斜拉索局部振動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響*

武芳文，史 俊，楊草方，謝禮立

0 引言

斜拉索是斜拉橋的重要承重結(jié)構(gòu)，在斜拉橋抗震研究中，由于斜拉索的地震反應(yīng)不控制設(shè)計(jì)，更為關(guān)心整體結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)。拉索作為柔性結(jié)構(gòu)單元受到兩端支點(diǎn)的擾動(dòng)作用時(shí)容易誘發(fā)索的局部振動(dòng)，拉索的局部振動(dòng)不但改變斜拉橋振動(dòng)能量的分布、影響振動(dòng)體系的阻尼特性，同時(shí)還可能因拉索與結(jié)構(gòu)整體間的內(nèi)部共振引起復(fù)雜的結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性。在采用有限元分析時(shí)，通常采用單根桁架單元來模擬斜拉索，但不能反映斜拉索局部振動(dòng)對(duì)橋梁地震反應(yīng)的影響。斜拉索的局部振動(dòng)不僅會(huì)影響斜拉橋的動(dòng)力特性，還會(huì)影響索梁耦合共振等復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。隨著斜拉橋跨度的增大，斜拉索的長度必然增大。因此，研究大跨度斜拉橋拉索局部振動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響是很有必要的。

斜拉索局部振動(dòng)對(duì)整體結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)影響研究中，葉愛君和蘇振宇 (2010)以蘇通長江公路大橋?yàn)楸尘?，采用多桁架模型考慮斜拉索局部振型，將斜拉索分為10個(gè)單元考慮拉索局部振動(dòng)效應(yīng)研究其對(duì)對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響;布占宇等(2006)通過分析杭州灣大橋的地震反應(yīng)，認(rèn)為考慮斜拉索的局部振動(dòng)后，斜拉橋縱向振型的參與系數(shù)有不同程度的減小，主梁和橋塔的加速度、位移、彎矩和軸力增大非常顯著，短索的縱向位移減小，而長索的縱向位移增大。Abdel Ghaffar(1991)研究了斜拉索局部振動(dòng)對(duì)斜拉橋動(dòng)力特性的影響，得出斜拉索的局部振動(dòng)對(duì)某些振型的參與系數(shù)有影響，在計(jì)算地震反應(yīng)時(shí)應(yīng)該考慮索的局部振動(dòng)的結(jié)論。Ali和Abdel Ghaffar(1995)研究了索的局部振動(dòng)對(duì)斜拉橋動(dòng)力特性的影響，認(rèn)為索的局部振動(dòng)對(duì)某些振型的振型參與系數(shù)有較大影響，在斜拉橋地震響應(yīng)計(jì)算中應(yīng)考慮拉索的局部振動(dòng)。

本文以蘇通長江公路大橋?yàn)楸尘埃珮蛐崩鏖L度為153～578 m，將斜拉索按照100 m標(biāo)準(zhǔn)分成若干等長度單元。采用有限元程序ANSYS，以隨機(jī)振動(dòng)理論為基礎(chǔ)，將地震動(dòng)作為隨機(jī)模型，建立地面加速度功率譜密度模型，分析斜拉索局部振動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響。

1 隨機(jī)地震動(dòng)場的模擬

空間地震動(dòng)場的模型應(yīng)盡可能體現(xiàn)地震動(dòng)特征，一般來說，已知地震動(dòng)場的各點(diǎn)自功率譜，各點(diǎn)互功率譜可以表示為 (杜修力，陳厚群，1994;王光遠(yuǎn)等，1999)

式中，Sjj(ω)、Skk(ω)為 j、k兩點(diǎn)自功率譜，ρjk(d，ω)為j、k兩點(diǎn)地震動(dòng)的相干函數(shù)，描述兩點(diǎn)地震動(dòng)相關(guān)程度，d為兩點(diǎn)在地震動(dòng)傳播方向上的距離。本文采用的相干函數(shù)模型為屈鐵軍—王君杰—王前信相關(guān)函數(shù)模型 (屈鐵軍等，1996):

其中，a(ω)=a1ω2+a2，b(ω)=b1ω +b2。a1=0.000 016 78，a2=0.001 219，b1= －0.005 5，b2=0.767 4。該模型綜合了以SMART－1為主的4個(gè)密集臺(tái)震的幾十次地震記錄，應(yīng)用效果較好。

地震波視波速Va(ω)是研究地震動(dòng)空間變化的一個(gè)參數(shù)，其表達(dá)式為

自1957年日本學(xué)者Kanai-Tajimi提出過濾白噪聲隨機(jī)地震動(dòng)平穩(wěn)功率譜模型之后，許多學(xué)者提出過改進(jìn)模型，本文采用杜修力—陳厚群模型(杜修力，1998)，其表達(dá)式為

2 基于ANSYS/PSD的隨機(jī)地震反應(yīng)分析方法

隨機(jī)振動(dòng)分析方法充分考了地震動(dòng)在時(shí)間和空間上發(fā)生的統(tǒng)計(jì)特性，采用相關(guān)函數(shù)描述各點(diǎn)動(dòng)力響應(yīng)的相關(guān)性，被認(rèn)為是一種較先進(jìn)合理的分析方法

