職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題策略淺析

韋余芹

摘 要：應(yīng)用題能考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的靈活轉(zhuǎn)化和實(shí)際應(yīng)用的能力，能全面體現(xiàn)職高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)，所以很受試卷命題人的青睞，并成為每年單招高考題的必備題型。因此，對應(yīng)用題的考查必須給予更多的重視，要引導(dǎo)學(xué)生深入生活，在了解數(shù)學(xué)問題的同時(shí)不斷擴(kuò)大知識面，這樣才能在解決問題時(shí)立于不敗之地。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)應(yīng)用題；函數(shù)；數(shù)列；圓錐曲線

一、函數(shù)類應(yīng)用題建立函數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵

現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在的所謂“最優(yōu)化”問題，諸如成本最低，利潤、產(chǎn)出最大，效益最好等應(yīng)用問題，常?？梢詺w結(jié)為函數(shù)的最值問題，通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法去解決。

例.某商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元售出時(shí)，每天可銷售100件，現(xiàn)在他采用提高售出價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法，增加利潤，已知這種商品每件漲價(jià)1元，其銷售數(shù)量就減少10個(gè)，問他將售價(jià)定為多少時(shí)，方能賺得利潤最大？并說明理由。建模過程如下：

（1）審題并將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型：設(shè)每件提價(jià)x元，（x≥0），利潤為y元，則每天銷售額為（10+x）（100-10x）元，進(jìn)貨總價(jià)為8（100-10x），故0≤x≤10。

∵利潤=銷售總價(jià)-進(jìn)貨總價(jià)

∴有y=（2+x）（100-10x）（0≤x≤10）。

即原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型：二次函數(shù)的最值問題。

（2）對數(shù)學(xué)模型求解：

y=（2+x）（100-10x）

=-10（x-4）2+360 （0≤x≤10）

當(dāng)x=4時(shí) ymax=360

（3）回歸實(shí)際問題：故當(dāng)售出價(jià)每件14元時(shí)，每天所賺利潤最大為360元。

二、數(shù)列應(yīng)用題

數(shù)列知識除在個(gè)人投資理財(cái)方面有較為廣泛的應(yīng)用外，在企業(yè)經(jīng)營管理上也是不可或缺的。雖然這些應(yīng)用題是從實(shí)際生活中抽象出來的略高于生活的問題，但他們是數(shù)學(xué)習(xí)題中最能反映數(shù)學(xué)知識與實(shí)際生活關(guān)系密切的一類問題。因此，解答應(yīng)用問題有助于我們對數(shù)學(xué)在日常生活中的廣泛應(yīng)用的理解和認(rèn)識。如，按揭貨款中的數(shù)列問題。

例.用分期付款的方式購買價(jià)格為1150元的冰箱，如果購買時(shí)先付150元，以后每月付50元，再加上欠款的利息（月利息為1%）若一個(gè)月后付第一個(gè)月的分期付款，那么第10個(gè)月該付多少錢？購冰箱錢全部付清后，實(shí)際共付多少元？分析：付款情況分述如下：

先付款150（元）

第一次分期付款：a1=50+（1150-150）×1%=60（元）

第二次分期付款：a2=50+（1150-150-50）×1%=59.5（元）

第三次分期付款：a3=50+（1150-150-50×2）×1%=59（元）

第n次分期付款：an=50+[1150-150-（n-1）50]×1%=60-（n-1）。（n∈[1，20]，n∈N）

三、圓錐曲線類應(yīng)用題

解答圓錐曲線的應(yīng)用問題時(shí)，要善于抓住問題的實(shí)質(zhì)，通過建立數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用性問題向數(shù)學(xué)問題的順利轉(zhuǎn)化。要注意認(rèn)真分析數(shù)量間的關(guān)系，緊扣圓錐曲線概念，充分利用曲線的幾何性質(zhì)，確定正確的問題解決途徑，靈活運(yùn)用解析幾何的常用數(shù)學(xué)方法，求得最終完整的解答。下面舉例說明：

例.某工程要挖一個(gè)橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運(yùn)到P處（如圖所示）已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，試說明怎樣運(yùn)土最省工。

