從學(xué)生認(rèn)知水平入手 用矛盾運(yùn)動(dòng)規(guī)律教學(xué)——《圓的周長(zhǎng)》的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

游家水

（游家水：廣州市越秀區(qū)署前路小學(xué) 廣東廣州510080 責(zé)任編輯：李士飛）

《圓的周長(zhǎng)》是人教版義務(wù)教育課程六年級(jí)上冊(cè)第四單元 《圓》第二節(jié)的內(nèi)容。從單元編排上看，第四單元知識(shí)內(nèi)容分為三部分：認(rèn)識(shí)圓、圓周長(zhǎng)、圓面積，本課時(shí)既是對(duì)圓認(rèn)識(shí)的繼續(xù)深化，又為圓面積的研究奠定基礎(chǔ)。從“周長(zhǎng)”知識(shí)體系編排上看，本課時(shí)是在三年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)了周長(zhǎng)的一般概念以及長(zhǎng)方形、正方形周長(zhǎng)計(jì)算的基礎(chǔ)上做進(jìn)一步研究。學(xué)生從學(xué)習(xí)直線圖形到學(xué)習(xí)曲線圖形，不論是內(nèi)容還是研究問(wèn)題的方法，都有所變化。教材通過(guò)對(duì)圓周長(zhǎng)的研究，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)研究曲線圖形的基本方法，同時(shí)滲透“化曲為直”的轉(zhuǎn)化思想和“類(lèi)比猜想”的合情推理方法。

一、學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生在三年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了周長(zhǎng)的意義及測(cè)量周長(zhǎng)的方法，有計(jì)算直線圖形周長(zhǎng)的知識(shí)基礎(chǔ)，對(duì)曲線圖形的周長(zhǎng)也有較為深刻的認(rèn)識(shí)，因此學(xué)生對(duì)于理解圓周長(zhǎng)的意義、測(cè)量圓周長(zhǎng)的方法都具有較豐富的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。他們樂(lè)于接受化曲為直的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)引導(dǎo)基本能夠運(yùn)用滾圓法、繞繩法等方法測(cè)量圓周長(zhǎng)。

但六年級(jí)學(xué)生思維仍處于以具體形象思維為主的階段，其抽象邏輯能力和合情推理能力還處于發(fā)展之中，學(xué)生往往缺乏思維的自覺(jué)性，缺乏主動(dòng)調(diào)度相關(guān)舊知，自主遷移類(lèi)推知識(shí)方法的能力。

對(duì)于推導(dǎo)圓周長(zhǎng)計(jì)算公式而言，雖然學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有“封閉平面圖形的周長(zhǎng)可能與其圖形內(nèi)的某些線段具有倍數(shù)關(guān)系”的數(shù)學(xué)觀念，“長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)與其圖形內(nèi)的某些線段具有倍數(shù)關(guān)系”這一類(lèi)比原型與方法例證，通過(guò)類(lèi)比由加法交換律推導(dǎo)出乘法交換律、由加法結(jié)合律推導(dǎo)出乘法結(jié)合律的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，以及學(xué)生畫(huà)圓時(shí)所獲得的舊知——“半徑、直徑?jīng)Q定圓的大小，半徑、直徑越長(zhǎng)，圓的周長(zhǎng)就越長(zhǎng)，面積就越大”的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，但就大多數(shù)學(xué)生而言，要求其借助類(lèi)比猜想，在探索圓周長(zhǎng)計(jì)算公式的過(guò)程中有意識(shí)地從“圓周長(zhǎng)與什么有關(guān)”、“為什么要研究圓的周長(zhǎng)與直徑關(guān)系”、“周長(zhǎng)與直徑有什么關(guān)系”三個(gè)核心問(wèn)題切入開(kāi)展自主探究，進(jìn)而理解圓周率的意義常常存在較大的困難。因此，教師在教學(xué)中要給學(xué)生提供必要的指導(dǎo)，以幫助學(xué)生進(jìn)行探究。

