趙效鋒，管志川，廖華林，吳彥先

(中國(guó)石油大學(xué)石油工程學(xué)院，山東青島 266580)

收斂約束法是一種將理論基礎(chǔ)、實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和工程經(jīng)驗(yàn)結(jié)合為一體的隧道結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法［1］。類(lèi)比于隧道開(kāi)挖過(guò)程中需要添加支護(hù)結(jié)構(gòu)支撐開(kāi)挖后的圍巖收斂，石油工程中的鉆井過(guò)程與其有一定的相似之處，即鉆出井眼后需要下套管并注水泥固井以達(dá)到支撐井壁的作用。因此，可將隧道結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的收斂約束法引入石油工程中，用于水泥環(huán)力學(xué)完整性評(píng)價(jià)。目前，國(guó)內(nèi)對(duì)水泥環(huán)完整性的研究多集中于水泥環(huán)力學(xué)特性分析和影響規(guī)律上［2-6］，缺乏系統(tǒng)化的水泥環(huán)完整性評(píng)價(jià)方法;盡管Fourmaintraux等［7］提出了基于收斂約束思想的系統(tǒng)響應(yīng)曲線法可以直觀地對(duì)水泥環(huán)進(jìn)行力學(xué)完整性評(píng)價(jià)，但對(duì)于破壞程度的量化卻沒(méi)有涉及。筆者在彈塑性力學(xué)的基礎(chǔ)上，結(jié)合收斂約束思想提出一種新的方法，以描繪水泥環(huán)的破壞形式及破壞程度，評(píng)價(jià)水泥環(huán)完整性和指導(dǎo)鉆井工程設(shè)計(jì)。

1 隧道收斂約束法的引入

隧道收斂約束法又名特性曲線法。圍巖向隧道中心產(chǎn)生變形即為收斂，支護(hù)提供壓力約束這種收斂。隧道開(kāi)挖后，圍巖松弛并將應(yīng)力逐漸傳遞給隧道支護(hù)結(jié)構(gòu)，直到圍巖和支護(hù)達(dá)到變形相等的穩(wěn)定狀態(tài)。收斂約束法基于彈塑性理論求出圍巖特性曲線與支護(hù)特性曲線，找出特征曲線交點(diǎn)，用于判別隧道的安全狀態(tài)。Deer［8］最早利用圖解法闡述了隧道收斂約束法的基本概念，如圖1所示。圖1中收斂線表示圍巖壓力隨隧道內(nèi)邊界徑向位移增大而減小，約束線表示支護(hù)壓力隨外邊界徑向位移增大而增大;假如支護(hù)時(shí)圍巖已產(chǎn)生初始位移u1，此時(shí)對(duì)應(yīng)徑向應(yīng)力為p1，圍巖仍處于彈性變形階段。由于支護(hù)可變形，圍巖與支護(hù)發(fā)生相互作用，最終圍巖徑向位移增大到u2時(shí)二者達(dá)到平衡，對(duì)應(yīng)約束線與收斂線相交于a點(diǎn)，徑向應(yīng)力為p2，此時(shí)已進(jìn)入收斂線的塑性段，圍巖已發(fā)生塑性破壞，組合體結(jié)構(gòu)失穩(wěn)。

圖1 收斂約束法原理圖Fig.1 Principle diagram of convergenceconfinement method

圖2 系統(tǒng)響應(yīng)曲線原理圖Fig.2 Principle diagram of system response curve

同樣，結(jié)合收斂約束思想提出的系統(tǒng)響應(yīng)曲線(圖2)由內(nèi)外兩條響應(yīng)曲線組成，分別等同于收斂約束法中的約束線和收斂線，內(nèi)響應(yīng)曲線為彈性介質(zhì)，所以為直線，外響應(yīng)曲線為彈塑性介質(zhì)，因此有直線段和曲線段，同樣，二者反映的是接觸界面上的力與位移關(guān)系，交點(diǎn)即是界面形變相等的平衡點(diǎn)。當(dāng)內(nèi)外兩條響應(yīng)曲線相交于彈性段(c點(diǎn))時(shí)表明界面未產(chǎn)生塑性破壞，而相交于塑性段(b點(diǎn))時(shí)則表明界面上產(chǎn)生了塑性破壞。

