方延洪

（重慶大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400030）

電力系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的大規(guī)模非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，有關(guān)其穩(wěn)定性與控制方面的研究一直是電力系統(tǒng)規(guī)劃與運(yùn)行的重要課題.長(zhǎng)期以來，電力系統(tǒng)的功角穩(wěn)定問題一直受到人們的關(guān)注；而電壓的穩(wěn)定作為電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一個(gè)重要方面，直到20 世紀(jì)80年代才引起了國(guó)際電工學(xué)界的廣泛關(guān)注.

概率潮流方法在 20 世紀(jì) 70年代由B.Borkwaska［1］提出，目前國(guó)內(nèi)外已經(jīng)提出的概率潮流算法主要有：一次二階矩法［2］，點(diǎn)估計(jì)法［3-4］等.文獻(xiàn)［5］提出利用Gram-Charlier級(jí)數(shù)或半不變量法替代原先的離散卷積，經(jīng)過這樣的處理，運(yùn)算速度得到了提升，同時(shí)數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性也得到了保證，但與此同時(shí)節(jié)點(diǎn)注入功率的相關(guān)性卻很難處理［6］.

模擬法不要求對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行精確建模，雖然計(jì)算較為復(fù)雜，但卻可以很好地處理隨機(jī)性問題.蒙特卡洛方法［7-8］屬于比較典型的模擬法，可較為準(zhǔn)確地獲得狀態(tài)電壓和支路潮流的概率描述.拉丁超立方采樣方法可以有效地提升計(jì)算效率，在支路潮流越限的分析中已經(jīng)得到了應(yīng)用［9］.節(jié)點(diǎn)參與因子是被廣泛接受的電壓穩(wěn)定指標(biāo)［10］，但是一般參與因子數(shù)值較小，不利于分析也不直觀，在實(shí)際中需要一個(gè)能直觀反映各個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓變化的指標(biāo)來指導(dǎo)電力系統(tǒng)的運(yùn)行.

本文利用拉丁超立方采樣進(jìn)行了概率潮流計(jì)算，分析了節(jié)點(diǎn)電壓的概率分布，為評(píng)估節(jié)點(diǎn)電壓的穩(wěn)定性，提出了節(jié)點(diǎn)電壓越限概率指標(biāo)，在IEEE118節(jié)點(diǎn)和某實(shí)際大系統(tǒng)上進(jìn)行了計(jì)算分析，結(jié)果證明了方法的有效性.

1 隨機(jī)計(jì)算模型

1.1 負(fù)荷隨機(jī)分布模型

一般來說，發(fā)、輸、配、用各個(gè)部分的模型和參數(shù)都是潮流計(jì)算的組成部分，但負(fù)荷模型的選擇對(duì)電網(wǎng)靜態(tài)安全分析影響很大.在一些情況下，計(jì)算分析的結(jié)果可能由于負(fù)荷模型選擇的不同而出現(xiàn)很大的差異，因此應(yīng)當(dāng)選擇合適的負(fù)荷模型，以提高計(jì)算分析的準(zhǔn)確度.負(fù)荷模型假設(shè)：每個(gè)母線k的負(fù)載保持恒定的功率因數(shù)，換言之，即在母線k的無功消耗是與有功成正比的，這取決于功率因數(shù)恒定的比例ak.

式中：Qdk為母線k上的無功功率消耗；Pdk為母線k上的有功功耗；ak為比例常數(shù).

更具體地說，如果母線k上的負(fù)載有一個(gè)功率因數(shù)pfk，那么ak＝tan（cos-1（pfk））.因此，Qdk是取決于vi的線性的相關(guān)隨機(jī)變量.

1.2 發(fā)電機(jī)出力調(diào)度模式

實(shí)際發(fā)電機(jī)出力有上限，當(dāng)出力越限時(shí)必須設(shè)置相應(yīng)的判斷語句進(jìn)行處理.本文的處理方式為：如果發(fā)電機(jī)有功出力越限，則將其有功出力固定在額定值；如果節(jié)點(diǎn)無功越限，則轉(zhuǎn)換為PQ節(jié)點(diǎn)，平衡節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為PQ節(jié)點(diǎn)后，在其附近挑選一臺(tái)發(fā)電機(jī)作為平衡機(jī)以平衡網(wǎng)損.具體流程如圖1 所示.

