徐紅斌

[摘 要] 讓·皮亞杰對學(xué)生的心理發(fā)展作了精辟的論述，深深地影響了當(dāng)代關(guān)于學(xué)生發(fā)展的教育改革. 筆者結(jié)合近年來對該理論的學(xué)習(xí)和理解，從發(fā)生認(rèn)識論的創(chuàng)設(shè)、利用和開發(fā)三個角度闡述了數(shù)學(xué)教學(xué)中“發(fā)生認(rèn)識論”這一理論的意義和指導(dǎo)作用.

[關(guān)鍵詞] 發(fā)生認(rèn)識論；現(xiàn)有水平；增長水平

瑞士心理學(xué)家讓·皮亞杰認(rèn)為：“發(fā)生認(rèn)識論的特點便是從各種知識最基本形式開始，去發(fā)覺它們的根源，追溯它們從最初水平直到科學(xué)思想的發(fā)展過程.”這就要求我們教師“凡是你教的東西，就要教得透徹”，要讓你的數(shù)學(xué)教學(xué)活動做到返璞歸真，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)真正與學(xué)生的發(fā)生認(rèn)識相融合.

在教學(xué)過程中應(yīng)該注意創(chuàng)設(shè)“發(fā)

生認(rèn)識”的情境

在教學(xué)過程中，我們的起點是學(xué)生的現(xiàn)有水平，終點是學(xué)生的增長水平. 要完成從起點到終點的轉(zhuǎn)化，教師首先要透徹深鉆教材，把握教材中最主要、最本質(zhì)的東西. 教師只有不斷揣摩教材，才能對教材有獨到的體悟，在課堂教學(xué)中也才能做到“精彩紛呈”.

例如，教學(xué)乘法公式“平方差公式”：（a+b）（a-b）=a2-b2.

首先，我有意識地向?qū)W生講述了“分割土地”的數(shù)學(xué)故事，用圖形知識來驗證猜想，在邊長為a的正方形紙片上剪去一個邊長為b（b

當(dāng)我給出圖形后，班級里有相當(dāng)一部分學(xué)生已經(jīng)在嘗試用圖形驗證猜想公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.

接著，我又根據(jù)學(xué)生已經(jīng)掌握了多項式乘法的規(guī)則，作為多項式乘法的特例，先利用乘法規(guī)則來推得該公式，從而進(jìn)一步推進(jìn)教學(xué).

（1）運(yùn)算：（a+b）（a-b）

學(xué)生在“現(xiàn)有水平”的基礎(chǔ)上，發(fā)生認(rèn)識，推得公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，從而發(fā)展到“增長水平 ”，進(jìn)而又成為新的“現(xiàn)有水平”.

（2）關(guān)于公式的簡單理解

計算：①（5x+y）（5x-y）；②（m+2n）·（2n-m）.

你能說出這個公式的特點嗎？注意：①公式中的a與b可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式或其他代數(shù)式. ②正確判斷哪個數(shù)為a，哪個數(shù)為b（與位置、自身的性質(zhì)符號無關(guān)，兩因式中的兩對數(shù)是否有一對數(shù)完全相同，而另一對數(shù)互為相反數(shù)）. 進(jìn)一步鞏固新的“現(xiàn)有水平”.

（3）擴(kuò)大字母的變化范圍

計算：①102×98；②19×20.

（4）符號變化的練習(xí)

計算：①（-x+3y）（-x-3y）；②（-5-4y）（-5+4y）.

在關(guān)于公式具體化的過程中，隨著意義的逐步加深，其內(nèi)容和難度也逐步增大，使得學(xué)生對公式的結(jié)構(gòu)、內(nèi)在聯(lián)系體會得更加具體、深刻，這一比較，可以使學(xué)生開闊視野，更好地掌握公式.

在上述練習(xí)都達(dá)到一定程度后，還可以把公式形式化為（△+○）（△-○）=△2-○2，其中△和○是待填的空位置，不但可以填數(shù)字、字母、代數(shù)式，還可以填其他復(fù)雜的式子. 到了這一步，這種表達(dá)式會給學(xué)生一種深刻、形象的感覺，從而為學(xué)生的形式運(yùn)算能力打下基礎(chǔ). 最后，學(xué)生的成績會有比較明顯的提高.

整個教學(xué)過程中，我拉近了數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離，讓學(xué)生感受到了它的火熱，享受數(shù)學(xué)中生動的故事；循序漸進(jìn)、層層深入，學(xué)生不斷地發(fā)生認(rèn)識，從一個現(xiàn)有水平，到達(dá)新的增長水平，然后循環(huán)往復(fù)不斷發(fā)生認(rèn)識，建立新的現(xiàn)有水平，再到達(dá)新的增長水平，進(jìn)而積極引導(dǎo)學(xué)生向高層發(fā)展；層次逐步遞進(jìn)，結(jié)合學(xué)生的思考和發(fā)揮，學(xué)生不斷發(fā)生認(rèn)識，推進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展的過程. 不過，在具體的教學(xué)中，教師應(yīng)注意教學(xué)層次和要求，不能超越學(xué)生的發(fā)生認(rèn)識力度，否則有可能使學(xué)生感到高不可攀.