油氣井井筒主要由套管、水泥環(huán)、地層3部分組成，因此有兩個(gè)接觸界面，即套管－水泥環(huán)界面(固井Ⅰ界面)和水泥環(huán)－地層界面(固井Ⅱ界面)。如圖3所示，將系統(tǒng)響應(yīng)曲線應(yīng)用于油氣井井筒繪制水泥環(huán)界面系統(tǒng)響應(yīng)曲線時(shí)，界面一側(cè)的另外兩個(gè)部分將被視為一體進(jìn)行求解。

圖3 水泥環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)曲線界面分解模型Fig.3 Interface decomposition model of cement system response curve

2 組合體力學(xué)模型

通過(guò)對(duì)井筒系統(tǒng)幾何特征和邊界條件的分析，若不考慮井筒縱向上位移的變化及軸向力，依據(jù)彈塑性力學(xué)理論，可將模型簡(jiǎn)化為厚壁圓筒的平面應(yīng)變問(wèn)題［2］，組合體力學(xué)模型如圖4所示。另外，求解過(guò)程須對(duì)模型作如下假設(shè):①套管為各向均勻的彈性材料，水泥環(huán)、地層為彈塑性材料;②套管、水泥環(huán)、地層均為均勻壁厚的同心圓筒;③整個(gè)分析基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，且接觸界面無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。

圖4 套管-水泥環(huán)-地層組合體模型Fig.4 Combined model of casing，cement sheath and stratum

圖4中，r0為套管內(nèi)半徑，mm;r1為水泥環(huán)內(nèi)半徑，mm;r2為水泥環(huán)外半徑，mm;r3為近井地層外半徑，mm;虛線為彈塑性區(qū)域分界線;rp1和rp2分別為水泥環(huán)和地層的塑性半徑，mm;p0和p3分別為套管內(nèi)壓和地層外邊界壓力，MPa;p1和p2分別為套管－水泥環(huán)界面、水泥環(huán)－地層界面作用力，MPa。

3 系統(tǒng)響應(yīng)曲線公式推導(dǎo)

公式推導(dǎo)過(guò)程中，假設(shè)壓力為正，拉力為負(fù)。并選取Mohr-Coulomb準(zhǔn)則作為水泥環(huán)的屈服準(zhǔn)則?，F(xiàn)實(shí)中由套管內(nèi)壓變化所導(dǎo)致的水泥環(huán)塑性破壞始于水泥環(huán)內(nèi)壁并向外擴(kuò)展，當(dāng)套管內(nèi)壓大到使地層開(kāi)始塑性變形時(shí)，水泥環(huán)早已完全塑性破壞，所以套管－水泥環(huán)界面較水泥環(huán)－地層界面更容易產(chǎn)生完整性問(wèn)題，因此本文中暫不考慮水泥環(huán)－地層界面。

對(duì)套管－水泥環(huán)界面系統(tǒng)響應(yīng)曲線計(jì)算時(shí)，須將水泥環(huán)和地層兩部分合為一體求解，相當(dāng)于兩個(gè)厚壁筒緊密嵌套，而對(duì)套管則單獨(dú)進(jìn)行求解，相當(dāng)于單層厚壁筒。

3.1 彈性階段

由拉梅問(wèn)題的基本解可得套管區(qū)域外徑處位移為

式中，G 為剪切模量，GPa;υ 為泊松比;下標(biāo)1、2、3表示套管、水泥環(huán)和地層區(qū)域。

3.2 塑性階段

在套管內(nèi)壓過(guò)大的情況下有可能出現(xiàn)水泥環(huán)塑性破壞，當(dāng)界面作用力p1達(dá)到水泥環(huán)彈性極限時(shí)，水泥環(huán)內(nèi)壁開(kāi)始屈服，此時(shí)塑性半徑等于水泥環(huán)內(nèi)徑;當(dāng)p1逐漸增加時(shí)，水泥環(huán)內(nèi)的彈塑性狀態(tài)也隨著改變，塑性半徑不斷增大，直到完全塑性變形。

平面應(yīng)變問(wèn)題中的切應(yīng)力為0，則正應(yīng)力σr、σθ和σz均為主應(yīng)力，在外擠壓力小于內(nèi)壓情況下，由拉梅公式基本解可以得出厚壁筒中σθ＜0、σr＞0且有 σθ＜ σr，由軸向應(yīng)變 εz=0可以得 σz=υ(σr+σθ)，故σz為中間主應(yīng)力，3個(gè)主應(yīng)力的排序?yàn)棣襯≥σz≥σθ，則Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則的形式為