分析：首先抽象為數(shù)學(xué)問題，半圓中的點(diǎn)可分為三類：（1）沿AP到P較近；（2）沿BP到P較近；（3）沿AP、BP到P同樣遠(yuǎn)。

顯然，第三類點(diǎn)是第一、二類的分界點(diǎn)，設(shè)M是分界線上的任意一點(diǎn)則有MA+PA=MB+PB

于是MA-MB=PB-PA=150-100=50

從而發(fā)現(xiàn)第三類點(diǎn)M滿足性質(zhì)：點(diǎn)M到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之差等于常數(shù)50，由雙曲線定義知，點(diǎn)M在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，故問題轉(zhuǎn)化為求此雙曲線的方程。

于是運(yùn)土?xí)r將雙曲線左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最省工。

數(shù)學(xué)教育家弗賴登搭爾從數(shù)學(xué)教育學(xué)的特點(diǎn)出發(fā)，提出了“數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，扎根于現(xiàn)實(shí)，應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)?！雹俚慕虒W(xué)原則，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，把數(shù)學(xué)知識與生活、學(xué)習(xí)、活動(dòng)有機(jī)地結(jié)合起來，通過收集資料、動(dòng)手操作、合作討論等活動(dòng)，讓學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)在生活中無處不在，獲得探索數(shù)學(xué)的體驗(yàn)，提高利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力，讓生活數(shù)學(xué)化。如，我們可指導(dǎo)學(xué)生以小組合作為形式制作長方體形狀的包裝紙盒，利用已學(xué)過的長方體的表面展開圖的知識、美術(shù)知識、語言知識、生產(chǎn)常識對長方體和它的表面進(jìn)行探究。以此激發(fā)學(xué)生探索的欲望，并通過小組合作自我解決問題，提高了自己運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力，切實(shí)體會數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，從而激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，更好地做好數(shù)學(xué)應(yīng)用題。

參考文獻(xiàn)：

[1]方建成.對“數(shù)學(xué)建?！钡脑偎伎糩J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2001（01）.

[2]薛治剛.高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題[M].吉林科學(xué)技術(shù)出版社，1998（11）.

[3]沈文選.數(shù)學(xué)建模[M].湖南師大出版社，1999-07.

[4]葉其孝.中學(xué)數(shù)學(xué)建模[M].湖南教育出版社，1997-11.

Vocational School Mathematics Word Problems Shallow of Problem-solving Strategies

Wei Yuqin

Abstract：the application can test students mathematics knowledge conversion of flexible and practical application ability，can fully reflect high vocational students mathematical quality，so it was very popular with the paper proposition people，and become the essential topic each year for the university entrance exam questions，therefore，to investigate the problems must be given more attention，to guide students into the thick of life，in the understanding of math problems at the same time continuously expanded aspect of knowledge，such ability in solving problems in an impregnable position.

Key words：mathematics word problems；Functions；The sequence；conic

編輯 薛直艷

摘 要：應(yīng)用題能考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的靈活轉(zhuǎn)化和實(shí)際應(yīng)用的能力，能全面體現(xiàn)職高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)，所以很受試卷命題人的青睞，并成為每年單招高考題的必備題型。因此，對應(yīng)用題的考查必須給予更多的重視，要引導(dǎo)學(xué)生深入生活，在了解數(shù)學(xué)問題的同時(shí)不斷擴(kuò)大知識面，這樣才能在解決問題時(shí)立于不敗之地。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)應(yīng)用題；函數(shù)；數(shù)列；圓錐曲線

一、函數(shù)類應(yīng)用題建立函數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵

現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在的所謂“最優(yōu)化”問題，諸如成本最低，利潤、產(chǎn)出最大，效益最好等應(yīng)用問題，常?？梢詺w結(jié)為函數(shù)的最值問題，通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法去解決。

例.某商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元售出時(shí)，每天可銷售100件，現(xiàn)在他采用提高售出價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法，增加利潤，已知這種商品每件漲價(jià)1元，其銷售數(shù)量就減少10個(gè)，問他將售價(jià)定為多少時(shí)，方能賺得利潤最大？并說明理由。建模過程如下：