對(duì)于多自由度線性振動(dòng)體系的地震反應(yīng)分析，假定動(dòng)力方程中的阻尼項(xiàng)為經(jīng)典阻尼，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力相對(duì)位移可以用振型廣義坐標(biāo)表示為{ufd(t)}=［φ］{y(t)}，并代入方程可得:

足球?qū)ｍ?xiàng)教師要加強(qiáng)自身的足球理論知識(shí)的學(xué)習(xí)，不斷學(xué)習(xí)國內(nèi)外先進(jìn)的足球教學(xué)理念和經(jīng)驗(yàn)，還要提高足球技術(shù)技能。同時(shí)，在上足球課中能做到示范準(zhǔn)確，展現(xiàn)良好的技能，為學(xué)生樹立好的足球?qū)W習(xí)榜樣。

式中，n為需要計(jì)算得振型數(shù);yj為第j振型的廣義位移;ωj、ξj為第j振型的自振圓頻率和模態(tài)阻尼比;{Гj}為相應(yīng)于基礎(chǔ)激勵(lì)的振型參與系數(shù)，可表達(dá)為

在非一致激勵(lì)隨機(jī)振動(dòng)分析中，隨機(jī)荷載是以功率譜密度函數(shù)的形式來施加的，其輸入的PSD可采用下列通用形式

式中，Sii(ω)為自功率譜;Cii(ω)為互譜實(shí)部;Qii(ω)為互譜的虛部;其2≤n≤10。

在多點(diǎn)激勵(lì)的功率譜分析中，各激勵(lì)點(diǎn)可以按如下的PSD關(guān)系式輸入

3 動(dòng)力分析模型

3.1 工程背景

蘇通長江公路大橋位于長江下游，雙塔雙索面斜拉橋，主橋跨徑為 (100+100+300+1088+300+100+100)m。主橋鋼箱梁共分為17種類型、141個(gè)梁段，節(jié)段標(biāo)準(zhǔn)長度16 m、邊跨尾索區(qū)節(jié)段標(biāo)準(zhǔn)長度12 m。塔柱采用倒Y形結(jié)構(gòu)，分為下塔肢、中塔肢、上塔肢和橫梁四部份。中、下塔肢為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，上塔肢為鋼錨箱—混凝土組合結(jié)構(gòu)，索塔高300.4 m。斜拉索為Φ7平行鋼絲體系，全橋共34×8=272根斜拉索，如圖1所示。

3.2 有限元模型

采用大型通用有限元分析軟件ANSYS進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析。在建立空間模型時(shí)，主要作了下列處理(武芳文，2008;武芳文，趙雷，2009):(1)用“魚刺梁”模擬主梁，主梁采用beam44模擬;(2)主塔采用beam44模擬;(3)斜拉索采用link8模擬;(4)斜拉索與主梁之間的連接采用“魚刺”與主梁連接，“魚刺”用剛度很大 (相對(duì)于主梁剛度)的beam4梁單元模擬;(5)輔助墩及過渡墩采用beam44模擬;全橋共離散為1 541個(gè)節(jié)點(diǎn)，2 393個(gè)單元，其有限元模型如圖2所示。

圖1 蘇通長江公路大橋主橋結(jié)構(gòu)布置圖Fig.1 Layout of Sutong Yangtze River Highway Bridge

圖2 蘇通長江公路大橋有限元模型Fig.2 FEA model of Sutong Yangtze River Highway Bridge

4 斜拉索基頻與地震響應(yīng)分析

4.1 斜拉索基頻計(jì)算

靜力分析用一個(gè)桿單元模擬斜拉索對(duì)結(jié)果有足夠的精度，但動(dòng)力地震響應(yīng)分析時(shí)，其不能考慮斜拉索的橫向振動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。使用等效彈性模量方法時(shí)，一個(gè)桿單元模擬一根索，將忽視斜拉索的橫向振動(dòng)模態(tài)。因此，不能考慮斜拉索和結(jié)構(gòu)之間的動(dòng)力相互作用。本文的計(jì)算模型將斜拉索分為若干個(gè)桿單元來模擬斜拉索，研究斜拉索振動(dòng)效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響 (周寶峰等，2013)。

假定斜拉索其中的一段長度為Δx，兩端固定，如圖3所示。斜拉索的張力為T，μ為斜拉索的單位長度質(zhì)量，在時(shí)間t時(shí)刻，根據(jù)平衡條件可得:

圖3 斜拉索振動(dòng)示意圖Fig.3 Schematic diagram of stay cable vibration

然后利用邊界條件可得斜拉索的第n階頻率為

于是斜拉索的第一階頻率為

當(dāng)斜拉索的支撐點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，斜拉橋中斜拉索的實(shí)際狀態(tài)和上述條件有所差別，但式 (11)仍可用來計(jì)算斜拉索的自振頻率，其精度還是可以接受的。

