有關(guān)串并聯(lián)問題的研究

王高峰

摘 要：本文是針對一些串并聯(lián)的一些物理量（電阻和電容）進行研究，進而總結(jié)出串并聯(lián)問題的一些規(guī)律，進而運用這些規(guī)律解決一些串并聯(lián)（比如彈簧的串并聯(lián)）的問題。

關(guān)鍵詞：串并聯(lián)問題；規(guī)律；運用

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）20-002-01

一、關(guān)于電阻串并聯(lián)的問題

兩個電阻R1，R2串聯(lián)起來接到電路里，作為一個整體，它相當于一個電阻，由于R1與R2是串聯(lián)的，他們兩端的總電壓U等于兩個電阻上的電壓U1，U2之和，即U=U1+U2，流過這兩個電阻的電流I是一樣的，上式兩旁同除以電流I，又有根據(jù)歐姆定律得到R=R1+R2，，不難證明，如果多個電阻串聯(lián)，那么R=R1+R2+…，即串聯(lián)電阻的總電阻等于各部分電路電阻之和。

兩個電阻R1，R2并聯(lián)起來接到電路里，作為一個整體，它相當于一個電阻，由于R1與R2是并聯(lián)的，流過它們的總電流I等于兩個電阻上的電流I1，I2之和，即I=I1+I2，兩個電阻上的電壓U上相同的。把上式兩旁同除以U，又有根據(jù)歐姆定律得到 ，即并聯(lián)電路總電阻的倒數(shù)等于各支路電阻的倒數(shù)之和。

二、關(guān)于電容串并聯(lián)的問題

串聯(lián)時，流入電容器組的電荷Q全部進入一個電容器的左板，其右板因感應而帶--Q，于是第二個電容器左板帶+Q，右板帶—Q，故串聯(lián)總電容 或 ，即串聯(lián)總電容的倒數(shù)等于每個電容的倒數(shù)之和。

并聯(lián)時，Q等于每個電容器電荷之和：Q=Q1+Q2，故并聯(lián)總電容C=C1+C2，即并聯(lián)總電容等于每個電容器電容之和。

三、總結(jié)串并聯(lián)問題的規(guī)律

通過對電阻的串并聯(lián)問題的陳述和對電容串并聯(lián)問題的陳述，我們可以知道，電阻的串聯(lián)問題是串聯(lián)電阻的總電阻等于各部分電路電阻之和，而電容的串聯(lián)問題是串聯(lián)總電容的倒數(shù)等于每個電容的倒數(shù)之和；電阻的并聯(lián)問題是并聯(lián)電路總電阻的倒數(shù)等于各支路電阻的倒數(shù)之和，電容的并聯(lián)問題是并聯(lián)總電容等于每個電容器電容之和，我們發(fā)現(xiàn)，電阻的串并聯(lián)和電容的串并聯(lián)剛好相反，為什么呢？

電阻的阻值R是一個電阻的固有屬性，它不受電阻兩端的電壓U和流過電阻的電流I的影響，一個電阻一旦確定，如果不考慮溫度的影響，電阻的阻值R是一個常數(shù)，不會發(fā)生變化；同理，電容C是一個電容器的固有屬性，它不受電容器兩極板的電荷Q和兩極板間電壓U的影響，一個電容器一旦確定，電容C是一個常數(shù)，不會發(fā)生變化，我們可以這樣想，電阻的阻值R和電容C是一個常數(shù)K， 電阻兩端的電壓U和電容器兩極板的電荷Q相當于Y， 流過電阻的電流I和電容器兩極板間電壓U相當于X，于是有Y=KX，又有Y1=KIXI，Y2=K2X2；當電阻串聯(lián)時，有I=I1=I2得X=XI=X2，；有U=U1+U2得Y=Y1+Y2，所以R=U/I=（U1+U2）/I=（U1/I1）+（U2/I2）=R1+R2，得K=Y/X=（YI+Y2）/X=（Y1/XI）+（Y2/X2）=K1+K2；當電容器并聯(lián)時，有U=U1=U2，得X=X1=X2；有Q=Q1+Q2，得Y=Y1+Y2，所以C=Q/U=（Q1+Q2）/U=（Q1/U1）+（Q2/U2）=C1+C2，得K=Y/X=（YI+Y2）/X=（Y1/XI）+（Y2/X2）=K1+K2；當電阻串聯(lián)時，對于部分電路歐姆定律R=U/I，是兩個電阻的電流相同，也就是分母相同；兩個電阻兩端的電壓等于各個電阻兩端電壓之和，也就是分子相加，只是對于這種“分母相同，分子相加”的數(shù)學問題對應的是電阻的串聯(lián)和電容器的并聯(lián)而已。Y1=K1X1，Y2=K2X2，同理，對于電阻的并聯(lián)問題和電容器的串聯(lián)問題亦有相同的結(jié)論。