其中

式中，σr為徑向應(yīng)力，第一主應(yīng)力，MPa;σθ為周向應(yīng)力，第三主應(yīng)力，MPa;φ為內(nèi)摩擦角，(°);c為黏聚力，MPa。

rp1為水泥環(huán)彈性區(qū)與塑性區(qū)分界線，根據(jù)彈塑性力學(xué)理論，可將水泥環(huán)彈性區(qū)與塑性區(qū)視為雙層厚壁筒求解，并根據(jù)r=rp1處應(yīng)力、位移的連續(xù)性條件，最終推導(dǎo)出塑性階段水泥環(huán)－地層區(qū)域內(nèi)徑處位移為

其中，rp1和p2滿足方程組:

式(5)為超越方程，可以用試算法求出。

3.3 拉伸破壞臨界線

在水泥環(huán)內(nèi)壓大于外壓的情況下，水泥環(huán)應(yīng)力超過(guò)其抗拉強(qiáng)度時(shí)可能產(chǎn)生拉伸破壞，則拉伸破壞臨界線需滿足以下條件。

首先，根據(jù)最小主應(yīng)力σθ等于水泥環(huán)抗拉強(qiáng)度，可得

式中，σTS為水泥環(huán)抗拉強(qiáng)度，MPa。

通過(guò)判斷響應(yīng)曲線位移平衡后的交點(diǎn)與拉伸破壞線的相對(duì)位置來(lái)判斷是否發(fā)生拉伸破壞，因此還應(yīng)該滿足臨界線上的點(diǎn)均為響應(yīng)曲線的交點(diǎn)，即

聯(lián)立方程(7)和(8)，即可得出拉伸破壞臨界線的表達(dá)式。

4 水泥環(huán)力學(xué)完整性評(píng)價(jià)方法

4.1 水泥環(huán)的破壞形式

在油氣井的長(zhǎng)期服役過(guò)程中，造成水泥環(huán)力學(xué)完整性失效的破壞形式主要有:①Ⅰ界面微間隙。Ⅰ界面微間隙是水泥環(huán)長(zhǎng)期完整性失效的主要形式之一。有分析指出，套管內(nèi)壓交變作用下的水泥環(huán)塑性殘余變形是導(dǎo)致Ⅰ界面微間隙產(chǎn)生的主要原因。②Ⅱ界面微間隙。排除施工工藝、過(guò)程等不利因素，在油井長(zhǎng)期服役過(guò)程中，相比Ⅰ界面，在套管內(nèi)壓力交替變化條件下的Ⅱ界面不易產(chǎn)生微間隙。③剪切破壞。水泥環(huán)的剪切破壞是由于套管內(nèi)壓過(guò)大所造成的，其破壞方向與界面法線方向呈一定角度。④徑向裂紋。徑向裂紋是水泥環(huán)的周向拉伸破壞的表現(xiàn)形式，而套管內(nèi)壓過(guò)大及水泥環(huán)宏觀體積收縮是造成徑向裂紋的主要原因。

4.2 水泥環(huán)力學(xué)完整性的系統(tǒng)響應(yīng)曲線

基于以上水泥環(huán)的破壞形式及破壞機(jī)制的分析，分別對(duì)水泥環(huán)的系統(tǒng)響應(yīng)曲線所表示的結(jié)果進(jìn)行說(shuō)明。計(jì)算中將徑向位移朝向井筒軸線方向記為正。水泥環(huán)響應(yīng)曲線如圖5所示。

如圖5(a)所示，套管、水泥環(huán)－地層區(qū)域分別在一定套管內(nèi)壓和圍巖應(yīng)力的作用下膨脹和收縮，因此當(dāng)水泥環(huán)界面壓力為0時(shí)內(nèi)外兩條響應(yīng)曲線分別有相應(yīng)的初始位移(圖中a和b兩點(diǎn))。隨著界面壓力的不斷增大，套管徑向位移不斷增大，水泥環(huán)－地層區(qū)域徑向位移不斷減小，直到二者相交于一點(diǎn)c，此時(shí)界面應(yīng)力相等且徑向位移相等，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，結(jié)果顯示平衡交點(diǎn)c位于水泥環(huán)－地層區(qū)域響應(yīng)曲線的彈性段且在拉伸破壞臨界線以下，因此并未發(fā)生剪切破壞及拉伸破壞，水泥環(huán)完整性良好。

