摘 要：在高中數(shù)學(xué)教材中就涉及了關(guān)于漸近線的知識(shí)，例如：正弦函數(shù)圖象和雙曲線的漸近線，但是，并沒有給出漸近線的準(zhǔn)確定義、分類以及求法。這會(huì)造成許多學(xué)生對(duì)漸近線知識(shí)點(diǎn)整體性的缺失，也不利于與高等數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接。針對(duì)針以上問(wèn)題利用高等數(shù)學(xué)的方法解決初等數(shù)學(xué)所涉及的漸近線問(wèn)題，幫助高中生更好地了解和運(yùn)用漸近線的知識(shí)。

關(guān)鍵詞：漸近線；分類；計(jì)算方法

一、漸近線的定義

定義：當(dāng)曲線C上動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線C無(wú)限遠(yuǎn)移時(shí)，若動(dòng)點(diǎn)P到某直線l的距離無(wú)限趨近于0，則稱直線l是曲線C的漸近線。

二、漸近線的分類

在中學(xué)階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)到了幾種類型的漸近線。例如，中學(xué)階段經(jīng)常涉及到函數(shù)f（x）=x+■，它的圖象有兩條漸近線，分別是直線x=0（y軸）和直線y=x；又如，反比例函數(shù)f（x）=■，它的圖象同樣有兩條漸近線，分別是直線x=0（y軸）和直線y=0（x軸）。那么，我們根據(jù)漸近線與x軸的位置關(guān)系，可將漸近線分為三種類型：水平漸近線（與x軸平行），垂直漸近線（與x軸垂直），斜漸近線（與x軸有個(gè)夾角α，且α≠0，α≠■）。接下來(lái)，我們利用極限的知識(shí)給出三種類型漸近線的定義意義及根據(jù)定義求解漸近線的方法。

1.水平漸近線與垂直漸近線

若■f（x）=b或■f（x）=b，則直線y=b是曲線y=f（x）的水平漸近線。

若■f（x）=∞或■f（x）=∞，則直線y=b是曲線y=f（x）的垂直漸近線。

例：求曲線f（x）=■+3的漸近線

解：因?yàn)椤鰂（x）=■■+3=3，故直線y=3是曲線y=f（x）的水平漸近線.

以■f（x）=■■+3=∞，故直線x=2是曲線y=f（x）的水平漸近線.

2.斜漸近線

在高中階段斜漸近線出現(xiàn)的頻率非常高，它不像水平漸近線和垂直漸近線那樣，可以輕松地寫出漸近線的方程，下面以雙曲線的漸近線為例，來(lái)探索斜漸近線方程的求解方法。

考慮雙曲線■-■=1（a＞0，b＞0），雙曲線圖象的范圍受到哪些限制？

根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，我們可以只研究第一象限圖像的情況，因?yàn)閤＞0，y＞0，y=■■（x＞a）＜■■=■x，所以，雙曲線y=■■（x＞a）的圖象始終在直線y=■x的下方，其他三個(gè)象限可用類似方法討論，故可界定雙曲線■-■=1的直線為y=±■x.

我們知道在無(wú)窮遠(yuǎn)處函數(shù)圖象與其漸近線無(wú)限靠近但是不能相交，也就是說(shuō)，在無(wú)窮遠(yuǎn)處函數(shù)圖象上的點(diǎn)到漸近線的距離趨近于零，那么，由上面的界定范圍，我們來(lái)驗(yàn)證一下直線y=±■x是否真的就是雙曲線■-■=1（a＞0，b＞0）的漸近線.

由雙曲線的對(duì)稱性，可以只研究第一象限的情況，設(shè)P（x，y）為第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ垂直于漸近線l，交漸近線l于點(diǎn)Q

則PQ=■=■=■·■

當(dāng)x→+∞時(shí)，x+■→+∞，■·■→0，即MQ→0.這表明，隨著x的增大，雙曲線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)在直線y=■x的下方且逐漸接近于這條直線。

接下來(lái)，我們把這個(gè)理論應(yīng)用的更一般的情形，從而得到曲線y=f（x）的斜漸近線方程的求解方法

如右圖所示，若直線y=kx+b是曲線y=f（x）的斜漸近線（直線l與x軸正半軸的夾角為α，且α≠0，α≠■,）設(shè)曲線上y=f（x）動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，f（x）），經(jīng)計(jì)算可知PB=f（x）-（kx+b）.在Rt△PMB中，∠BPM=α，于是，動(dòng)點(diǎn)P到直線y=kx+b的距離PM=PBcosα=f（x）-（kx+b）cosα，以α為常數(shù)，所以，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿曲線y=f（x）向周正半軸移動(dòng)時(shí)，即x→+∞時(shí)，有■［f（x）-kx-b］=0，則有■［f（x）-kx-b］=0，從而有k=■■，b=■［f（x）-kx］

由上述討論知，若直線y=kx+b是曲線y=f（x）的斜漸近線，則k和b由上述式子給出

例：求曲線f（x）=■■的漸近線

解：因?yàn)椤觥觥?+∞，■■■=-∞，則x=1是曲線的垂直漸近線，又有k=■■=■■=■，b=■［f（x）-kx］=■［■-■x］=■■=-■，則曲線f（x）的漸近線是y=■x-■.

例：求雙曲線■-■=1的漸近線

解y=f（x）=±■■.設(shè)它的漸近線是y=kx+b，則k=■■=■±■■=±■，b=■（f（x）-ax）=■（±■■）-■x）=■±■（■-x）=■±■■=0

作者簡(jiǎn)介：

徐嘉龍（1988年4月— ），男，遼寧省阜新市，學(xué)歷：研究生在讀，研究方向：運(yùn)籌學(xué)與控制論。

（作者單位 東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院）

編輯 代敏麗