形狀記憶合金三維鼓包結(jié)構(gòu)熱變形的有限元模擬

趙澎濤，裘進(jìn)浩，于慧臣

（1.北京航空材料研究院航空材料檢測(cè)與評(píng)價(jià)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，先進(jìn)高溫結(jié)構(gòu)材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100095；2.南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210016）

0 引 言

形狀記憶合金（SMA）同時(shí)具備感知和驅(qū)動(dòng)功能，可以感知外界的溫度變化，并能夠?qū)崮苻D(zhuǎn)化為機(jī)械能，其以優(yōu)異的形狀記憶效應(yīng)、偽彈性［1-2］、生物相容性和阻尼特性，廣泛應(yīng)用于航空航天［3-4］、生物醫(yī)藥［5］、土木工程［6］等領(lǐng)域。但由于SMA 復(fù)雜的熱力學(xué)耦合關(guān)系，其本構(gòu)關(guān)系不能用通常的彈塑性模型描述，因此SMA 本構(gòu)行為的描述是目前研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。為了實(shí)現(xiàn)SMA更廣泛的工程應(yīng)用，作者以SMA在三維自適應(yīng)發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)氣道變體結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用為研究背景，利用SMA所特有的形狀記憶效應(yīng)，使用溫度控制的方式實(shí)現(xiàn)了鼓包結(jié)構(gòu)的變形。通過(guò)建立SMA三維本構(gòu)關(guān)系模型，采用回歸映射應(yīng)力更新算法進(jìn)行有限元實(shí)現(xiàn)，并對(duì)SMA三維鼓包結(jié)構(gòu)在熱變形過(guò)程中的熱力學(xué)特性響應(yīng)進(jìn)行有限元分析，得到了一定溫度條件下該結(jié)構(gòu)的變形參數(shù)，為SMA在發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)氣道中的應(yīng)用提供支持。

1 SMA的本構(gòu)關(guān)系模型

采用Lagoudas關(guān)于SMA的三維唯象理論模型［7-8］，即SMA在變形過(guò)程中產(chǎn)生的應(yīng)變主要由彈性應(yīng)變、熱膨脹應(yīng)變和相變引起的應(yīng)變等三部分構(gòu)成，假設(shè)SMA的Gibbs自由能（G）為

式中：σ，εt，ξ，T 以及T0分別為真實(shí)應(yīng)力張量、相變應(yīng)變張量、馬氏體體積分?jǐn)?shù)、溫度以及參考溫度；S，α，ρ，c，s0和u0分別為等效柔度張量、等效熱膨脹系數(shù)、密度、等效比熱、參考溫度下的等效比熵和參考溫度下的等效內(nèi)能；f（ξ）為相變硬化函數(shù)，表征了馬氏體相與母相或者馬氏體變體之間發(fā)生相互轉(zhuǎn)化而產(chǎn)生的應(yīng)變能。

以上各等效材料特性參數(shù)可由材料中所含的馬氏體體積分?jǐn)?shù)以及純晶體相的特性參數(shù)計(jì)算得到，其具體的表達(dá)式如式（2）。式中物理量右上角處的A與M分別表示為奧氏體相和馬氏體相：

結(jié)合熱力學(xué)相關(guān)理論，SMA的本構(gòu)關(guān)系及約束條件可以從Gibbs自由能推導(dǎo)得到，其表達(dá)式如式（3）和式（4）：

假設(shè)在馬氏體相變過(guò)程中忽略馬氏體變體的重定向過(guò)程，材料任何微觀狀態(tài)的改變都僅僅是馬氏體含量變化的結(jié)果。基于此假設(shè)，SMA相變過(guò)程中的相變應(yīng)變?chǔ)舤和馬氏體體積分?jǐn)?shù)ξ的演化方程（類似于塑性力學(xué)理論中的流動(dòng)法則）可表示為

式中：Λ為相變轉(zhuǎn)換張量，表征了相變應(yīng)變的方向。

將相變演化方程式（5）代入式（4）的本構(gòu)關(guān)系約束條件中，可得到：

式中：π為與馬氏體體積分?jǐn)?shù)ξ共軛的熱驅(qū)動(dòng)力。

將Gibbs自由能的顯示表達(dá)式（1）代入上式，可得到：

基于以上關(guān)于馬氏體正逆相變的假設(shè)以及邊界條件的表述，引入相變函數(shù)φ（相當(dāng)于塑性力學(xué)中的屈服函數(shù)），其表達(dá)式為