圖1 發(fā)電機(jī)出力調(diào)度流程圖Fig.1 Flow chart of generator output dispatch

1.3 拉丁超立方采樣

拉丁超立方采樣是一種分層采樣技術(shù)，由M.D.Mckay 在1979年提出［11］，其主要特點(diǎn)如下：①對(duì)輸入變量的每個(gè)概率區(qū)間進(jìn)行抽樣，確保抽樣覆蓋整個(gè)分布區(qū)域；②利用正交化算法消除采樣點(diǎn)之間的相關(guān)性，可以最大限度地保留基本信息，分為以下兩個(gè)步驟.

1.3.1 采樣

設(shè)L1，L2，…，Lk是k個(gè)隨機(jī)輸入變量，其累計(jì)概率分布為

其采樣示意圖如圖2 所示.

圖2 拉丁超立方采樣示意圖Fig.2 Schematic diagram of Latin hypercube sampling

首先根據(jù)采樣次數(shù)將累計(jì)概率曲線分為N份，然后利用公式（3）反演采樣數(shù)據(jù)

采樣后得到采樣值矩陣，每一行代表一個(gè)隨機(jī)變量的采樣值，當(dāng)采樣N次時(shí)，采樣矩陣是一個(gè)K×N的矩陣.

1.3.2 排列

形成采樣矩陣之后，矩陣元素之間有可能還有一定的相關(guān)性，這使得采樣的信息量沒有達(dá)到最優(yōu)，拉丁超立方采樣利用正交化算法減小了采樣數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，相應(yīng)流程如圖3 所示.

圖3 排列流程圖Fig.3 Flow chart of Ranking

圖3 中，Lk←takeout（Lk，Lj）表示將Lk，Lj線性回歸分析中的殘差賦值給Lk，經(jīng)過這樣處理之后，采樣矩陣元素間相關(guān)性會(huì)較小.

1.3.3 拉丁超立方采樣的優(yōu)點(diǎn)

拉丁超立方采樣可以均勻地覆蓋整個(gè)采樣區(qū)間，而且正交化算法可以確保采樣得到的信息量得到最大優(yōu)化.圖4 和圖5 分別是采用二維正態(tài)拉丁超立方和普通隨機(jī)采樣得到的樣點(diǎn)圖.

圖4 二維拉丁超立方采樣圖Fig.4 Latin hypercube sampling graph in two dimension

對(duì)比圖4 和圖5 可以較為清楚地發(fā)現(xiàn)拉丁超立方采樣得到的圖形更加集中，對(duì)正態(tài)分布的信息體現(xiàn)的更好.

圖5 二維簡(jiǎn)單隨機(jī)采樣圖Fig.5 Normal sampling graph in two dimension

1.4 隨機(jī)潮流計(jì)算流程

為了考慮負(fù)荷的波動(dòng)性，利用1.3中的拉丁超立方采樣生成隨機(jī)干擾矩陣，疊加基態(tài)負(fù)荷后，發(fā)電機(jī)出力按照1.2中規(guī)則相應(yīng)地變化，在修正功率后重復(fù)進(jìn)行確定潮流計(jì)算若干次.本文重點(diǎn)研究的是概率潮流計(jì)算，所以假設(shè)各個(gè)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)有功的變化是相互獨(dú)立的.設(shè)重復(fù)50 000 次計(jì)算的結(jié)果是準(zhǔn)確的，計(jì)算出的節(jié)點(diǎn)電壓期望和標(biāo)準(zhǔn)差分別為μaccurate和σaccurate，用μsimulated和σsimulated表示在較少采樣次數(shù)下輸出的隨機(jī)變量期望值與方差.定義期望相對(duì)誤差和標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)誤差為

計(jì)算流程如圖6 所示.