四、運用規(guī)律解決串并聯(lián)的問題

彈簧串并聯(lián)的問題

彈簧串聯(lián)時，如上圖1所示，兩個勁度系數(shù)分別是K1，K2的輕彈簧（不考慮兩個彈簧的重力）串聯(lián)起來吊起一個質(zhì)量為M的重物，重物處于平衡狀態(tài)，對重物進行受力分析，受到下面的一個彈簧對重物的彈力F2和重物的重力G，則由平衡條件得F2=G，同理可得上面的彈簧的彈力F1也等于重物的重力G，即F1=G，所以有F1=F2=G，有彈簧的胡克定律F=KX，得K=F/X，K1=F1/X1，K2=F2/X2因為F1=F2=G即“分子相同”，根據(jù)總結(jié)的規(guī)律得到彈簧串聯(lián)時的總勁度系數(shù)K=K1K2/（K1+K2），和電阻的并聯(lián)總電阻以及電容的串聯(lián)總電容很相似。

彈簧并聯(lián)時，如上圖2所示，兩個勁度系數(shù)分別是K1，K2的輕彈簧（不考慮兩個彈簧的重力）并聯(lián)起來吊起一個質(zhì)量為M的重物，重物處于平衡狀態(tài)，對重物進行受力分析，受到上面的兩個彈簧對重物的彈力F1和F2以及重物的重力G，則由平衡條件得F1+F2=G，并且上面的兩個彈簧的伸長量都一樣，即X1=X2=X，有彈簧的胡克定律F=KX，得K=F/X，K1=F1/X1，K2=F2/X2因為X1=X2=X，即“分母相同”，根據(jù)總結(jié)的規(guī)律得到彈簧并聯(lián)時的總勁度系數(shù)K=K1+K2，和電阻的串聯(lián)總電阻以及電容的并聯(lián)總電容很相似。

摘 要：本文是針對一些串并聯(lián)的一些物理量（電阻和電容）進行研究，進而總結(jié)出串并聯(lián)問題的一些規(guī)律，進而運用這些規(guī)律解決一些串并聯(lián)（比如彈簧的串并聯(lián)）的問題。

關(guān)鍵詞：串并聯(lián)問題；規(guī)律；運用

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）20-002-01

一、關(guān)于電阻串并聯(lián)的問題

兩個電阻R1，R2串聯(lián)起來接到電路里，作為一個整體，它相當于一個電阻，由于R1與R2是串聯(lián)的，他們兩端的總電壓U等于兩個電阻上的電壓U1，U2之和，即U=U1+U2，流過這兩個電阻的電流I是一樣的，上式兩旁同除以電流I，又有根據(jù)歐姆定律得到R=R1+R2，，不難證明，如果多個電阻串聯(lián)，那么R=R1+R2+…，即串聯(lián)電阻的總電阻等于各部分電路電阻之和。

兩個電阻R1，R2并聯(lián)起來接到電路里，作為一個整體，它相當于一個電阻，由于R1與R2是并聯(lián)的，流過它們的總電流I等于兩個電阻上的電流I1，I2之和，即I=I1+I2，兩個電阻上的電壓U上相同的。把上式兩旁同除以U，又有根據(jù)歐姆定律得到 ，即并聯(lián)電路總電阻的倒數(shù)等于各支路電阻的倒數(shù)之和。