式中：Y為相變臨界屈服值。

基于不同相變過(guò)程的假設(shè)，SMA唯象理論模型可以通過(guò)不同的相變硬化函數(shù)來(lái)表征。Tanaka指數(shù)形式理論模型［9］、Liang和 Rogers余弦模型［10］以及Lagoudas多項(xiàng)式模型［7］的硬化函數(shù)分別見(jiàn)式（9），（10），（11）：

2 UMAT材料子程序的編寫(xiě)及驗(yàn)證

在Lagoudas的SMA三維本構(gòu)關(guān)系模型的基礎(chǔ)上，利用ABAQUS的二次開(kāi)發(fā)功能編寫(xiě)FORTRAN程序［11］實(shí)現(xiàn)SMA的有限元模擬。

針對(duì)前面提到的SMA本構(gòu)關(guān)系模型，在UMAT中定義了13個(gè)變量（1為馬氏體體積分?jǐn)?shù)、2～7為相變應(yīng)變分量，8～13為個(gè)相變方向）和20個(gè)材料常數(shù)（1～2為彈性模量，3～4為熱膨脹系數(shù)，5～8為相變溫度，9～10為應(yīng)力影響參數(shù)，11～16為初始相變應(yīng)變，17為最大相變應(yīng)變，18為泊松比，19為容差，20為初始馬氏體體積分?jǐn)?shù)）。

為了驗(yàn)證編寫(xiě)的UMAT子程序的準(zhǔn)確性，在ABAQUS軟件中建立受單軸加載的單元模型，如圖1所示，一端固支約束，一端加載軸向力載荷。載荷加載歷史如圖2所示。模型中的SMA材料參數(shù)采用文獻(xiàn)［12］中的等原子鈦鎳合金參數(shù)，即：奧氏體相彈性模量EA為70GPa，馬氏體相彈性模量EM為30GPa，泊松比νA和νM均為0.3，奧氏體相膨脹系數(shù)αA為22×10-6K-1，馬氏體相膨脹系數(shù)αM為22×10-6K-1，馬氏體相變開(kāi)始溫度Ms為291K（18℃），馬氏體相變結(jié)束溫度Mf為280K（7℃），奧氏體相變開(kāi)始溫度As為295K（22℃），奧氏體相變結(jié)束溫度Af為306K（33℃），最大相變應(yīng)變H為0.05。針對(duì)超彈性的驗(yàn)證，模型初始相為奧氏體，初始溫度為325K（52℃），單軸最大載荷為60kN。針對(duì)形狀記憶效應(yīng)的驗(yàn)證，模型初始相為馬氏體，初始溫度為292K（19℃），單軸最大載荷為30kN，加載結(jié)束后升溫至350K（77℃），高于奧氏體相變結(jié)束溫度。

圖1 單軸加載模型示意Fig.1 Abridged general view of uniaxial loading model

圖2 載荷加載歷史示意Fig.2 Abridged general view of applied load history

從圖3，4可以看出，以上基于不同硬化函數(shù)的三種本構(gòu)關(guān)系模型都能夠較好地描述SMA的超彈性和形狀記憶效應(yīng)等特性，相變過(guò)程也遵循相應(yīng)的馬氏體奧氏體相變模型表征函數(shù)，證明了該UMAT子程序的正確性，從而保證了在UMAT子程序基礎(chǔ)上進(jìn)行的鼓包熱變形模擬結(jié)果的準(zhǔn)確。

圖3 基于不同硬化函數(shù)的SMA超彈性模型的模擬結(jié)果Fig.3 Simulated results of SMA pesudoelasticity model based different hardening functions

圖4 基于不同硬化函數(shù)的SMA形狀記憶效應(yīng)的模擬結(jié)果Fig.4 Simulated results of SMA shape memory effect based different hardening fuctions