圖6 隨機(jī)潮流計(jì)算流程圖Fig.6 Flow chart of stochastic power flow calculation

1.5 節(jié)點(diǎn)負(fù)荷參與因子

節(jié)點(diǎn)負(fù)荷參與因子是模態(tài)分析中一個(gè)重要的指標(biāo)［10］，是指在全網(wǎng)負(fù)荷增長(zhǎng)的情況下，按節(jié)分岔點(diǎn)系統(tǒng)各個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)失穩(wěn)的貢獻(xiàn)，表示為電壓對(duì)無功的偏導(dǎo).

根據(jù)潮流方程

式中：ΔP為節(jié)點(diǎn)注入有功功率的變化量；ΔQ為無功變化量；Δθ是相角修正量；ΔV是節(jié)點(diǎn)電壓修正量；J代表潮流雅克比矩陣.

令ΔP≡0，得到

式中：JR＝JQU-JQθJ-1PθJPU為線性化雅克比矩陣，對(duì)其進(jìn)行奇異值分解，

在此基礎(chǔ)上，節(jié)點(diǎn)參與因子定義為

表征在節(jié)點(diǎn)k處，第i個(gè)特征根對(duì)電壓靈敏度的貢獻(xiàn)，節(jié)點(diǎn)參與因子越大，表明該節(jié)點(diǎn)電壓穩(wěn)定的裕度越小，需要采取措施提高電壓的穩(wěn)定性.

2 算例分析

2.1 IEEE118 系統(tǒng)

作為一種統(tǒng)計(jì)方法，蒙特卡洛模擬的收斂過程通常具有波動(dòng)性，且隨著系統(tǒng)的變化、算法的不同而差異很大.本文通過多次采樣進(jìn)行潮流計(jì)算，以減小隨機(jī)波動(dòng)性的影響，分別利用普通采樣和拉丁超立方采樣產(chǎn)生隨機(jī)負(fù)荷，利用概率潮流模型對(duì)IEEE118 系統(tǒng)計(jì)算1 000 次，2 000 次，5 000次，50 000次，以50 000次計(jì)算作為標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果，各次計(jì)算的誤差如表1 所示.

從表1 中數(shù)據(jù)可得，利用拉丁超立方采樣的模擬方法，在2 000 次左右的時(shí)候就可以達(dá)到簡(jiǎn)單采樣5 000次時(shí)的精度，在計(jì)算5 000次后，拉丁超立方得到的結(jié)果要優(yōu)于簡(jiǎn)單采樣的結(jié)果.拉丁超立方采樣1 000 次和簡(jiǎn)單采樣5 000 次的結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)采樣結(jié)果的比較如圖7，圖8 所示.

表1 IEEE118 系統(tǒng)兩種采樣方法的誤差Tab.1 Error comparisons between two methods on variable sampling methods for IEEE 119-bus system

圖7 拉丁超立方采樣結(jié)果比較圖Fig.7 Result of Latin hypercube sampling

圖8 簡(jiǎn)單隨機(jī)采樣結(jié)果比較圖Fig.8 Result of normal sampling

2.2 電壓越限概率和連續(xù)潮流節(jié)點(diǎn)參與因子的相關(guān)性分析

在電力系統(tǒng)運(yùn)行中，由于負(fù)荷的波動(dòng)性，節(jié)點(diǎn)電壓會(huì)一直處于變動(dòng)之中，如果電壓的變化不可控制，在運(yùn)行中通常認(rèn)為電壓失去了穩(wěn)定.本文以電壓高于1.1，低于0.95為電壓越限，利用概率潮流計(jì)算得到的電壓越限概率指標(biāo)來衡量系統(tǒng)電壓的穩(wěn)定性風(fēng)險(xiǎn)，即越限概率越大，系統(tǒng)的電壓越會(huì)長(zhǎng)期偏離正常值，這時(shí)候需要采取相應(yīng)的措施來保證電壓的穩(wěn)定性.

