數(shù)學美“美”的原理及教學原則

丁興榮

數(shù)學美“美”的原理在于數(shù)學的實踐性、人的能動性、數(shù)學的美的屬性，數(shù)學美的實踐性決定了數(shù)學美的教學應“以學悟美 以美激學”，數(shù)學史的教學要融入到學生的數(shù)學學習實踐之中。

數(shù)學美實踐性能動性美的屬性以學悟美數(shù)學美“美”的原理是數(shù)學美教學最基本的問題，對數(shù)學美“美”的原理的認識，直接制約著數(shù)學美教學活動。本文在對數(shù)學美的研究進行梳理后，從數(shù)學的實踐性、人的能動性、數(shù)學的美的屬性三方面論述了數(shù)學美“美”的原理，及應采取的教學原則。

一、教育層面數(shù)學美研究的梳理

輸入“主題（篇名、關(guān)鍵詞、摘要）”——“數(shù)學美”，自1992年以來，搜索到相關(guān)的論文為58篇。梳理后得如下主要見解：形式說，數(shù)學美就是數(shù)學中美麗的圖形、精煉的語言、簡練的定理、公式；思想說，“數(shù)學的美，在于數(shù)學思想深刻之美”；屬性說，數(shù)學美反映的是主體對數(shù)學對象深層結(jié)構(gòu)及其相互間本質(zhì)聯(lián)系的認識，“邏輯真實性、形式化與抽象性、和諧統(tǒng)一性、簡潔性才是數(shù)學美的本質(zhì)屬性”?，F(xiàn)實本質(zhì)說，“數(shù)學美是現(xiàn)實美的反映，它是現(xiàn)實肯定實踐的一種自由形式?！眱r值說，“數(shù)學美是一種自由價值，模式是它的形式載體，模式蘊載著序，序反映了模式的自由價值?！币陨衔宸N數(shù)學美的見解都有獨到的視角，但筆者認為都缺少從數(shù)學的實踐性的角度進行分析，數(shù)學家的活動是數(shù)學實踐，學生的數(shù)學學習也是一種數(shù)學實踐，數(shù)學美的教學一定要基于學生的學習活動這樣一種實踐。

二、數(shù)學美“美”的原理

1.數(shù)學的實踐性——數(shù)學美的本質(zhì)

數(shù)學最基本的特征在于實踐性。任何數(shù)學實踐都是對“真”的描述：“從數(shù)學未來發(fā)展的角度看，這個世紀發(fā)生的最重要的事情是，獲得了數(shù)學與自然界的關(guān)系的正確看法。對于我們評述過他們工作的許多人說來，盡管沒有討論過他們的數(shù)學觀點，但是像希臘人，Descartes，Newton，Euler和許多別的人，我們卻說過，他們相信數(shù)學是真實現(xiàn)象的準確描述，并且認為他們自己的工作揭示了天地萬物的數(shù)學設(shè)計?！睂Α罢妗钡拿枥L，也是對“善”的追求：“數(shù)學家們還在現(xiàn)實世界之外依靠智慧創(chuàng)造了一個理想世界，后者雖然可以從前者領(lǐng)悟到，但數(shù)學家試圖把它發(fā)展成為一個最完美的世界。”

“一個最完美的世界”就是“真”基礎(chǔ)上的“善”，對美的追求，合乎數(shù)學實踐的目的，也就指出了數(shù)學實踐成功的標準，美學的標準——“真”與“善” 完美的統(tǒng)一。而這些，只有人的實踐才能做到，“動物只是按照它所屬的那個種的尺度和需求來建造，而人卻懂得按照任何一個種的尺度來進行生產(chǎn)，并且懂得怎樣處處把內(nèi)在的尺度運用到對象上去；因此，人也按照美的規(guī)律來建造?！瘪R克思的這段話清楚地表明了兩層含義：一是，只有人的實踐才能認識美、把握美，人類實踐尊崇美的規(guī)律。二是，人類實踐的美的規(guī)律——兩個“尺度”，第一個是“任何一個種的尺度”，第二個是人的“內(nèi)在尺度”。“任何一個種的尺度”指的是事物的“真”：事物的客觀規(guī)律，人類必須在尊重、不隨意改變事物的規(guī)律基礎(chǔ)上，認識并掌握它。人的“內(nèi)在尺度”指的是人類實踐的目的性，目的性即指向性，在掌握事物的“真”后，根據(jù)人類發(fā)展的目的性，在對“種”的實踐中追求有益于人類的功利價值，即“善”。誠如列寧所說：“善是‘對外部現(xiàn)實性的要求”。人類的實踐表現(xiàn)為真與善的統(tǒng)一：合規(guī)律性與合目的性的統(tǒng)一，這就是“按照美的規(guī)律來建造”的本質(zhì)內(nèi)涵，充分表明“美”是對“真與善的統(tǒng)一”的判斷。真是美的基礎(chǔ)，善是美靈魂，人類的一切實踐活動都是在不斷追求真、善、美的統(tǒng)一。