圖5 水泥環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)曲線Fig.5 Cement system response curve

相比曲線1，圖5(b)中曲線2中內(nèi)響應(yīng)曲線1的平衡交點(diǎn)c位于水泥環(huán)－地層區(qū)域響應(yīng)曲線的塑性段及拉伸破壞臨界線以下，此種工況下水泥環(huán)只產(chǎn)生了剪切破壞，而沒(méi)有拉伸破壞;內(nèi)響應(yīng)曲線2的平衡交點(diǎn)d位于水泥環(huán)－地層區(qū)域響應(yīng)曲線的塑性段且位于拉伸破壞臨界線以上，此種工況下水泥環(huán)不但產(chǎn)生剪切破壞并且出現(xiàn)了徑向裂紋。

在油氣井建井及生產(chǎn)過(guò)程中，不同階段、不同工況下套管內(nèi)壓均不相同，微間隙的產(chǎn)生取決于前后兩個(gè)工況套管內(nèi)壓的變化，如果水泥環(huán)在高應(yīng)力作用下產(chǎn)生了塑性應(yīng)變，套管壓力隨之降低則很可能產(chǎn)生微間隙。因此，微間隙的產(chǎn)生和評(píng)價(jià)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程。

如圖5(c)所示，內(nèi)響應(yīng)曲線1與外響應(yīng)曲線相交于c點(diǎn)，表示在一定水泥環(huán)界面壓力下套管和水泥環(huán)－地層區(qū)域達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，根據(jù)c點(diǎn)的位置可以判斷出水泥環(huán)發(fā)生了剪切破壞和拉伸破壞;當(dāng)套管內(nèi)壓減小時(shí)，內(nèi)響應(yīng)曲線1將會(huì)向徑向位移增大方向平移(圖中內(nèi)響應(yīng)曲線2)，根據(jù)彈塑性力學(xué)理論，當(dāng)壓力超過(guò)材料的屈服極限時(shí)，卸壓后其應(yīng)力－應(yīng)變曲線將不再沿原路徑返回。因此，當(dāng)水泥環(huán)－地層區(qū)域發(fā)生塑性破壞后界面壓力減小，其位移也不再沿收斂線變化，而是沿圖中的虛擬卸載線變化。根據(jù)塑性理論，總位移可以分解為彈性位移ue和塑性位移up，且在變形不大時(shí)，多數(shù)材料的塑性應(yīng)變和殘余應(yīng)變近似相等。圖5(c)中e點(diǎn)為彈塑性分界點(diǎn)，c點(diǎn)和e點(diǎn)二者所對(duì)應(yīng)位移的差值即為殘余應(yīng)變所對(duì)應(yīng)的塑性位移，bb'是卸載后徑向位移與初始位移的差值即為殘余應(yīng)變所對(duì)應(yīng)的塑性位移，即ts=bb'，因此可以通過(guò)b點(diǎn)位置得出水泥環(huán)虛擬卸載線。圖5(c)中d點(diǎn)為內(nèi)響應(yīng)曲線2與虛擬卸載線的交點(diǎn)。若水泥環(huán)－地層區(qū)域沿原收斂線卸載，則在此平衡界面壓力下所對(duì)應(yīng)的位移應(yīng)該在n點(diǎn)處。由于虛擬卸載線的斜率大于原收斂線，因此隨著水泥環(huán)界面壓力的減小，水泥環(huán)－地層區(qū)域位移沿虛擬卸載線變化比原外響應(yīng)曲線要快，二者之間存在位移差mn，tm為套管內(nèi)壓減小所產(chǎn)生的卸載位移，當(dāng)卸載后達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，如果套管的卸載位移tm比水泥環(huán)－地層區(qū)域的卸載位移mn大，即tm＞mn，二者間產(chǎn)生尺寸為(tm－mn)的微間隙;若狀態(tài)穩(wěn)定，套管內(nèi)壓降低所產(chǎn)生的位移不足以抵消水泥環(huán)－地層區(qū)域的卸載位移差時(shí)，即tm＜mn，則不會(huì)產(chǎn)生微間隙。