作為一種數(shù)值延拓法，連續(xù)潮流是靜態(tài)電壓穩(wěn)定最成熟的分析工具，本文在全網(wǎng)負(fù)荷增長(zhǎng)的情況下，利用連續(xù)潮流計(jì)算出了系統(tǒng)失穩(wěn)時(shí)各個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)失穩(wěn)的貢獻(xiàn)，并分析了這一指標(biāo)與電壓越限概率之間的相關(guān)性，證明了本文提出指標(biāo)的有效性.因一般節(jié)點(diǎn)參與因子數(shù)值較小，故圖9 中的節(jié)點(diǎn)參與因子都乘以了同一系統(tǒng)，以保證越限概率.

圖9 IEEE118 系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)電壓越限概率相關(guān)性分析Fig.9 Correlation analysis of node voltage out-of-limit probability on IEEE 118-bus

從圖9 中可以看出，電壓越限概率指標(biāo)與節(jié)點(diǎn)參與因子具有一定的相關(guān)性，大部分的節(jié)點(diǎn)的電壓越限概率與節(jié)點(diǎn)處參與因子呈正相關(guān)，在86節(jié)點(diǎn)和95節(jié)點(diǎn)處具有較高的越限概率，而這幾個(gè)節(jié)點(diǎn)的參與因子也處于峰值，可見電壓越限概率確實(shí)對(duì)衡量靜態(tài)電壓穩(wěn)定性具有一定的作用.

2.3 電壓越限概率在2012年某省電網(wǎng)中的應(yīng)用

某省2012年的電網(wǎng)共有2 569 個(gè)節(jié)點(diǎn)，是典型的復(fù)雜大系統(tǒng).應(yīng)用本方法后，隨機(jī)挑選了97個(gè)節(jié)點(diǎn)，其電壓越限概率和節(jié)點(diǎn)電壓參與因子如圖10 所示.

由圖10 中數(shù)據(jù)計(jì)算得出，本文提出的越限概率指標(biāo)與節(jié)點(diǎn)參與因子間的相關(guān)系數(shù)為0.396 3，具有較為明顯的相關(guān)性，在節(jié)點(diǎn)電壓越限概率較高的地方，節(jié)點(diǎn)的參與因子也比較大，表明此節(jié)點(diǎn)在運(yùn)行狀況下距離失穩(wěn)點(diǎn)比較近，應(yīng)當(dāng)采取措施降低該節(jié)點(diǎn)的運(yùn)行風(fēng)險(xiǎn).而且本文提出的指標(biāo)比節(jié)點(diǎn)參與因子更加直觀，清楚地表示了節(jié)點(diǎn)電壓的變化情況，相比于節(jié)點(diǎn)參與因子更加實(shí)用.

圖10 某省電網(wǎng)節(jié)點(diǎn)電壓越限概率相關(guān)性分析Fig.10 Correlation analysis of node voltage out-of-limit probability on a province grid

3 結(jié)論

本文提出了一種基于蒙特卡洛模擬的電網(wǎng)電壓穩(wěn)定評(píng)估方法，越限概率可以用來評(píng)估電網(wǎng)各個(gè)節(jié)點(diǎn)在負(fù)荷波動(dòng)情況下的電壓穩(wěn)定性.若越限概率偏大，則必須采取相應(yīng)的措施來提高該節(jié)點(diǎn)的電壓穩(wěn)定性.

1）拉丁超立方采樣下，2 000 次隨機(jī)潮流計(jì)算的收斂結(jié)果與普通采樣方法5 000 次的結(jié)果接近，說明在采用拉丁超立方采樣后計(jì)算時(shí)間大大減小，方法的快速性得到了提高.

2）在本文的隨機(jī)潮流計(jì)算中，方差的相對(duì)誤差更小，說明節(jié)點(diǎn)電壓方差的收斂程度優(yōu)于節(jié)點(diǎn)電壓的期望值，利用蒙特卡洛模擬節(jié)點(diǎn)電壓的方差值更加有效.