二、運(yùn)用矛盾運(yùn)動(dòng)規(guī)律學(xué)習(xí)新知

小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，其實(shí)質(zhì)是一種矛盾運(yùn)動(dòng)，是學(xué)生發(fā)現(xiàn)矛盾、分析矛盾、解決矛盾的過(guò)程。學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)，當(dāng)原有的知識(shí)、技能、方法不能解決面臨的新數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，矛盾就出現(xiàn)了，從而產(chǎn)生認(rèn)知沖突。這時(shí)，學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)需要與求知欲望，從而充分調(diào)動(dòng)相關(guān)舊知來(lái)解決問(wèn)題。而當(dāng)問(wèn)題解決后，新問(wèn)題會(huì)隨之出現(xiàn)。瑞士著名心理學(xué)家皮亞杰就曾經(jīng)指出：“任何認(rèn)識(shí)，在解決了前面的問(wèn)題后，又會(huì)提出新的問(wèn)題?！?/p>

基于這一認(rèn)識(shí)，本課采取了以下的教學(xué)策略：在“呈現(xiàn)矛盾—分析矛盾—解決矛盾”的過(guò)程中，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)需要與求知欲。在“分析矛盾—解決矛盾”的過(guò)程中，滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生初步邏輯思維能力和合情推理能力。把教學(xué)過(guò)程看作是“呈現(xiàn)矛盾—分析矛盾—解決矛盾”的過(guò)程。教學(xué)時(shí)注意創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，適時(shí)呈現(xiàn)矛盾，讓學(xué)生在“沖突—平衡—再?zèng)_突—再平衡”的循環(huán)往復(fù)心理過(guò)程中，積極主動(dòng)地參與知識(shí)的發(fā)生、形成與發(fā)展過(guò)程，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，拓展學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（一）創(chuàng)設(shè)情境，建立概念

創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，并通過(guò)摸、指、描等體驗(yàn)活動(dòng)，充分地建立圓周長(zhǎng)概念。

首先，呈現(xiàn)問(wèn)題情境：喜羊羊和灰太狼來(lái)到草地上跑步比賽，灰太狼是沿著正方形的花壇跑；喜羊羊沿著圓形的花壇跑。學(xué)生自然明確，灰太狼所跑的路程是正方形的周長(zhǎng)，是我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)；喜羊羊所跑的路程是圓的周長(zhǎng)，是我們本節(jié)課要研究的知識(shí)，揭示課題。其次，讓學(xué)生感受新知識(shí)。讓學(xué)生拿出圓形學(xué)具看一看、摸一摸、說(shuō)一說(shuō)、描一描圓周長(zhǎng)，體會(huì)圓的周長(zhǎng)的含義。

（二）實(shí)驗(yàn)探究，獲取新知

新授環(huán)節(jié)以“呈現(xiàn)矛盾—分析矛盾—解決矛盾”為教學(xué)主線，在發(fā)現(xiàn)矛盾到解決矛盾的過(guò)程中，突出教學(xué)重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn)。

1.測(cè)量實(shí)驗(yàn)，產(chǎn)生需要

在測(cè)量法的教學(xué)環(huán)節(jié)中，通過(guò)提供的典型材料，讓學(xué)生體會(huì)到有的圓可以用“繞繩法”或“滾動(dòng)法”等方法來(lái)測(cè)量出它的周長(zhǎng)，滲透了“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想方法。但同時(shí)也認(rèn)識(shí)到“繞繩”、“滾動(dòng)”等測(cè)量方法的局限性，引發(fā)其探索研究“計(jì)算公式”的必要性，使之帶著問(wèn)題學(xué)習(xí)新知識(shí)，探索解決問(wèn)題的方法與途徑，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知平衡。

2.再次實(shí)驗(yàn)，探究新知

圓周率是探究圓周長(zhǎng)計(jì)算公式的中介點(diǎn)，它既反映了圓周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系，同時(shí)利用圓周率，可以求出周長(zhǎng)，因此理解圓周率的意義及其價(jià)值是推導(dǎo)計(jì)算公式的關(guān)鍵。在本環(huán)節(jié)，我設(shè)計(jì)了導(dǎo)向明確的問(wèn)題，使學(xué)生再次經(jīng)歷呈現(xiàn)矛盾—分析矛盾—解決矛盾的過(guò)程，經(jīng)歷自主探究新知的學(xué)習(xí)過(guò)程。當(dāng)學(xué)生在探索圓周長(zhǎng)計(jì)算公式之時(shí)，直線圖形周長(zhǎng)的研究方法與曲線圖形周長(zhǎng)的研究方法不同，怎樣尋找圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式？新的矛盾再次產(chǎn)生，這時(shí)可以適時(shí)地啟發(fā)學(xué)生借助直線圖形周長(zhǎng)的規(guī)律：直線圖形的周長(zhǎng)與其圖形內(nèi)的某些線段存在倍數(shù)關(guān)系，由此類(lèi)比：圓周長(zhǎng)與直徑是否也存在倍比關(guān)系？再次引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，指引探究的方向。