數(shù)學美源于數(shù)學實踐。雖然對數(shù)學美的本質(zhì)問題目前尚無統(tǒng)一的定義，原因可能如哈代所說：“數(shù)學家的職責是要作點事，證明新定理，加點東西到數(shù)學里去，……解釋、批評、鑒賞之作，都是此等心智的事。”作為數(shù)學教育者，如何認識數(shù)學美的本質(zhì)，實施數(shù)學美的教育教學，應該以馬克思的實踐論作為基本的觀點和研究的出發(fā)點。“美既不是物的自然屬性，也不是人的主觀意識的產(chǎn)物，其根源在于人類的實踐，由于人的實踐，從而產(chǎn)生美。”一種事物之所以美或丑，關(guān)鍵在于這樣的事物同人類的某種實踐發(fā)生了聯(lián)系，其自然屬性或蘊藏的內(nèi)涵得以顯露，才有了美或丑。

數(shù)學美來自數(shù)學實踐的例子比比皆是。例如，黃金比0.618反應了客觀世界深層次結(jié)構(gòu)的某種規(guī)律，例如，人體最佳溫度是230C（恰好是人體體溫370C的0.618），這是眾所周知的畢達哥拉斯學派在對一些數(shù)列進行研究（實踐）時，發(fā)現(xiàn)的數(shù)學的一種美：“美是和諧與比例”。畢氏學派再接再厲，從五角星中發(fā)現(xiàn)了“黃金分割”，后人進而得到了黃金分割比0.618，哥白尼和開普勒在研究一首古老音樂與天體運動的關(guān)系時，運用畢氏理論，發(fā)現(xiàn)了天體運動的第三定律?，F(xiàn)在，黃金比0.618廣泛用到優(yōu)選法、現(xiàn)代醫(yī)學等領(lǐng)域。數(shù)學美是數(shù)學實踐的結(jié)果，反過來又會促進、影響數(shù)學實踐。

由于數(shù)學實踐的差異，數(shù)學美可分為三個層面。數(shù)學家的數(shù)學美，數(shù)學美是其數(shù)學實踐的產(chǎn)物，創(chuàng)造了數(shù)學美；數(shù)學教育工作者的數(shù)學美，其數(shù)學實踐是對數(shù)學家的數(shù)學實踐過程再展開，再現(xiàn)、發(fā)掘數(shù)學美；學生的數(shù)學美，是在數(shù)學學習過程中，欣賞、理解、感悟數(shù)學美，運用數(shù)學美，提升美的鑒賞能力。學生也可以在其數(shù)學學習的實踐過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學美、創(chuàng)造數(shù)學美。

2.數(shù)學的能動性——數(shù)學美感的本質(zhì)

數(shù)學為什么給人美感？數(shù)學實踐中人的能動性得到了發(fā)揮和體現(xiàn)。“人不僅像在意識中那樣理智地復現(xiàn)自己，而且能動地、現(xiàn)實地復現(xiàn)自己，從而在他所創(chuàng)造的世界中直觀自身。”實踐過程中，直觀到自己的本質(zhì)力量的迸發(fā)，實現(xiàn)了創(chuàng)造性的工作，有了成就感，引起了內(nèi)心的喜悅，就會有美感的產(chǎn)生?，F(xiàn)代美學之父費希納認為美學必須從哲學體系中解放出來，著重研究主體的審美感受，即狹義的美感。

康德從形式邏輯的“質(zhì)—量—關(guān)系—模態(tài)”角度對美感進行了分析，認為美感即是美學的一種判斷力。對于數(shù)學美感，阿達瑪認為美感的本質(zhì)就是數(shù)學直覺，也即審美的直覺力。美感是科學家必須信賴的向?qū)Ш鸵环N心理素質(zhì)。審美能力越強，“發(fā)現(xiàn)隱微之關(guān)系及和諧”的能力就越強，直接影響科學家的創(chuàng)造。endprint

美感被馬克思看成是有別于理論思維的認識和改造世界的特有方式之一，是人們積極投身實踐活動的推動力，不僅包括潛移默化的認識作用，也包括強有力的感染作用，這種作用是科學意識無法代替的。數(shù)學美感不僅給數(shù)學自身的發(fā)展提供向?qū)В步o其他科學的發(fā)展提供了向?qū)?。這正如著名數(shù)學家丘成桐先生所言：“數(shù)學之美在于簡約嚴謹，應用一些簡單的數(shù)學定理，把大自然的關(guān)系描述出來。我想物理學家和工程師也可以體會到數(shù)學的美，比如，電腦的各種各樣的問題都可以用數(shù)學來解釋。以簡馭繁，這是一種很美妙的感覺。這是與文化藝術(shù)共通的語言，張大千的國畫，寥寥幾筆，栩栩如生，躍然紙上?！狈ɡ谕ㄟ^實驗發(fā)現(xiàn)了電磁感應現(xiàn)象，由于其缺少扎實的數(shù)學功底，他的創(chuàng)見都是以直觀的形式表達，無法理論化，導致他的實驗及理論研究無法更進一步。具有深厚數(shù)學功底的麥克斯韋依據(jù)法拉第的實驗結(jié)果，把電磁理論方程寫成：

3.數(shù)學的美的屬性——數(shù)學美的韻味

數(shù)學家彭加萊認為統(tǒng)一性、簡潔性、對稱性、協(xié)調(diào)性和奇異性是數(shù)學美的內(nèi)容和基本特征，這一概括是從數(shù)學的科學角度出發(fā)并基于數(shù)學家的數(shù)學實踐，簡練精辟，具有高度的濃縮性。顯然這種概括不是基于數(shù)學教育實踐，為了數(shù)學美的理解性教學，有必要從教育學角度對數(shù)學美的屬性進行解析，體悟其中韻味。