（1）審題并將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型：設(shè)每件提價(jià)x元，（x≥0），利潤為y元，則每天銷售額為（10+x）（100-10x）元，進(jìn)貨總價(jià)為8（100-10x），故0≤x≤10。

∵利潤=銷售總價(jià)-進(jìn)貨總價(jià)

∴有y=（2+x）（100-10x）（0≤x≤10）。

即原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型：二次函數(shù)的最值問題。

（2）對數(shù)學(xué)模型求解：

y=（2+x）（100-10x）

=-10（x-4）2+360 （0≤x≤10）

當(dāng)x=4時(shí) ymax=360

（3）回歸實(shí)際問題：故當(dāng)售出價(jià)每件14元時(shí)，每天所賺利潤最大為360元。

二、數(shù)列應(yīng)用題

數(shù)列知識除在個(gè)人投資理財(cái)方面有較為廣泛的應(yīng)用外，在企業(yè)經(jīng)營管理上也是不可或缺的。雖然這些應(yīng)用題是從實(shí)際生活中抽象出來的略高于生活的問題，但他們是數(shù)學(xué)習(xí)題中最能反映數(shù)學(xué)知識與實(shí)際生活關(guān)系密切的一類問題。因此，解答應(yīng)用問題有助于我們對數(shù)學(xué)在日常生活中的廣泛應(yīng)用的理解和認(rèn)識。如，按揭貨款中的數(shù)列問題。

例.用分期付款的方式購買價(jià)格為1150元的冰箱，如果購買時(shí)先付150元，以后每月付50元，再加上欠款的利息（月利息為1%）若一個(gè)月后付第一個(gè)月的分期付款，那么第10個(gè)月該付多少錢？購冰箱錢全部付清后，實(shí)際共付多少元？分析：付款情況分述如下：

先付款150（元）

第一次分期付款：a1=50+（1150-150）×1%=60（元）

第二次分期付款：a2=50+（1150-150-50）×1%=59.5（元）

第三次分期付款：a3=50+（1150-150-50×2）×1%=59（元）

第n次分期付款：an=50+[1150-150-（n-1）50]×1%=60-（n-1）。（n∈[1，20]，n∈N）

三、圓錐曲線類應(yīng)用題

解答圓錐曲線的應(yīng)用問題時(shí)，要善于抓住問題的實(shí)質(zhì)，通過建立數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用性問題向數(shù)學(xué)問題的順利轉(zhuǎn)化。要注意認(rèn)真分析數(shù)量間的關(guān)系，緊扣圓錐曲線概念，充分利用曲線的幾何性質(zhì)，確定正確的問題解決途徑，靈活運(yùn)用解析幾何的常用數(shù)學(xué)方法，求得最終完整的解答。下面舉例說明：

例.某工程要挖一個(gè)橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運(yùn)到P處（如圖所示）已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，試說明怎樣運(yùn)土最省工。

分析：首先抽象為數(shù)學(xué)問題，半圓中的點(diǎn)可分為三類：（1）沿AP到P較近；（2）沿BP到P較近；（3）沿AP、BP到P同樣遠(yuǎn)。

顯然，第三類點(diǎn)是第一、二類的分界點(diǎn)，設(shè)M是分界線上的任意一點(diǎn)則有MA+PA=MB+PB

于是MA-MB=PB-PA=150-100=50

從而發(fā)現(xiàn)第三類點(diǎn)M滿足性質(zhì)：點(diǎn)M到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之差等于常數(shù)50，由雙曲線定義知，點(diǎn)M在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，故問題轉(zhuǎn)化為求此雙曲線的方程。