在解決問題與運(yùn)用知識中要充

分利用“發(fā)生認(rèn)識”

學(xué)生發(fā)生認(rèn)識的水平是一個由低級到高級、由簡單到復(fù)雜的漸進(jìn)過程，因此，教學(xué)應(yīng)該是循序漸進(jìn)的，應(yīng)該及時地抓住和利用學(xué)生發(fā)生認(rèn)識的欲望，使得學(xué)習(xí)變?yōu)樽园l(fā)的、主動的，也是最有效的.

例如，“行程問題”這一課時.

第一步：創(chuàng)設(shè)兩個問題.

問題1 運(yùn)動場環(huán)形跑道的周長為400 m，小紅跑步的速度是爺爺?shù)谋?，他們從同一起點沿跑道的相反方向同時出發(fā)，5 min后小紅第一次與爺爺相遇，求小紅和爺爺各自跑步的速度.

問題2 運(yùn)動場環(huán)形跑道的周長為400 m，小紅跑步的速度是爺爺?shù)谋?，他們從同一起點沿跑道的相同方向同時出發(fā)，5 min后小紅第一次與爺爺相遇，求小紅和爺爺各自跑步的速度.

對于問題1，學(xué)生很快想到利用相遇問題解決；對于問題2，有些學(xué)生可能會想到用追及問題，但經(jīng)嘗試后無法解決，從而產(chǎn)生認(rèn)知沖突——如何解決這類問題呢？這就激發(fā)了學(xué)生的探究欲望.

第二步：引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn).

1. 啟發(fā)思考. 到底追了多少？與一圈400 m有什么關(guān)系呢？學(xué)生可能無法下手，此時，教師作點撥，能否從特殊性中找關(guān)系？沿著出發(fā)點剪開，拉成直線，是不是要追400米呢？

2. 從探究特殊情況中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

（1）遇到類似相遇問題時，速度和×相遇時間=相距距離.

（2）遇到類似追及問題時，速度差×追及時間=追及距離.

（3）要求學(xué)生探討如下問題：小明和小亮同時沿400 m的跑道朝同一方向練習(xí)賽跑，已知小明的速度是150 m/min，小亮的速度是200 m/min.

①如果他們在同一地點出發(fā)，小亮經(jīng)過多少分與小明第一次相遇？

②如果出發(fā)時小明在小亮前面100 m處，那么經(jīng)過多少分兩人第一次相遇？

③如果出發(fā)時小亮在小明前面100 m處，那么經(jīng)過多少分小亮追上小明？

3. 由特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)慢的在前，追劣?。豢斓脑谇?，追優(yōu)弧.

第三步：證明猜想，引導(dǎo)學(xué)生利用相對速度來解決問題.

G·波利亞指出：學(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)，學(xué)生如能在教師創(chuàng)設(shè)的情境中像數(shù)學(xué)家那樣去“想數(shù)學(xué)”，“經(jīng)歷”一遍發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，就能在獲得規(guī)律的同時培養(yǎng)他們的創(chuàng)造精神. 在“行程問題”教學(xué)中，學(xué)生通過自主探究經(jīng)歷了速度和與速度差概念的發(fā)生過程，實現(xiàn)了由相遇追及到相對速度，由具體到抽象的思維過程，從而培養(yǎng)了學(xué)生的概括思維能力和抽象思維能力，同時也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的動機(jī)與探究熱情.

在應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)

中開發(fā)“發(fā)生認(rèn)識”

教學(xué)過程中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生智力技能的發(fā)展過程，在應(yīng)用和創(chuàng)新中對思維水平的“發(fā)生認(rèn)識”進(jìn)行合理開發(fā)，讓學(xué)生感到“跳一跳就可以摘到桃子”. 這時，學(xué)生才會對學(xué)習(xí)真正充滿興趣和樂趣，逐漸從中領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的思維、應(yīng)用和文化功能，從而不自覺地增強(qiáng)其數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用意識，以致在頭腦中產(chǎn)生、建立正確的數(shù)學(xué)觀念，由想學(xué)數(shù)學(xué)到熱愛數(shù)學(xué)，最終發(fā)展到學(xué)好數(shù)學(xué)，于潛移默化中提高數(shù)學(xué)能力，推進(jìn)數(shù)學(xué)素質(zhì).

比如，教材上有這樣一道習(xí)題——證明：四邊形的內(nèi)角和是360°. 證明這個命題，學(xué)生能夠想到的方法一般是連接一條或兩條對角線，將四邊形分割成兩個或四個三角形，利用三角形的內(nèi)角和是180°來證明，這已經(jīng)不錯了，但尚可以探索其他的分割方法. 通過引導(dǎo)，學(xué)生可以找到以下五種分割方法（如圖4所示）：

教師要精心設(shè)置各類問題，在現(xiàn)有知識水平的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生探索問題的獨特、解法的新穎，使人耳目一新；尋找問題的多種解法，使人思維變通，由一個到一類嘗試對問題進(jìn)行推廣；同時，鼓勵學(xué)生標(biāo)新立異，使其用盡可能新的方法去解決問題，在自主探索的活動空間中獲取新知識，進(jìn)一步發(fā)揮潛在水平！

結(jié)語

“發(fā)生認(rèn)識”理論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)該立足啟發(fā)式教學(xué)，循序漸進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生主動思考、積極探索，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和動機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展. 這一理論的發(fā)展、完善，及在教學(xué)中的充分應(yīng)用，有待我們廣大數(shù)學(xué)教師共同努力.