（1）數(shù)學的和諧性。數(shù)學給人最直觀的就是和諧，和而不同，辯證統(tǒng)一。數(shù)學總是在不和諧中發(fā)現(xiàn)問題，尋找解決之道，達到和諧，數(shù)學得到發(fā)展，公理系統(tǒng)的相容性、數(shù)學的嚴謹性等都體現(xiàn)了數(shù)學的和諧性。和諧最主要的內(nèi)涵是“統(tǒng)一”，再如，初等數(shù)學中的直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程在極坐標系中能完美的統(tǒng)一：ρ=ep1-ecosθ。數(shù)學的和諧性，要把握三個“統(tǒng)一”：形式和內(nèi)容的統(tǒng)一；相對和絕對的統(tǒng)一；新穎和歷史傳承的統(tǒng)一。

美不是單純表現(xiàn)在形式或內(nèi)容上的，是形式與內(nèi)容的統(tǒng)一。美的內(nèi)容是通過具體的感性形式表現(xiàn)出來，給人以美的形象，離開了形式，美的內(nèi)容就失去了載體；反之，離開了具體的內(nèi)容，美的形式就顯得蒼白空洞。“一橋飛架南北，天塹變通途”的南京長江大橋和其貌不揚的“趙州橋”在現(xiàn)今眾多的橋梁中，其外在形狀不見得怎樣，但卻給人以美的感染力，就在于其歷史內(nèi)涵。

法國唯物主義哲學家狄德羅曾提出“美是關(guān)系”的論斷，首先，美與它所處的環(huán)境有密切的關(guān)系，時間或空間變化了，對象的審美屬性也會隨之變化。哥德爾的不完備理論表明，數(shù)學命題的正確性要受到概念界定、公理選擇、論證方式取舍等多種因素的影響和制約，有時候，即使在體系內(nèi)還是不可判定的。再如，1+1=2在二進制中是沒有意義。其次，數(shù)學美的相對性也和人們的社會審美意識有關(guān)，例如，天鵝是一種美麗的鳥，但若按照“黃金比例”對其進行分析，天鵝就會很“丑”。這些都說明美的相對性。不能因為數(shù)學美具有相對性，而否定數(shù)學美的絕對性。數(shù)學之所以美，是由于數(shù)學自身具有美的特點，符合美的規(guī)律，這是數(shù)學美的絕對性。數(shù)學美的相對性和絕對性是辯證統(tǒng)一的，數(shù)學美的絕對性寓于相對性之中，數(shù)學命題雖具有相對性，但在特定的時間、空間等環(huán)境下就是絕對的。數(shù)學美相對性的歷史長河，組成了數(shù)學美的絕對性，“無數(shù)相對的真理之總和，就是絕對的真理?！?/p>

（2）數(shù)學的科學理性。數(shù)學美是一種內(nèi)在美，具有科學理性。“我在這里所說的美，不是給我們感官以印象的美，也不是質(zhì)地美和表現(xiàn)美。并非我小看上述那種美，完全不是，而是這種美與科學無關(guān)。我的意思是那種比較深奧的美，這種美在于各部分的和諧秩序，并且純粹的理智能夠把握它。正是這種美使物體，也可以說使結(jié)構(gòu)具有讓我們感官滿意的彩虹般的外表?！喾?，理性美可以達到其自身”理性美有助于人類去把握事物發(fā)生發(fā)展的因果關(guān)系，理性美代表著崇高，崇高有兩類，一類就是“數(shù)學的崇高”（二是力學的崇高，力學某種程度上是數(shù)學的表達）。康德對此認為：“‘崇高是被給予于‘絕對偉大者之名。但是，是‘偉大與是一‘有大小的量度，這兩者是完全不同的概念……‘某物絕對偉大是‘超越一切比較的偉大?！薄俺绺吣耸恰?nèi)荒軌蛉ニ贾寄芗醋阕C明一心靈之能力可以超過每一感官之標準。”“自然中之美是‘對象之形式之問題，而此即表示自然中之美是存于‘限制中；然而崇高（莊嚴偉大）卻是被發(fā)見于一甚至無形式之對象中——當此對象直接地含有‘無限制之表象時……總猶把‘此對象之整體之思想增加到此無限制之表象上。依此而言，美似乎被看成是知性之一‘不決定的概念之展現(xiàn)，而崇高則被看成理性之一‘不決定的概念之展現(xiàn)?！边@段話表明美是知性的，有不確定性，崇高是理性的，指引著人去發(fā)現(xiàn)美?！俺绺叩谋憩F(xiàn)形式都能引起觀賞者理智與感情的緊張?zhí)剿鳎瑥亩羁痰馗惺艿饺祟悓嵺`主體戰(zhàn)勝客體的嚴重、艱苦的斗爭的痕跡。”