計(jì)算斜拉索自振頻率的公式可以由斜拉索的應(yīng)力來表示。令σ、ρ和A分別為斜拉索的應(yīng)力、密度和面積;于是斜拉索的索力T=σA，單位長度索的質(zhì)量為μ=ρA，因此式 (11)可以表示為:

由式 (12)計(jì)算蘇通大橋的斜拉索的第一階頻率如表1所示。全橋斜拉索的第一階頻率在0.214 5～0.827 4 Hz之間 (圖4)。而蘇通橋前30階頻率在0.075 8～0.923 7 Hz范圍之內(nèi)?？梢?，斜拉索的基頻與斜拉橋自振頻率的前幾十階非常接近，于是斜拉索的振動(dòng)對(duì)斜拉橋結(jié)構(gòu)的振動(dòng)的影響不能忽視。

4.2 考慮斜拉索局部振動(dòng)的地震響應(yīng)分析

通過計(jì)算分析，考慮斜拉索振動(dòng)的影響，需要把一根斜拉索分為多個(gè)單元，斜拉橋的自振特性發(fā)生了變化，因此，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)也會(huì)隨之變化。通過兩種模型分析斜拉索振動(dòng)對(duì)斜拉橋結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，其計(jì)算結(jié)果如圖5～7所示。考慮斜拉索振動(dòng)效應(yīng)時(shí)，需要把斜拉索分為多個(gè)單元模擬。若把每根索分為很多單元來模擬，會(huì)增大計(jì)算困難，本文中模型1以索長100 m為單位進(jìn)行劃分，如A1(岸側(cè)1號(hào)索)索長153.434 m，就把它等分為兩個(gè)桿單元;而J34(江側(cè)34號(hào)索)索長578.589 m，就把它等分為六個(gè)桿單元。模型2的斜拉索為一個(gè)桿單元模擬。其結(jié)構(gòu)自振頻率如表2所示，用多單元模擬斜拉索考慮斜拉索振動(dòng)效應(yīng)時(shí)，結(jié)構(gòu)的自振頻率有所降低。

表1 蘇通大橋斜拉索的第一階頻率Tab.1 The first order frequency of stay cable of Sutong Bridge

圖4 蘇通橋斜拉索基頻圖Fig.4 The fundamental frequency of stay cable of Sutong Bridge

表2 結(jié)構(gòu)自振頻率Tab.2 Natural vibration frequency of the structure

以上述理論模型為基礎(chǔ)，分析斜拉索局部振動(dòng)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響。從圖5～7計(jì)算分析結(jié)果可見，斜拉索振動(dòng)對(duì)主梁的某些部位響應(yīng)有所減小，尤其在輔助墩處變化更為突出?？紤]斜拉索振動(dòng)效應(yīng)后，主梁縱向彎矩MZ減小了53%;豎向位移均方根減小了45%;主塔塔根縱向彎矩MZ減小了13%?？梢?，斜拉索振動(dòng)效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)內(nèi)力的影響不能忽略，考慮斜拉索振動(dòng)效應(yīng)后結(jié)構(gòu)內(nèi)力均有減小趨勢，可見對(duì)結(jié)構(gòu)有利。

圖5 主梁縱向彎矩MZ均方根Fig.5 RMS of longitudinal bending moment MZof girder

圖6 主梁豎向位移Uy均方根Fig.6 RMS of vertical displacement Uyof girder

圖7 北塔縱向彎矩MZ均方根Fig.7 RMS of longitudinal bending moment MZof the North Tower

斜拉索與結(jié)構(gòu)振動(dòng)之間的相互作用不僅影響了結(jié)構(gòu)的振型，同時(shí)對(duì)主塔和主梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)有明顯的影響。因此，在分析長周期大跨度斜拉橋結(jié)構(gòu)時(shí)，不應(yīng)該忽視斜拉索振動(dòng)效應(yīng)，尤其斜拉索的第一階頻率與整體結(jié)構(gòu)自振頻率前幾十階頻率重疊時(shí)。

5 結(jié)論

本文以蘇通長江公路大橋?yàn)檠芯繉?duì)象，采用隨機(jī)振動(dòng)分析方法，將斜拉索單元分成若干等長度單元模擬斜拉索局部振動(dòng)效應(yīng)。通過考慮索的局部振動(dòng)的斜拉橋動(dòng)力特性和地震響應(yīng)分析，得到以下結(jié)論:

(1)斜拉索的長度越大，其基頻越小，全橋拉索基頻在0.749 1～0.218 3 Hz，長索的在地震動(dòng)作用下，大幅振動(dòng)，索—梁耦合振動(dòng)明顯。

(2)采用此方法考慮斜拉索局部振動(dòng)效應(yīng)，對(duì)結(jié)構(gòu)的自振頻率影響較小。

(3)斜拉索基頻與結(jié)構(gòu)基頻相近時(shí)，主梁和主塔內(nèi)力降低，主塔根部彎矩明顯減小。

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