5 實(shí)例分析

從文獻(xiàn)資料中選取一口垂直井的數(shù)據(jù)作為實(shí)例，該井井眼規(guī)則，固井質(zhì)量良好且套管、水泥環(huán)完全居中，水泥環(huán)短期完整性良好，其幾何特征及材料參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 實(shí)例井幾何特征及材料參數(shù)Table 1 Geometrical characteristic and material parameter of sample well

該井垂深4.575 km，水泥返高4.1175 km;在油井的整個(gè)生命周期中，近井區(qū)域的水平地應(yīng)力未發(fā)生變化為92 MPa，在不同的作業(yè)階段和工況下，套管內(nèi)壓力隨著套管內(nèi)流體介質(zhì)及井口壓力的不同而發(fā)生變化，計(jì)算過(guò)程中對(duì)套管內(nèi)壓依次進(jìn)行編號(hào)，如圖6所示。

圖6 不同作業(yè)階段套管內(nèi)壓變化排序Fig.6 Casing pressure order at different operation stages

利用以上系統(tǒng)響應(yīng)曲線法對(duì)油氣井生命周期中的水泥環(huán)力學(xué)完整性進(jìn)行評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)結(jié)果如圖7所示。

圖7 水泥環(huán)力學(xué)完整性評(píng)價(jià)Fig.7 Evaluation of cement mechanical integrity

在鉆井、固井、完井前3個(gè)作業(yè)階段中(圖7(a))，套管和水泥環(huán)－地層區(qū)域達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的交點(diǎn)均未超過(guò)水泥環(huán)－地層區(qū)域的彈塑性臨界點(diǎn)，整個(gè)過(guò)程位于響應(yīng)曲線的彈性段，水泥環(huán)完整性良好。隨著該井作業(yè)的繼續(xù)進(jìn)行(圖7(b))，當(dāng)油井處于試壓第1個(gè)階段時(shí)，水泥環(huán)－地層區(qū)域已進(jìn)入塑性段，直到試壓的第3個(gè)階段，水泥環(huán)－地層區(qū)域進(jìn)入完全塑性階段，由于試壓過(guò)程套管內(nèi)壓力沒(méi)有降低，所以不可能產(chǎn)生微間隙。當(dāng)套管中流體被置換時(shí)(圖7(c))，套管內(nèi)壓降低，水泥環(huán)－地層區(qū)域響應(yīng)曲線沿虛擬卸載線進(jìn)行卸載，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后產(chǎn)生了0.07 mm的微間隙;當(dāng)生產(chǎn)階段套管內(nèi)壓再次上升時(shí)，在上一階段的界面位置基礎(chǔ)上繪制系統(tǒng)響應(yīng)曲線，在產(chǎn)生塑性破壞后再次加載響應(yīng)曲線存在應(yīng)變硬化的現(xiàn)象，在界面壓力為110.5 MPa時(shí)再次與套管達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，而此時(shí)水泥環(huán)－地層區(qū)域并未發(fā)生塑性破壞，平衡壓力距離彈塑性臨界點(diǎn)118 MPa仍有一段距離，但由于此前水泥環(huán)已發(fā)生過(guò)塑性破壞，存在破碎區(qū)，所以水泥環(huán)的完整性依然會(huì)失效。

6 結(jié)論

(1)將隧道結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的收斂約束法引入石油工程中，提出的水泥環(huán)力學(xué)完整性評(píng)價(jià)方法可行，運(yùn)用該方法可以對(duì)水泥環(huán)力學(xué)完整性進(jìn)行直觀的評(píng)價(jià)，同時(shí)可以對(duì)破壞程度進(jìn)行量化。

(2)水泥環(huán)力學(xué)完整性的評(píng)價(jià)需要縱觀油氣井的整個(gè)生產(chǎn)作業(yè)歷史。若前一階段水泥環(huán)完整性已經(jīng)發(fā)生失效，會(huì)對(duì)后續(xù)階段的完整性產(chǎn)生影響。

(3)水泥環(huán)力學(xué)破壞準(zhǔn)則的選取與破壞機(jī)制的研究在水泥環(huán)力學(xué)完整性評(píng)價(jià)中非常重要，其理論體系還有待于進(jìn)一步研究。

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