（3）數(shù)學的社會性。數(shù)學美源于數(shù)學實踐，客觀性是顯然的，但其對社會的影響也是顯而易見的，數(shù)學實踐受到人的社會的制約，即使作為數(shù)學的對象離開人可以存在，但數(shù)學的審美屬性與價值只能對人而言，離開了實踐主體的人，數(shù)學美就不復存在。一方面，數(shù)學中的辯證的思想影響著社會，數(shù)學充滿辯證法的精華，數(shù)學中的將無限化為有限、在無序中辨識有序、偶然和必然的內(nèi)在聯(lián)系的描繪、簡單與復雜的闡釋、確定與隨機的關(guān)聯(lián)的反映等，可以愉悅?cè)?，提高人的審美意識與審美價值，凈化人的心靈，啟發(fā)人的思想。另一方面，數(shù)學對社會具有功利性的影響，例如，數(shù)學本身是刻畫世界、解決問題的模式，著名數(shù)學家、哲學家懷特海曾明確提出“數(shù)學是模式”的科學，鄭毓信教授也非常認同，認為：“無論數(shù)學的概念和命題，或是數(shù)學的問題和方法，事實上都是一種模式，也即都具有超出特定事物或現(xiàn)象的普遍意義。”“其目的就是為了從中提出一般的方法或模式，這種模式，在以后類似的情況下，對于讀者求解問題，可以起指引作用?！?/p>

（4）數(shù)學的創(chuàng)造性。數(shù)學美直接和創(chuàng)造相關(guān)聯(lián)，就創(chuàng)造的本質(zhì)，萊布尼茲認為就是找出概念間所有可能的組合，彭加萊對此進一步闡述：“數(shù)學創(chuàng)造實際上是什么呢？它并不在于用已知的數(shù)學體作出新的組合，任何一個人都會坐這種組合。但這樣的組合在數(shù)目上是無限的，它們中的大多數(shù)完全沒有用處。創(chuàng)造恰恰在于不作無用的組合，而作有用的、為數(shù)極少的組合。發(fā)明就是識別、選擇。”概念間可能的組合是眾多的，如何篩選有用的組合，不是邏輯的作用，從以往的案例看，是無意識思維即直覺的作用，“數(shù)學的美感、數(shù)和形的和諧感、幾何學的雅致感，這是一切真正地數(shù)學家都知道的審美感……正是這種特殊的審美感起著我已經(jīng)說過的篩選作用?！眅ndprint

三、數(shù)學美的教學認識

1.以史顯美

數(shù)學史是欣賞數(shù)學美的重要途徑，首先，是保存和傳承歷史、價值觀和數(shù)學文化的必由之路。其次，數(shù)學史就是哲學史，是人類辯證地認識自然世界和思維世界，并通過人類的創(chuàng)造性思想表達出來，這樣的哲學史也即反映數(shù)學作為文化的特征。再次，數(shù)學史是數(shù)學家解決問題、建構(gòu)模式的思想與方法觀。最后，數(shù)學史是數(shù)學應用與創(chuàng)造史。

對于數(shù)學史教學，徐利治教授認為：“數(shù)學史研究大體上可分為‘內(nèi)史和‘外史兩個方面?！畠?nèi)史研究以考察數(shù)學理論成果的歷史形態(tài)為主，包括數(shù)學成果產(chǎn)生的年代、最初的形態(tài)和后來的演變、創(chuàng)立者的貢獻數(shù)學成果的傳播等?！馐费芯恳钥疾鞌?shù)學發(fā)展與社會生活各方面的關(guān)系為主，包括數(shù)學發(fā)展與哲學、科學技術(shù)、經(jīng)濟、軍事、宗教等方面的關(guān)系，以及數(shù)學家生平和思想，數(shù)學事業(yè)的發(fā)展，數(shù)學教育等方面的問題?！?/p>

但目前，數(shù)學史教學著力點在“外史”上，忽視了“內(nèi)史”，這是短視的做法?！巴馐贰斌w現(xiàn)的是數(shù)學美的外延性，而“內(nèi)史”體現(xiàn)了數(shù)學的“自在價值（概念）、工具價值（方法）、應用價值（模型）”。另外，數(shù)學美的欣賞需要學生熟悉相應的數(shù)學理論的背景、內(nèi)容，以及數(shù)學家為此所做的工作，“數(shù)學美就不能完全被歸結(jié)為相應的數(shù)學對象所具有的某種屬性，而是與數(shù)學家的活動密切相關(guān)的。”具體而言，“就數(shù)學美涉及的對象而言，最經(jīng)常的是數(shù)學定理，其次是數(shù)學證明，但是數(shù)學美也可被用于其他的數(shù)學對象，包括整體性的數(shù)學理論，證明中的某個特定步驟，以及數(shù)學定義等……一個數(shù)學成分的美是與學派和時代直接相關(guān)的……我們不能脫離特定的社會——文化背景、特別是數(shù)學研究的實際狀況抽象地去談及數(shù)學美，也即認為數(shù)學美具有一種絕對的意義……數(shù)學美不應、也不可能成為直接的追求目標或教學對象，‘對數(shù)學美的鑒賞需要對于相應數(shù)學理論的熟悉，而后者則只有通過練習、投入時間和精力，而非通過對于美的鑒賞的訓練所能達到的?！?/p>

