教授，主要從事非線性微分方程邊值問題的研究.