首先，我讓學(xué)生想一想：圓周長(zhǎng)與什么有關(guān)？引導(dǎo)學(xué)生回憶：畫(huà)圓的時(shí)候，半徑?jīng)Q定圓的大小，在同圓中直徑是半徑的2倍，所以圓的周長(zhǎng)與圓的半徑和直徑都有關(guān)系，先研究周長(zhǎng)和直徑的關(guān)系。

第二步，我向?qū)W生拋出“圓的周長(zhǎng)和直徑有什么關(guān)系？”這一獲取新知的核心矛盾，引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比猜想：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是它長(zhǎng)加寬的和的2倍，正方形的周長(zhǎng)是它邊長(zhǎng)的4倍，學(xué)生可能會(huì)猜想出圓的周長(zhǎng)與直徑之間可能也存在這樣的倍數(shù)關(guān)系。那么圓的周長(zhǎng)與直徑的比值會(huì)不會(huì)是一個(gè)固定不變的數(shù)呢？板書(shū)：C÷d=□。

第三步是引導(dǎo)學(xué)生猜想，通過(guò)幾何推理確定周長(zhǎng)與直徑關(guān)系比值的范圍 （如下圖）。

第四步是運(yùn)用數(shù)據(jù)驗(yàn)證推理。學(xué)生四人小組分工合作，測(cè)量出圓周長(zhǎng)，用計(jì)算器計(jì)算比值，并填寫(xiě)完成下表。

測(cè)量對(duì)象 圓的周長(zhǎng) 圓的直徑 周長(zhǎng)與直徑的比值圓1圓2圓3

學(xué)生實(shí)驗(yàn)后并匯報(bào)周長(zhǎng)與直徑的比值，發(fā)現(xiàn)：圓的周長(zhǎng)是直徑的3倍多一些。由于測(cè)量周長(zhǎng)、直徑時(shí)，總存在測(cè)量的誤差，因此難以找到圓周長(zhǎng)與直徑的確切比值，怎樣才能找到它們的比值呢？

第五步是介紹劉徽的“割圓術(shù)”，讓學(xué)生體會(huì)隨著圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)增加，多邊形周長(zhǎng)近似于圓周長(zhǎng)，滲透極限的數(shù)學(xué)思想；介紹祖沖之的圓周率，認(rèn)識(shí)圓周率是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，用π來(lái)表示。并借數(shù)學(xué)文化激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷，培養(yǎng)民族自豪感。

第六步是推導(dǎo)出圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式：我們知道C÷d=π，所以可以推導(dǎo)出C=πd或C=2πr。

（三）多層練習(xí)，鞏固新知

練習(xí)設(shè)計(jì)分為四個(gè)層次：第一層次是基本練習(xí)，安排運(yùn)用公式計(jì)算圓的周長(zhǎng)的題目，反饋學(xué)生對(duì)新知識(shí)的掌握情況。第二層次是安排兩道看圖求周長(zhǎng)的題目，再次運(yùn)用公式計(jì)算圓的周長(zhǎng)，鞏固新知，形成技能。第三層次是選擇題，鞏固圓周率的概念，知道π是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)；理解圓周率是一個(gè)定值，不受圓大小的影響；利用圓周率的近似值進(jìn)行估算，體現(xiàn)解決問(wèn)題的靈活性。第四層次是利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。包括：直接利用計(jì)算公式解決問(wèn)題；利用計(jì)算公式解決變式練習(xí)；計(jì)算公式的逆向運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維。

整個(gè)教學(xué)過(guò)程是以邏輯嚴(yán)密的數(shù)學(xué)問(wèn)題為主線，以學(xué)生的學(xué)習(xí)認(rèn)知基礎(chǔ)為出發(fā)點(diǎn)，適時(shí)地創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，使學(xué)生經(jīng)歷多次“呈現(xiàn)矛盾—分析矛盾—解決矛盾”的過(guò)程，讓學(xué)生在“沖突—平衡—再?zèng)_突—再平衡”的循環(huán)往復(fù)心理過(guò)程中，積極主動(dòng)地參與知識(shí)的發(fā)生、形成與發(fā)展過(guò)程，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，拓展學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。