數(shù)學史的教學不能停留在簡單的欣賞層面，要融入到學生的數(shù)學學習實踐中，“以學悟美 以美激學”。就數(shù)學美的認識論而言，外在形式美屬于數(shù)學的認識美，內(nèi)在理性美屬于數(shù)學的本體美，應用創(chuàng)造美屬于數(shù)學的方法美。形式美、數(shù)學應用美的教學，都應以內(nèi)在理性美的深刻體會為基礎(chǔ)。美是具體的，學生要“經(jīng)歷”數(shù)學概念的形成過程與知識的應用過程，才能感悟美，才有對數(shù)學美的感性認知與理性理解，學生數(shù)學美鑒賞能力的提高必須以概況數(shù)學內(nèi)容和過程為基礎(chǔ)：“理解數(shù)學的概念和原理；了解數(shù)學的探究過程；理解數(shù)學與一般文化的關(guān)系；理解數(shù)學的用場?！碑攲W生真正感受到數(shù)學化構(gòu)造自然的巧妙，數(shù)學思想洞察力的深邃，學生才會領(lǐng)略數(shù)學美的真諦，被數(shù)學吸引，喜歡、熱愛數(shù)學，進而掌握數(shù)學學習的策略與方法。

2.以學悟美

其一，在概念建構(gòu)中感悟數(shù)學美。

概念建構(gòu)是數(shù)學學習的最基本形式，關(guān)鍵有二，第一，在于理解。塔爾（D.O.Tall）認為認知根源是數(shù)學概念學習的基礎(chǔ)，認知根源有助于學生理解概念的思想，形成學習的邏輯起點。第二，任何一個概念都可以多角度刻畫，抓住核心定義，形成概念域。

其二，在問題解決中感悟方法美。

問題解決是學生最重要的數(shù)學活動，主要表現(xiàn)為解題，但解題往往變成了題海訓練，而單純的訓練卻不能帶來真正的理解和獨立思考。對問題解決的真正理解和獨立思考，需要在問題解決教學中有意識設(shè)計，閃現(xiàn)數(shù)學的方法美。波利亞在其《怎樣解題》中指出：“有一些變化題目的方式是典型有用的，諸如回到定義上去、分解和重組、引入輔助元素、普遍化、特殊化，以及使用類比等等。”羅增儒教授在其《數(shù)學解題學引論》中認為解題重點是“解題過程的改進”與“解題成果的擴大”。單墫教授在其《解題研究》則認為解題有兩點很重要：“教會思考”和“解題必須實踐”。喻平教授認為優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)能提供豐富的信息源，有助于問題解決。

其三，在數(shù)學應用中感悟應用美。

四、結(jié)束語

數(shù)學美的教學，需要教師在數(shù)學學科上具備辯美析理的分析能力、化繁為簡的駕馭能力、審同觀異的洞察能力，也需要教師具備美學的、哲學的、物理學的基本素養(yǎng)，在其它領(lǐng)域廣泛涉獵。

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[18]徐利治，王前.數(shù)學哲學、數(shù)學史與數(shù)學教育的結(jié)合——數(shù)學教育改革的一個重要方向[J].數(shù)學教育學報，1994，（1）：5-6.

[19]方延明.數(shù)學文化[M].北京：清華大學出版社，2007.22-25.

[20]張順燕.關(guān)于數(shù)學教學的若干認識[J].數(shù)學教育學報，2004，（1）：5.

[21]波利亞 著.涂泓，馮承天 譯.怎樣解題[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2002.215.

[22][美]R·柯朗，H·羅賓.左平，張飴慈譯.什么是數(shù)學——對思想和方法的基本研究[M].上海：復旦大學出版社，2005.249.endprint

三、數(shù)學美的教學認識

1.以史顯美

數(shù)學史是欣賞數(shù)學美的重要途徑，首先，是保存和傳承歷史、價值觀和數(shù)學文化的必由之路。其次，數(shù)學史就是哲學史，是人類辯證地認識自然世界和思維世界，并通過人類的創(chuàng)造性思想表達出來，這樣的哲學史也即反映數(shù)學作為文化的特征。再次，數(shù)學史是數(shù)學家解決問題、建構(gòu)模式的思想與方法觀。最后，數(shù)學史是數(shù)學應用與創(chuàng)造史。

對于數(shù)學史教學，徐利治教授認為：“數(shù)學史研究大體上可分為‘內(nèi)史和‘外史兩個方面?！畠?nèi)史研究以考察數(shù)學理論成果的歷史形態(tài)為主，包括數(shù)學成果產(chǎn)生的年代、最初的形態(tài)和后來的演變、創(chuàng)立者的貢獻數(shù)學成果的傳播等?！馐费芯恳钥疾鞌?shù)學發(fā)展與社會生活各方面的關(guān)系為主，包括數(shù)學發(fā)展與哲學、科學技術(shù)、經(jīng)濟、軍事、宗教等方面的關(guān)系，以及數(shù)學家生平和思想，數(shù)學事業(yè)的發(fā)展，數(shù)學教育等方面的問題?！?/p>