于是運(yùn)土?xí)r將雙曲線左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最省工。

數(shù)學(xué)教育家弗賴登搭爾從數(shù)學(xué)教育學(xué)的特點(diǎn)出發(fā)，提出了“數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，扎根于現(xiàn)實(shí)，應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)?！雹俚慕虒W(xué)原則，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，把數(shù)學(xué)知識與生活、學(xué)習(xí)、活動(dòng)有機(jī)地結(jié)合起來，通過收集資料、動(dòng)手操作、合作討論等活動(dòng)，讓學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)在生活中無處不在，獲得探索數(shù)學(xué)的體驗(yàn)，提高利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力，讓生活數(shù)學(xué)化。如，我們可指導(dǎo)學(xué)生以小組合作為形式制作長方體形狀的包裝紙盒，利用已學(xué)過的長方體的表面展開圖的知識、美術(shù)知識、語言知識、生產(chǎn)常識對長方體和它的表面進(jìn)行探究。以此激發(fā)學(xué)生探索的欲望，并通過小組合作自我解決問題，提高了自己運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力，切實(shí)體會數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，從而激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，更好地做好數(shù)學(xué)應(yīng)用題。

參考文獻(xiàn)：

[1]方建成.對“數(shù)學(xué)建?！钡脑偎伎糩J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2001（01）.

[2]薛治剛.高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題[M].吉林科學(xué)技術(shù)出版社，1998（11）.

[3]沈文選.數(shù)學(xué)建模[M].湖南師大出版社，1999-07.

[4]葉其孝.中學(xué)數(shù)學(xué)建模[M].湖南教育出版社，1997-11.

Vocational School Mathematics Word Problems Shallow of Problem-solving Strategies

Wei Yuqin

Abstract：the application can test students mathematics knowledge conversion of flexible and practical application ability，can fully reflect high vocational students mathematical quality，so it was very popular with the paper proposition people，and become the essential topic each year for the university entrance exam questions，therefore，to investigate the problems must be given more attention，to guide students into the thick of life，in the understanding of math problems at the same time continuously expanded aspect of knowledge，such ability in solving problems in an impregnable position.

Key words：mathematics word problems；Functions；The sequence；conic

編輯 薛直艷

摘 要：應(yīng)用題能考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的靈活轉(zhuǎn)化和實(shí)際應(yīng)用的能力，能全面體現(xiàn)職高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)，所以很受試卷命題人的青睞，并成為每年單招高考題的必備題型。因此，對應(yīng)用題的考查必須給予更多的重視，要引導(dǎo)學(xué)生深入生活，在了解數(shù)學(xué)問題的同時(shí)不斷擴(kuò)大知識面，這樣才能在解決問題時(shí)立于不敗之地。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)應(yīng)用題；函數(shù)；數(shù)列；圓錐曲線

一、函數(shù)類應(yīng)用題建立函數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵

現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在的所謂“最優(yōu)化”問題，諸如成本最低，利潤、產(chǎn)出最大，效益最好等應(yīng)用問題，常?？梢詺w結(jié)為函數(shù)的最值問題，通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法去解決。

例.某商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元售出時(shí)，每天可銷售100件，現(xiàn)在他采用提高售出價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法，增加利潤，已知這種商品每件漲價(jià)1元，其銷售數(shù)量就減少10個(gè)，問他將售價(jià)定為多少時(shí)，方能賺得利潤最大？并說明理由。建模過程如下：

（1）審題并將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型：設(shè)每件提價(jià)x元，（x≥0），利潤為y元，則每天銷售額為（10+x）（100-10x）元，進(jìn)貨總價(jià)為8（100-10x），故0≤x≤10。

∵利潤=銷售總價(jià)-進(jìn)貨總價(jià)

∴有y=（2+x）（100-10x）（0≤x≤10）。

即原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型：二次函數(shù)的最值問題。

（2）對數(shù)學(xué)模型求解：

y=（2+x）（100-10x）

=-10（x-4）2+360 （0≤x≤10）

當(dāng)x=4時(shí) ymax=360

（3）回歸實(shí)際問題：故當(dāng)售出價(jià)每件14元時(shí)，每天所賺利潤最大為360元。

二、數(shù)列應(yīng)用題

數(shù)列知識除在個(gè)人投資理財(cái)方面有較為廣泛的應(yīng)用外，在企業(yè)經(jīng)營管理上也是不可或缺的。雖然這些應(yīng)用題是從實(shí)際生活中抽象出來的略高于生活的問題，但他們是數(shù)學(xué)習(xí)題中最能反映數(shù)學(xué)知識與實(shí)際生活關(guān)系密切的一類問題。因此，解答應(yīng)用問題有助于我們對數(shù)學(xué)在日常生活中的廣泛應(yīng)用的理解和認(rèn)識。如，按揭貨款中的數(shù)列問題。