3 有限元模擬結(jié)果與討論

3.1 有限元模型的建立

SMA鼓包熱變形模型是三維薄壁球體結(jié)構(gòu)的一部分，其尺寸參數(shù)包括：過(guò)中心點(diǎn)A的弧線在x-z平面上的投影長(zhǎng)（圖5中的BC線段，10cm）、鼓包厚度（1mm）、曲率半徑（42cm）。該鼓包模型在經(jīng)歷雙程記憶效應(yīng)訓(xùn)練之后，沿過(guò)中心點(diǎn)的徑長(zhǎng)方向具有高溫伸長(zhǎng)、低溫收縮的性質(zhì)。模型網(wǎng)格劃分采用了減縮積分的線性六面體單元（C3D8R），在厚度方向上劃分5個(gè)單元，以免產(chǎn)生沙漏效應(yīng)。材料參數(shù)與前面驗(yàn)證模型中采用的參數(shù)相同。

圖5 三維鼓包熱變形模型的網(wǎng)格劃分Fig.5 Meshing of the three demensional bump thermal deformation model

鼓包熱變形模型邊界條件為周邊固支約束，初始溫度為291K（18℃），初始狀態(tài)為馬氏體相。沿過(guò)中心點(diǎn)的弧長(zhǎng)方向具有初始的相變應(yīng)變，根據(jù)不同的訓(xùn)練效果分為-0.5%，-1%，-1.5%，-2%幾種情況。考慮鼓包沿厚度方向的初始相變應(yīng)變，初始馬氏體體積分?jǐn)?shù)為1。結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格劃分如圖5所示。SMA鼓包表面加載溫度載荷，從初始溫度291K（18℃）加載至360K（87℃）并保持溫度，增量加載步數(shù)為100步，具體過(guò)程如圖6所示。

圖6 溫度加載歷程示意Fig.6 Abridged general view of temperature loading history

3.2 模擬結(jié)果與討論

3.2.1 定初始相變的SMA鼓包相變特性

從圖7中可以看出，鼓包模型在初始狀態(tài)時(shí)為純馬氏體相，體積分?jǐn)?shù)為1；隨著溫度的逐漸升高，在鼓包中部馬氏體相的體積分?jǐn)?shù)開(kāi)始下降，并逐步向鼓包的四周邊界擴(kuò)展；加載結(jié)束后鼓包的大部分區(qū)域基本完成了馬氏體逆相變，轉(zhuǎn)化為奧氏體相，只有在接近固支約束的邊界部分仍殘留有馬氏體相。

從圖8中可以看出，圖5中的A、B兩點(diǎn)在297K（24℃）左右開(kāi)始向奧氏體相轉(zhuǎn)變，A點(diǎn)在313K（40℃）結(jié)束了馬氏體逆相變過(guò)程，馬氏體體積分?jǐn)?shù)為0，全部轉(zhuǎn)化為奧氏體相；而在B點(diǎn)，由于邊界條件的約束，限制了鼓包的馬氏體逆相變過(guò)程，在加載結(jié)束后仍殘留有部分馬氏體相。

3.2.2 定初始相變應(yīng)變的SMA鼓包熱變形力學(xué)特性

由圖9可見(jiàn)，A點(diǎn)的豎向撓度在初始階段增長(zhǎng)較慢，在23～40℃（296～313K）的溫度區(qū)間增長(zhǎng)較快，并且大部分的撓度變化發(fā)生在該區(qū)間內(nèi)，而且該區(qū)間與馬氏體逆相變的溫度區(qū)間相近?？芍?，鼓包豎向撓度的產(chǎn)生主要與SMA的相變有關(guān)。

3.2.3 不同初始相變的SMA鼓包熱變形結(jié)果

鼓包在加載過(guò)程中最大豎向撓度發(fā)生在加載結(jié)束溫度360K。由圖10可見(jiàn)，最大豎向撓度與初始相變應(yīng)變絕對(duì)值之間基本呈線性正比關(guān)系。當(dāng)初始相變應(yīng)變絕對(duì)值為2%時(shí)，鼓包最大的豎向撓度達(dá)到了5mm，相當(dāng)于鼓包模型BC線段長(zhǎng)度的5%。

圖7 初始相變應(yīng)變?yōu)?1%時(shí)，SMA鼓包模型在不同溫度下的馬氏體體積分?jǐn)?shù)云圖Fig.7 Martensite fraction of SMA bump model at initial phase-transformation strain of-1%and different temperatures

圖8 SMA鼓包模型中不同位置處在不同溫度下的馬氏體體積分?jǐn)?shù)Fig.8 Volume fractions of martensite vs temperture for different locations in SMA bump model