但目前，數(shù)學史教學著力點在“外史”上，忽視了“內(nèi)史”，這是短視的做法?！巴馐贰斌w現(xiàn)的是數(shù)學美的外延性，而“內(nèi)史”體現(xiàn)了數(shù)學的“自在價值（概念）、工具價值（方法）、應用價值（模型）”。另外，數(shù)學美的欣賞需要學生熟悉相應的數(shù)學理論的背景、內(nèi)容，以及數(shù)學家為此所做的工作，“數(shù)學美就不能完全被歸結(jié)為相應的數(shù)學對象所具有的某種屬性，而是與數(shù)學家的活動密切相關(guān)的?！本唧w而言，“就數(shù)學美涉及的對象而言，最經(jīng)常的是數(shù)學定理，其次是數(shù)學證明，但是數(shù)學美也可被用于其他的數(shù)學對象，包括整體性的數(shù)學理論，證明中的某個特定步驟，以及數(shù)學定義等……一個數(shù)學成分的美是與學派和時代直接相關(guān)的……我們不能脫離特定的社會——文化背景、特別是數(shù)學研究的實際狀況抽象地去談及數(shù)學美，也即認為數(shù)學美具有一種絕對的意義……數(shù)學美不應、也不可能成為直接的追求目標或教學對象，‘對數(shù)學美的鑒賞需要對于相應數(shù)學理論的熟悉，而后者則只有通過練習、投入時間和精力，而非通過對于美的鑒賞的訓練所能達到的?！?/p>

數(shù)學史的教學不能停留在簡單的欣賞層面，要融入到學生的數(shù)學學習實踐中，“以學悟美 以美激學”。就數(shù)學美的認識論而言，外在形式美屬于數(shù)學的認識美，內(nèi)在理性美屬于數(shù)學的本體美，應用創(chuàng)造美屬于數(shù)學的方法美。形式美、數(shù)學應用美的教學，都應以內(nèi)在理性美的深刻體會為基礎(chǔ)。美是具體的，學生要“經(jīng)歷”數(shù)學概念的形成過程與知識的應用過程，才能感悟美，才有對數(shù)學美的感性認知與理性理解，學生數(shù)學美鑒賞能力的提高必須以概況數(shù)學內(nèi)容和過程為基礎(chǔ)：“理解數(shù)學的概念和原理；了解數(shù)學的探究過程；理解數(shù)學與一般文化的關(guān)系；理解數(shù)學的用場。”當學生真正感受到數(shù)學化構(gòu)造自然的巧妙，數(shù)學思想洞察力的深邃，學生才會領(lǐng)略數(shù)學美的真諦，被數(shù)學吸引，喜歡、熱愛數(shù)學，進而掌握數(shù)學學習的策略與方法。

2.以學悟美

其一，在概念建構(gòu)中感悟數(shù)學美。

概念建構(gòu)是數(shù)學學習的最基本形式，關(guān)鍵有二，第一，在于理解。塔爾（D.O.Tall）認為認知根源是數(shù)學概念學習的基礎(chǔ)，認知根源有助于學生理解概念的思想，形成學習的邏輯起點。第二，任何一個概念都可以多角度刻畫，抓住核心定義，形成概念域。

其二，在問題解決中感悟方法美。

問題解決是學生最重要的數(shù)學活動，主要表現(xiàn)為解題，但解題往往變成了題海訓練，而單純的訓練卻不能帶來真正的理解和獨立思考。對問題解決的真正理解和獨立思考，需要在問題解決教學中有意識設(shè)計，閃現(xiàn)數(shù)學的方法美。波利亞在其《怎樣解題》中指出：“有一些變化題目的方式是典型有用的，諸如回到定義上去、分解和重組、引入輔助元素、普遍化、特殊化，以及使用類比等等?！绷_增儒教授在其《數(shù)學解題學引論》中認為解題重點是“解題過程的改進”與“解題成果的擴大”。單墫教授在其《解題研究》則認為解題有兩點很重要：“教會思考”和“解題必須實踐”。喻平教授認為優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)能提供豐富的信息源，有助于問題解決。

其三，在數(shù)學應用中感悟應用美。

四、結(jié)束語

數(shù)學美的教學，需要教師在數(shù)學學科上具備辯美析理的分析能力、化繁為簡的駕馭能力、審同觀異的洞察能力，也需要教師具備美學的、哲學的、物理學的基本素養(yǎng)，在其它領(lǐng)域廣泛涉獵。

參考文獻：

[1]文衛(wèi)星.引導學生欣賞與發(fā)現(xiàn)數(shù)學美——以極限教學為例[J].數(shù)學教育學報，2012，21（2）：56.

[2]顧沛.數(shù)學的美 在于數(shù)學思想深刻之美[J].數(shù)學教育學報，2011，20（4）：9.

[3]陳煥斌，張雄.略論數(shù)學美的本質(zhì)屬性[J].數(shù)學教育學報，2008，17（5）：28.

[4]張玉峰，孟愛紅.數(shù)學美的本質(zhì)[J].數(shù)學教育學報，2006，15（8）：24.

[5]劉萍，張雄.數(shù)學美的哲學思考[J].數(shù)學教育學報，1999，8（5）：38.

[6][美]M·克萊因.古今數(shù)學思想[M].上海：上?？茖W技術(shù)出版社，2002.101.

[7]J.N.Kapur.王慶人譯.數(shù)學家談數(shù)學本質(zhì)[M].北京：北京大學出版社，1989.187.

[8]1844年經(jīng)濟學哲學手稿.馬克思恩科斯全集[M].第42卷.北京：人民出版社，1958.97.