例.用分期付款的方式購買價(jià)格為1150元的冰箱，如果購買時(shí)先付150元，以后每月付50元，再加上欠款的利息（月利息為1%）若一個(gè)月后付第一個(gè)月的分期付款，那么第10個(gè)月該付多少錢？購冰箱錢全部付清后，實(shí)際共付多少元？分析：付款情況分述如下：

先付款150（元）

第一次分期付款：a1=50+（1150-150）×1%=60（元）

第二次分期付款：a2=50+（1150-150-50）×1%=59.5（元）

第三次分期付款：a3=50+（1150-150-50×2）×1%=59（元）

第n次分期付款：an=50+[1150-150-（n-1）50]×1%=60-（n-1）。（n∈[1，20]，n∈N）

三、圓錐曲線類應(yīng)用題

解答圓錐曲線的應(yīng)用問題時(shí)，要善于抓住問題的實(shí)質(zhì)，通過建立數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用性問題向數(shù)學(xué)問題的順利轉(zhuǎn)化。要注意認(rèn)真分析數(shù)量間的關(guān)系，緊扣圓錐曲線概念，充分利用曲線的幾何性質(zhì)，確定正確的問題解決途徑，靈活運(yùn)用解析幾何的常用數(shù)學(xué)方法，求得最終完整的解答。下面舉例說明：

例.某工程要挖一個(gè)橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運(yùn)到P處（如圖所示）已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，試說明怎樣運(yùn)土最省工。

分析：首先抽象為數(shù)學(xué)問題，半圓中的點(diǎn)可分為三類：（1）沿AP到P較近；（2）沿BP到P較近；（3）沿AP、BP到P同樣遠(yuǎn)。

顯然，第三類點(diǎn)是第一、二類的分界點(diǎn)，設(shè)M是分界線上的任意一點(diǎn)則有MA+PA=MB+PB

于是MA-MB=PB-PA=150-100=50

從而發(fā)現(xiàn)第三類點(diǎn)M滿足性質(zhì)：點(diǎn)M到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之差等于常數(shù)50，由雙曲線定義知，點(diǎn)M在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，故問題轉(zhuǎn)化為求此雙曲線的方程。

于是運(yùn)土?xí)r將雙曲線左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最省工。

數(shù)學(xué)教育家弗賴登搭爾從數(shù)學(xué)教育學(xué)的特點(diǎn)出發(fā)，提出了“數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，扎根于現(xiàn)實(shí)，應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)。”①的教學(xué)原則，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，把數(shù)學(xué)知識與生活、學(xué)習(xí)、活動(dòng)有機(jī)地結(jié)合起來，通過收集資料、動(dòng)手操作、合作討論等活動(dòng)，讓學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)在生活中無處不在，獲得探索數(shù)學(xué)的體驗(yàn)，提高利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力，讓生活數(shù)學(xué)化。如，我們可指導(dǎo)學(xué)生以小組合作為形式制作長方體形狀的包裝紙盒，利用已學(xué)過的長方體的表面展開圖的知識、美術(shù)知識、語言知識、生產(chǎn)常識對長方體和它的表面進(jìn)行探究。以此激發(fā)學(xué)生探索的欲望，并通過小組合作自我解決問題，提高了自己運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力，切實(shí)體會數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，從而激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，更好地做好數(shù)學(xué)應(yīng)用題。

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Vocational School Mathematics Word Problems Shallow of Problem-solving Strategies

Wei Yuqin

Abstract：the application can test students mathematics knowledge conversion of flexible and practical application ability，can fully reflect high vocational students mathematical quality，so it was very popular with the paper proposition people，and become the essential topic each year for the university entrance exam questions，therefore，to investigate the problems must be given more attention，to guide students into the thick of life，in the understanding of math problems at the same time continuously expanded aspect of knowledge，such ability in solving problems in an impregnable position.

Key words：mathematics word problems；Functions；The sequence；conic

編輯 薛直艷