3）在蒙特卡洛模擬計(jì)算中，由于需要計(jì)算節(jié)點(diǎn)電壓的期望和方差，對(duì)于每一步潮流計(jì)算所得的結(jié)果都必須保存，相比于普通采樣，拉丁超立方采樣在采樣次數(shù)較少的情況下可以得到較高的精度，所以拉丁超立方采樣下的蒙特卡洛模擬對(duì)存儲(chǔ)空間的要求更少，而且拉丁超立方采樣的適用范圍要優(yōu)于普通采樣.

4）本文提出的節(jié)點(diǎn)電壓越限概率指標(biāo)和連續(xù)潮流節(jié)點(diǎn)參與因子具有一定的相關(guān)性，這說明節(jié)點(diǎn)電壓越限概率可以作為評(píng)估節(jié)點(diǎn)電壓穩(wěn)定性的指標(biāo).

5）在某省2012 的網(wǎng)絡(luò)中應(yīng)用了本方法，其計(jì)算結(jié)果與節(jié)點(diǎn)參與因子符合得較好，證明節(jié)點(diǎn)電壓越限概率可以較好地指示運(yùn)行點(diǎn)的裕度，其作為一種指標(biāo)可以應(yīng)用于大系統(tǒng)電網(wǎng)的靜態(tài)安全評(píng)估中.

［1］Borkowska B.Probabilistic load flow［J］.IEEE Trans on Power Apparatus and Systems，1974，93（3）：752-759.

［2］Madrigal M，Ponnambalam K，Quintana V H.Probabilistic optimal power flow［C］.Waterloo，Canada：IEEE Canadian Conference on Electrical and Computer Engineering，1998.

［3］Su C L，Lu C N.Two-point estimate method for quantifying transfer capability uncertainty［J］.IEEE Trans on Power System，2005，20（2）：573-579.

［4］Su C L.Probabilistic load flow computation using point estimate method［J］.IEEE Trans on Power Systems，2005，20（4）：1843-1851.

［5］Morales J M，Perez Ruiz J.Point estimate schemes to solve the probabilistic power flow［J］.IEEE Trans on Power Systems，2007，22（4）：1594-1601.

［6］Lei Dong.Probabilistic Load flow analysis for power system containing wind farms［J］.IEEE Transactions on Power System，2010，20（2）：1-4.

［7］段玉兵.基于蒙特卡洛模擬的微電網(wǎng)隨機(jī)潮流計(jì)算方法［J］.電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2011，26（增刊1）：274-278.Duan Yubing.Probabilistic power flow calculation in microgrid based on Monte-Carlo simulation［J］.Trans-actions of China Electrotechnical Society，2011，26（Sup.1）：274-278.（in Chinese）

［8］馬瑞，袁文偉.基于蒙特卡洛隨機(jī)選線最優(yōu)潮流的電壓崩潰臨界點(diǎn)算法［J］.電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2011，39（2）：65-69.Ma Rui，Yuan Wenwei.An approach for determining voltage collapse critical point based on Monte Carlo stochastic line selection optimal power flow［J］.Power System Protection and Control，2011，39（2）：65-69.（in Chinese）

［9］于晗，鐘志勇，黃杰波，等.采用拉丁超立方采樣的電力系統(tǒng)概率潮流計(jì)算方法［J］.電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2009，33（21）：32-35，81.Yu Han，Zhong Zhiyong，Huang Jiebo，et al.A probabilistic load flow calculation method with Latin hypercube sampling［J］.Automation of Electric Power Systems，2009，33（21）：32-35，81.（in Chinese）

［10］Gao B，Morison G K，Kundur P.Voltage stability evaluation using modal analysis［J］.IEEE Transactions on Power Systems，1992，7（4）：1529-1542.

［11］Mckay M D，Beckman R J，Conover W J.Acomparison of three methods for selecting values of inputvariables in the analysis of output from a computer code［J］.Technometrics，1979，21（2）：239-245.