[9]鄭毓信，肖柏榮，熊萍.數(shù)學思維與數(shù)學方法論[M].成都：四川教育出版社，2004.365.366-370.

[10]劉叔成，夏之放，樓昔勇.美學的基本原理[M].上海：上海人民出版社，1984.51.197.

[11]康德.牟宗三譯.判斷力批判.西安：西北大學出版社，2008.293-304.174.178.170-171.

[12]沈耀峰，齊芳，丘成桐.享受數(shù)學之美[N].光明日報，2005-11-15（2）.

[13]實踐論，毛澤東選集第1卷.北京：人民出版社，1991.272.

[14]張順燕.數(shù)學的源與流[M].北京：高等教育出版社，2000.281.

[15]彭加萊.李醒民譯.科學的價值[M].北京：光明日報出版社，1988.357.377.383.

[16]鄭毓信.數(shù)學教育哲學[M].成都：四川教育出版社，2005.54.

[17]喬治·波利亞.劉景麟，曹之江，鄒清蓮譯.數(shù)學的發(fā)現(xiàn)[M].北京：科學出版社，2006.3.

[18]徐利治，王前.數(shù)學哲學、數(shù)學史與數(shù)學教育的結(jié)合——數(shù)學教育改革的一個重要方向[J].數(shù)學教育學報，1994，（1）：5-6.

[19]方延明.數(shù)學文化[M].北京：清華大學出版社，2007.22-25.

[20]張順燕.關(guān)于數(shù)學教學的若干認識[J].數(shù)學教育學報，2004，（1）：5.

[21]波利亞 著.涂泓，馮承天 譯.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2002.215.

[22][美]R·柯朗，H·羅賓.左平，張飴慈譯.什么是數(shù)學——對思想和方法的基本研究[M].上海：復旦大學出版社，2005.249.endprint

三、數(shù)學美的教學認識

1.以史顯美

數(shù)學史是欣賞數(shù)學美的重要途徑，首先，是保存和傳承歷史、價值觀和數(shù)學文化的必由之路。其次，數(shù)學史就是哲學史，是人類辯證地認識自然世界和思維世界，并通過人類的創(chuàng)造性思想表達出來，這樣的哲學史也即反映數(shù)學作為文化的特征。再次，數(shù)學史是數(shù)學家解決問題、建構(gòu)模式的思想與方法觀。最后，數(shù)學史是數(shù)學應用與創(chuàng)造史。

對于數(shù)學史教學，徐利治教授認為：“數(shù)學史研究大體上可分為‘內(nèi)史和‘外史兩個方面?！畠?nèi)史研究以考察數(shù)學理論成果的歷史形態(tài)為主，包括數(shù)學成果產(chǎn)生的年代、最初的形態(tài)和后來的演變、創(chuàng)立者的貢獻數(shù)學成果的傳播等?！馐费芯恳钥疾鞌?shù)學發(fā)展與社會生活各方面的關(guān)系為主，包括數(shù)學發(fā)展與哲學、科學技術(shù)、經(jīng)濟、軍事、宗教等方面的關(guān)系，以及數(shù)學家生平和思想，數(shù)學事業(yè)的發(fā)展，數(shù)學教育等方面的問題?！?/p>

但目前，數(shù)學史教學著力點在“外史”上，忽視了“內(nèi)史”，這是短視的做法?！巴馐贰斌w現(xiàn)的是數(shù)學美的外延性，而“內(nèi)史”體現(xiàn)了數(shù)學的“自在價值（概念）、工具價值（方法）、應用價值（模型）”。另外，數(shù)學美的欣賞需要學生熟悉相應的數(shù)學理論的背景、內(nèi)容，以及數(shù)學家為此所做的工作，“數(shù)學美就不能完全被歸結(jié)為相應的數(shù)學對象所具有的某種屬性，而是與數(shù)學家的活動密切相關(guān)的?！本唧w而言，“就數(shù)學美涉及的對象而言，最經(jīng)常的是數(shù)學定理，其次是數(shù)學證明，但是數(shù)學美也可被用于其他的數(shù)學對象，包括整體性的數(shù)學理論，證明中的某個特定步驟，以及數(shù)學定義等……一個數(shù)學成分的美是與學派和時代直接相關(guān)的……我們不能脫離特定的社會——文化背景、特別是數(shù)學研究的實際狀況抽象地去談及數(shù)學美，也即認為數(shù)學美具有一種絕對的意義……數(shù)學美不應、也不可能成為直接的追求目標或教學對象，‘對數(shù)學美的鑒賞需要對于相應數(shù)學理論的熟悉，而后者則只有通過練習、投入時間和精力，而非通過對于美的鑒賞的訓練所能達到的。”