圖9 SMA鼓包中心A點(diǎn)處的豎向撓度隨溫度的變化Fig.9 Change of vertical deflection of the point A（in the middle of the SMA bump）with temperature：（a）vertical deflection of bump and（b）vertical deflection of point A

圖10 SMA鼓包在加載過(guò)程中最大豎向撓度與初始相變應(yīng)變絕對(duì)值之間的關(guān)系Fig.10 The relation ofmaximum vertical deflection and initial phase-transformation strain during SMA bump

從圖11中可以看出，在一定的初始相變應(yīng)變下，隨著溫度的升高，豎向高度曲線的形狀和最大高度也發(fā)生改變；豎向高度在313K（40℃）之后的變化較小，該溫度與鼓包中A點(diǎn)相變結(jié)束點(diǎn)的溫度基本吻合。

圖11 SMA鼓包過(guò)A點(diǎn)弧線各點(diǎn)在不同初始相變下的豎向高度曲線Fig.11 Vertical height curves of the points which pass by the point A at different initial phase-transformation strains

3 結(jié) 論

（1）通過(guò)ABAQUS軟件材料子程序UMAT的接口，編寫(xiě)FORTRAN程序，將SMA的本構(gòu)關(guān)系模型導(dǎo)入到ABAQUS材料庫(kù)中，從而使有限元軟件具備了對(duì)SMA模型進(jìn)行數(shù)值模擬的能力；通過(guò)建立SMA單軸受力模型，證明了材料子程序UAMT能夠同時(shí)描述SMA的超彈性和形狀記憶效應(yīng)特性。

（2）對(duì)于三維鼓包熱變形模型，馬氏體逆相變首先發(fā)生在鼓包的中部并向四周擴(kuò)展，除邊界部分未完成逆相變外，其余大部分完全轉(zhuǎn)化為奧氏體相；鼓包的撓度最高達(dá)到5mm，相當(dāng)于其弧線投影長(zhǎng)度的5%。

致謝：

感謝南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室的鼎力支持。

［1］MIRZAEIFAR R，SHAKERI M，SADIGHI M.Nonlinear finite element formulation for analyzing shape memory alloy cylindrical panels［J］.Smart Materials and Structures，2009，18（3）：1-14.

［2］LAGOUDAS D C.Shape memory alloys：modeling and engineering applications［M］.New York：Springer，2008：1-43.

［3］GAO X，TURNER T L，BURTON D，et al.Finite element analysis of adaptive-stiffening and shape-control SMA hybrid composites［J］.Journal of Engineering Materials and Technology，2006，128（3）：285-293.

［4］REY N，TILLMAN G，MILLER R，et al.Shape memory alloy actuation for a variable area fan nozzle［C］//Proceedings of SPIE，Smart Structures and Materials：Industrial and Commercial Application of Smart Structures Technologies.［S.l.］：［s.n］，2001：371-382.

［5］徐祖耀，江伯鴻.形狀記憶材料［M］.上海：上海交通大學(xué)出版社，2000：3-6.

［6］WILLIAMS K，CHIU G，BERNHARD R.Adaptive-passive absorbers using shape-memory alloys［J］.Journal of Sound and Vibration，2002，249（5）：835-848.

［7］BO Z，LAGOUDAS D C.Thermomechanical modeling of polycrystalline SMAs under cyclic loading-Part I：theoretical derivations［J］.International Journal of Engineering Science，1999，37：1089-1140.

［8］QIDWAI M A，LAGOUDAS D C.On thermomechanics and transformation surfaces of polycrystalline NiTi shape memory alloy material［J］.International Journal of Plasticity，2000，16：1309-1343.

［9］TANAKA K，NISHIMURA F，HAYASHI T，et al.Phenomenological analysis on subloops and cyclic behavior in shape memory alloys under mechanical and/or thermal loads［J］.Mechanics of Materials，1995，19：281-92.

［10］LIANG C，ROGERS C A.The multi-dimensional constitutive relations of shape memory alloys［J］.Journal of Engineering Mathematics，1992，26：429-443.

［11］莊茁，張帆，岑松，等.ABAQUS非線性有限元分析與實(shí)例［M］.北京：科學(xué)出版社，2005.

［12］LAGOUDAS D C，BO Z，QIDWAI M A.A unified thermodynamic constitutive model for SMA and finite element analysis of active metal matrix composite［J］.Mechanics of Composite Materials ＆ Structures，1996，3：153-79.