二、關(guān)于電容串并聯(lián)的問題

串聯(lián)時，流入電容器組的電荷Q全部進入一個電容器的左板，其右板因感應而帶--Q，于是第二個電容器左板帶+Q，右板帶—Q，故串聯(lián)總電容 或 ，即串聯(lián)總電容的倒數(shù)等于每個電容的倒數(shù)之和。

并聯(lián)時，Q等于每個電容器電荷之和：Q=Q1+Q2，故并聯(lián)總電容C=C1+C2，即并聯(lián)總電容等于每個電容器電容之和。

三、總結(jié)串并聯(lián)問題的規(guī)律

通過對電阻的串并聯(lián)問題的陳述和對電容串并聯(lián)問題的陳述，我們可以知道，電阻的串聯(lián)問題是串聯(lián)電阻的總電阻等于各部分電路電阻之和，而電容的串聯(lián)問題是串聯(lián)總電容的倒數(shù)等于每個電容的倒數(shù)之和；電阻的并聯(lián)問題是并聯(lián)電路總電阻的倒數(shù)等于各支路電阻的倒數(shù)之和，電容的并聯(lián)問題是并聯(lián)總電容等于每個電容器電容之和，我們發(fā)現(xiàn)，電阻的串并聯(lián)和電容的串并聯(lián)剛好相反，為什么呢？

電阻的阻值R是一個電阻的固有屬性，它不受電阻兩端的電壓U和流過電阻的電流I的影響，一個電阻一旦確定，如果不考慮溫度的影響，電阻的阻值R是一個常數(shù)，不會發(fā)生變化；同理，電容C是一個電容器的固有屬性，它不受電容器兩極板的電荷Q和兩極板間電壓U的影響，一個電容器一旦確定，電容C是一個常數(shù)，不會發(fā)生變化，我們可以這樣想，電阻的阻值R和電容C是一個常數(shù)K， 電阻兩端的電壓U和電容器兩極板的電荷Q相當于Y， 流過電阻的電流I和電容器兩極板間電壓U相當于X，于是有Y=KX，又有Y1=KIXI，Y2=K2X2；當電阻串聯(lián)時，有I=I1=I2得X=XI=X2，；有U=U1+U2得Y=Y1+Y2，所以R=U/I=（U1+U2）/I=（U1/I1）+（U2/I2）=R1+R2，得K=Y/X=（YI+Y2）/X=（Y1/XI）+（Y2/X2）=K1+K2；當電容器并聯(lián)時，有U=U1=U2，得X=X1=X2；有Q=Q1+Q2，得Y=Y1+Y2，所以C=Q/U=（Q1+Q2）/U=（Q1/U1）+（Q2/U2）=C1+C2，得K=Y/X=（YI+Y2）/X=（Y1/XI）+（Y2/X2）=K1+K2；當電阻串聯(lián)時，對于部分電路歐姆定律R=U/I，是兩個電阻的電流相同，也就是分母相同；兩個電阻兩端的電壓等于各個電阻兩端電壓之和，也就是分子相加，只是對于這種“分母相同，分子相加”的數(shù)學問題對應的是電阻的串聯(lián)和電容器的并聯(lián)而已。Y1=K1X1，Y2=K2X2，同理，對于電阻的并聯(lián)問題和電容器的串聯(lián)問題亦有相同的結(jié)論。