數(shù)學史的教學不能停留在簡單的欣賞層面，要融入到學生的數(shù)學學習實踐中，“以學悟美 以美激學”。就數(shù)學美的認識論而言，外在形式美屬于數(shù)學的認識美，內(nèi)在理性美屬于數(shù)學的本體美，應用創(chuàng)造美屬于數(shù)學的方法美。形式美、數(shù)學應用美的教學，都應以內(nèi)在理性美的深刻體會為基礎(chǔ)。美是具體的，學生要“經(jīng)歷”數(shù)學概念的形成過程與知識的應用過程，才能感悟美，才有對數(shù)學美的感性認知與理性理解，學生數(shù)學美鑒賞能力的提高必須以概況數(shù)學內(nèi)容和過程為基礎(chǔ)：“理解數(shù)學的概念和原理；了解數(shù)學的探究過程；理解數(shù)學與一般文化的關(guān)系；理解數(shù)學的用場?！碑攲W生真正感受到數(shù)學化構(gòu)造自然的巧妙，數(shù)學思想洞察力的深邃，學生才會領(lǐng)略數(shù)學美的真諦，被數(shù)學吸引，喜歡、熱愛數(shù)學，進而掌握數(shù)學學習的策略與方法。

2.以學悟美

其一，在概念建構(gòu)中感悟數(shù)學美。

概念建構(gòu)是數(shù)學學習的最基本形式，關(guān)鍵有二，第一，在于理解。塔爾（D.O.Tall）認為認知根源是數(shù)學概念學習的基礎(chǔ)，認知根源有助于學生理解概念的思想，形成學習的邏輯起點。第二，任何一個概念都可以多角度刻畫，抓住核心定義，形成概念域。

其二，在問題解決中感悟方法美。

問題解決是學生最重要的數(shù)學活動，主要表現(xiàn)為解題，但解題往往變成了題海訓練，而單純的訓練卻不能帶來真正的理解和獨立思考。對問題解決的真正理解和獨立思考，需要在問題解決教學中有意識設(shè)計，閃現(xiàn)數(shù)學的方法美。波利亞在其《怎樣解題》中指出：“有一些變化題目的方式是典型有用的，諸如回到定義上去、分解和重組、引入輔助元素、普遍化、特殊化，以及使用類比等等?！绷_增儒教授在其《數(shù)學解題學引論》中認為解題重點是“解題過程的改進”與“解題成果的擴大”。單墫教授在其《解題研究》則認為解題有兩點很重要：“教會思考”和“解題必須實踐”。喻平教授認為優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)能提供豐富的信息源，有助于問題解決。

其三，在數(shù)學應用中感悟應用美。

四、結(jié)束語

數(shù)學美的教學，需要教師在數(shù)學學科上具備辯美析理的分析能力、化繁為簡的駕馭能力、審同觀異的洞察能力，也需要教師具備美學的、哲學的、物理學的基本素養(yǎng)，在其它領(lǐng)域廣泛涉獵。

參考文獻：

[1]文衛(wèi)星.引導學生欣賞與發(fā)現(xiàn)數(shù)學美——以極限教學為例[J].數(shù)學教育學報，2012，21（2）：56.

[2]顧沛.數(shù)學的美 在于數(shù)學思想深刻之美[J].數(shù)學教育學報，2011，20（4）：9.

[3]陳煥斌，張雄.略論數(shù)學美的本質(zhì)屬性[J].數(shù)學教育學報，2008，17（5）：28.

[4]張玉峰，孟愛紅.數(shù)學美的本質(zhì)[J].數(shù)學教育學報，2006，15（8）：24.

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[6][美]M·克萊因.古今數(shù)學思想[M].上海：上?？茖W技術(shù)出版社，2002.101.

[7]J.N.Kapur.王慶人譯.數(shù)學家談數(shù)學本質(zhì)[M].北京：北京大學出版社，1989.187.

[8]1844年經(jīng)濟學哲學手稿.馬克思恩科斯全集[M].第42卷.北京：人民出版社，1958.97.

[9]鄭毓信，肖柏榮，熊萍.數(shù)學思維與數(shù)學方法論[M].成都：四川教育出版社，2004.365.366-370.

[10]劉叔成，夏之放，樓昔勇.美學的基本原理[M].上海：上海人民出版社，1984.51.197.

[11]康德.牟宗三譯.判斷力批判.西安：西北大學出版社，2008.293-304.174.178.170-171.

[12]沈耀峰，齊芳，丘成桐.享受數(shù)學之美[N].光明日報，2005-11-15（2）.

[13]實踐論，毛澤東選集第1卷.北京：人民出版社，1991.272.

[14]張順燕.數(shù)學的源與流[M].北京：高等教育出版社，2000.281.

[15]彭加萊.李醒民譯.科學的價值[M].北京：光明日報出版社，1988.357.377.383.

[16]鄭毓信.數(shù)學教育哲學[M].成都：四川教育出版社，2005.54.

[17]喬治·波利亞.劉景麟，曹之江，鄒清蓮譯.數(shù)學的發(fā)現(xiàn)[M].北京：科學出版社，2006.3.

[18]徐利治，王前.數(shù)學哲學、數(shù)學史與數(shù)學教育的結(jié)合——數(shù)學教育改革的一個重要方向[J].數(shù)學教育學報，1994，（1）：5-6.

[19]方延明.數(shù)學文化[M].北京：清華大學出版社，2007.22-25.

[20]張順燕.關(guān)于數(shù)學教學的若干認識[J].數(shù)學教育學報，2004，（1）：5.

[21]波利亞 著.涂泓，馮承天 譯.怎樣解題[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2002.215.

[22][美]R·柯朗，H·羅賓.左平，張飴慈譯.什么是數(shù)學——對思想和方法的基本研究[M].上海：復旦大學出版社，2005.249.endprint