四、運用規(guī)律解決串并聯(lián)的問題

彈簧串并聯(lián)的問題

彈簧串聯(lián)時，如上圖1所示，兩個勁度系數(shù)分別是K1，K2的輕彈簧（不考慮兩個彈簧的重力）串聯(lián)起來吊起一個質(zhì)量為M的重物，重物處于平衡狀態(tài)，對重物進行受力分析，受到下面的一個彈簧對重物的彈力F2和重物的重力G，則由平衡條件得F2=G，同理可得上面的彈簧的彈力F1也等于重物的重力G，即F1=G，所以有F1=F2=G，有彈簧的胡克定律F=KX，得K=F/X，K1=F1/X1，K2=F2/X2因為F1=F2=G即“分子相同”，根據(jù)總結(jié)的規(guī)律得到彈簧串聯(lián)時的總勁度系數(shù)K=K1K2/（K1+K2），和電阻的并聯(lián)總電阻以及電容的串聯(lián)總電容很相似。

彈簧并聯(lián)時，如上圖2所示，兩個勁度系數(shù)分別是K1，K2的輕彈簧（不考慮兩個彈簧的重力）并聯(lián)起來吊起一個質(zhì)量為M的重物，重物處于平衡狀態(tài)，對重物進行受力分析，受到上面的兩個彈簧對重物的彈力F1和F2以及重物的重力G，則由平衡條件得F1+F2=G，并且上面的兩個彈簧的伸長量都一樣，即X1=X2=X，有彈簧的胡克定律F=KX，得K=F/X，K1=F1/X1，K2=F2/X2因為X1=X2=X，即“分母相同”，根據(jù)總結(jié)的規(guī)律得到彈簧并聯(lián)時的總勁度系數(shù)K=K1+K2，和電阻的串聯(lián)總電阻以及電容的并聯(lián)總電容很相似。

摘 要：本文是針對一些串并聯(lián)的一些物理量（電阻和電容）進行研究，進而總結(jié)出串并聯(lián)問題的一些規(guī)律，進而運用這些規(guī)律解決一些串并聯(lián)（比如彈簧的串并聯(lián)）的問題。

關(guān)鍵詞：串并聯(lián)問題；規(guī)律；運用

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）20-002-01

一、關(guān)于電阻串并聯(lián)的問題

兩個電阻R1，R2串聯(lián)起來接到電路里，作為一個整體，它相當于一個電阻，由于R1與R2是串聯(lián)的，他們兩端的總電壓U等于兩個電阻上的電壓U1，U2之和，即U=U1+U2，流過這兩個電阻的電流I是一樣的，上式兩旁同除以電流I，又有根據(jù)歐姆定律得到R=R1+R2，，不難證明，如果多個電阻串聯(lián)，那么R=R1+R2+…，即串聯(lián)電阻的總電阻等于各部分電路電阻之和。

兩個電阻R1，R2并聯(lián)起來接到電路里，作為一個整體，它相當于一個電阻，由于R1與R2是并聯(lián)的，流過它們的總電流I等于兩個電阻上的電流I1，I2之和，即I=I1+I2，兩個電阻上的電壓U上相同的。把上式兩旁同除以U，又有根據(jù)歐姆定律得到 ，即并聯(lián)電路總電阻的倒數(shù)等于各支路電阻的倒數(shù)之和。

二、關(guān)于電容串并聯(lián)的問題

串聯(lián)時，流入電容器組的電荷Q全部進入一個電容器的左板，其右板因感應而帶--Q，于是第二個電容器左板帶+Q，右板帶—Q，故串聯(lián)總電容 或 ，即串聯(lián)總電容的倒數(shù)等于每個電容的倒數(shù)之和。

并聯(lián)時，Q等于每個電容器電荷之和：Q=Q1+Q2，故并聯(lián)總電容C=C1+C2，即并聯(lián)總電容等于每個電容器電容之和。

三、總結(jié)串并聯(lián)問題的規(guī)律

通過對電阻的串并聯(lián)問題的陳述和對電容串并聯(lián)問題的陳述，我們可以知道，電阻的串聯(lián)問題是串聯(lián)電阻的總電阻等于各部分電路電阻之和，而電容的串聯(lián)問題是串聯(lián)總電容的倒數(shù)等于每個電容的倒數(shù)之和；電阻的并聯(lián)問題是并聯(lián)電路總電阻的倒數(shù)等于各支路電阻的倒數(shù)之和，電容的并聯(lián)問題是并聯(lián)總電容等于每個電容器電容之和，我們發(fā)現(xiàn)，電阻的串并聯(lián)和電容的串并聯(lián)剛好相反，為什么呢？

電阻的阻值R是一個電阻的固有屬性，它不受電阻兩端的電壓U和流過電阻的電流I的影響，一個電阻一旦確定，如果不考慮溫度的影響，電阻的阻值R是一個常數(shù)，不會發(fā)生變化；同理，電容C是一個電容器的固有屬性，它不受電容器兩極板的電荷Q和兩極板間電壓U的影響，一個電容器一旦確定，電容C是一個常數(shù)，不會發(fā)生變化，我們可以這樣想，電阻的阻值R和電容C是一個常數(shù)K， 電阻兩端的電壓U和電容器兩極板的電荷Q相當于Y， 流過電阻的電流I和電容器兩極板間電壓U相當于X，于是有Y=KX，又有Y1=KIXI，Y2=K2X2；當電阻串聯(lián)時，有I=I1=I2得X=XI=X2，；有U=U1+U2得Y=Y1+Y2，所以R=U/I=（U1+U2）/I=（U1/I1）+（U2/I2）=R1+R2，得K=Y/X=（YI+Y2）/X=（Y1/XI）+（Y2/X2）=K1+K2；當電容器并聯(lián)時，有U=U1=U2，得X=X1=X2；有Q=Q1+Q2，得Y=Y1+Y2，所以C=Q/U=（Q1+Q2）/U=（Q1/U1）+（Q2/U2）=C1+C2，得K=Y/X=（YI+Y2）/X=（Y1/XI）+（Y2/X2）=K1+K2；當電阻串聯(lián)時，對于部分電路歐姆定律R=U/I，是兩個電阻的電流相同，也就是分母相同；兩個電阻兩端的電壓等于各個電阻兩端電壓之和，也就是分子相加，只是對于這種“分母相同，分子相加”的數(shù)學問題對應的是電阻的串聯(lián)和電容器的并聯(lián)而已。Y1=K1X1，Y2=K2X2，同理，對于電阻的并聯(lián)問題和電容器的串聯(lián)問題亦有相同的結(jié)論。

四、運用規(guī)律解決串并聯(lián)的問題

彈簧串并聯(lián)的問題

彈簧串聯(lián)時，如上圖1所示，兩個勁度系數(shù)分別是K1，K2的輕彈簧（不考慮兩個彈簧的重力）串聯(lián)起來吊起一個質(zhì)量為M的重物，重物處于平衡狀態(tài)，對重物進行受力分析，受到下面的一個彈簧對重物的彈力F2和重物的重力G，則由平衡條件得F2=G，同理可得上面的彈簧的彈力F1也等于重物的重力G，即F1=G，所以有F1=F2=G，有彈簧的胡克定律F=KX，得K=F/X，K1=F1/X1，K2=F2/X2因為F1=F2=G即“分子相同”，根據(jù)總結(jié)的規(guī)律得到彈簧串聯(lián)時的總勁度系數(shù)K=K1K2/（K1+K2），和電阻的并聯(lián)總電阻以及電容的串聯(lián)總電容很相似。

彈簧并聯(lián)時，如上圖2所示，兩個勁度系數(shù)分別是K1，K2的輕彈簧（不考慮兩個彈簧的重力）并聯(lián)起來吊起一個質(zhì)量為M的重物，重物處于平衡狀態(tài)，對重物進行受力分析，受到上面的兩個彈簧對重物的彈力F1和F2以及重物的重力G，則由平衡條件得F1+F2=G，并且上面的兩個彈簧的伸長量都一樣，即X1=X2=X，有彈簧的胡克定律F=KX，得K=F/X，K1=F1/X1，K2=F2/X2因為X1=X2=X，即“分母相同”，根據(jù)總結(jié)的規(guī)律得到彈簧并聯(lián)時的總勁度系數(shù)K=K1+K2，和電阻的串聯(lián)總電阻以及電容的并聯(lián)總電容很相似。