黃晨華

HUANG Chen-hua

（韶關(guān)學(xué)院 物理與機(jī)電工程學(xué)院，韶關(guān) 512005）

0 引言

工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)是工業(yè)機(jī)器人控制與軌跡規(guī)劃的基礎(chǔ)，其內(nèi)容包括正運(yùn)動學(xué)和逆運(yùn)動學(xué)。當(dāng)給定機(jī)器人所有關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)過的角度時，可以通過機(jī)器人的正動學(xué)方程來確定其末端操作器的位解；當(dāng)已知機(jī)器人末端操作器的位置時，則可根據(jù)運(yùn)行學(xué)逆解獲得各關(guān)節(jié)需轉(zhuǎn)過后角度。機(jī)器人運(yùn)動學(xué)建模的標(biāo)準(zhǔn)方法，即D-H建模，可以很方便地得到機(jī)器人的正運(yùn)動學(xué)方程，而要獲得機(jī)器人的逆運(yùn)動學(xué)方程，則難度較大，求解的方法可以分成兩大類：數(shù)值解和封閉解。Tsai[2]等研究了通用的6自由度和5自由度的機(jī)械臂的數(shù)值解，Nakamura[3]等研究了適用了機(jī)器人控制的帶有奇點(diǎn)魯棒控制的數(shù)值逆解，Baker[4]等研究了冗余機(jī)械臂的數(shù)值逆解，數(shù)值解的最大不足就是計算時比較耗時，對系統(tǒng)造成較大的負(fù)擔(dān)。封閉解是基于解析形式的解法，其又可分為代數(shù)法和幾何法，用代數(shù)法求逆解在很多機(jī)器人經(jīng)典教材和文獻(xiàn)中都有詳細(xì)的論述[5～7]，在此不作具體討論，劉達(dá)[8]等為了使機(jī)器人獲得更好的實(shí)時性，提出了一種解析和數(shù)值相結(jié)合的機(jī)器人逆解算法，陳慶誠[9]等提出基于旋量理論的逆運(yùn)動學(xué)子問題求解算法。用幾何法求解機(jī)器人運(yùn)動學(xué)逆解，則少有文獻(xiàn)作詳細(xì)論述，以5自由度工業(yè)機(jī)器人為例，對幾何法作深入的探討。

1 機(jī)器人結(jié)構(gòu)

機(jī)器人有五自由度，最后2關(guān)節(jié)相交一點(diǎn)，從結(jié)構(gòu)上分析，此機(jī)器人存在運(yùn)動學(xué)逆解。機(jī)器人的實(shí)物圖如圖1所示，各關(guān)節(jié)坐標(biāo)如圖2所示。機(jī)器人的DH參數(shù)如表1所示。

圖1 5自由度機(jī)器人

圖2 機(jī)器人關(guān)節(jié)坐標(biāo)設(shè)置

表1 機(jī)器人DH參數(shù)

各關(guān)節(jié)間的變換矩陣為：

式中，cθi=cosθi，sθi=sinθi。

2 機(jī)器人運(yùn)動學(xué)逆解

2.1 幾何解法[10]

使用幾何法獲得機(jī)器人逆解的首要條件是機(jī)器人存在封閉解，現(xiàn)在機(jī)器人在結(jié)構(gòu)上一般都能滿足這一要求。求解過程如下：

1)分析機(jī)器人各自由度對機(jī)器人位姿的影響，即哪些自由度的變化只影響機(jī)器人末端操作器的位置，哪些自由度的變化只影響機(jī)器人末端操作器的姿態(tài)；

2)求機(jī)器人的位置逆解方程，忽略對機(jī)器人位置沒有影響的結(jié)構(gòu)，在機(jī)器人的基坐標(biāo)內(nèi)求位置逆解方程；

3)求機(jī)器人的姿態(tài)逆解方程，利用已求解的位置解，通過矩陣變換，可很方便地求出姿態(tài)逆解。

2.2 機(jī)器人逆解的幾何求法

由圖2可知，機(jī)器人的最后兩個關(guān)節(jié)相交于一點(diǎn)，為計算簡便，把機(jī)器人的工具坐標(biāo)也設(shè)于此點(diǎn)，且與最后一關(guān)節(jié)坐標(biāo)重合。

設(shè)末端操作器的位置坐標(biāo)值為(xe,ye,ze)，姿態(tài)用歐拉角表示，其姿態(tài)矩陣為：

2.2.1 位置逆解求解

與位置相關(guān)關(guān)節(jié)變量有 θ1，θ2和 θ3，參考機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意圖（如圖3所示），分別用幾何法求解。

1）θ1求解

機(jī)器人的結(jié)構(gòu)投影如圖4所示。

圖3 機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意圖

圖4 關(guān)節(jié)1在x0-y0平面的投影

由圖4可得：

或：

2）θ2，θ3求解

圖5 關(guān)節(jié)2、3在z0-r平面的投影

由圖5中的幾何關(guān)系，可得：

則有：

因此：

同理：

2.2.2 姿態(tài)逆解求解

由各關(guān)節(jié)的變換矩陣有：

因 θ1，θ2，θ3已求得，且T為已知，對上式進(jìn)行變換，有：

因篇幅有限，具體推算過程略，計算結(jié)果如下：

式中：

式中：

3 仿真驗(yàn)證

假設(shè)機(jī)器人各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動不受任何限制，首先設(shè)各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動任意角度，具體數(shù)值如表2所示，利用機(jī)器人正運(yùn)動學(xué)方程，獲得機(jī)器人末端操作器的位置和姿態(tài)，然后此位置和姿態(tài)，用所求得的逆解方程求各相應(yīng)的轉(zhuǎn)角，看與預(yù)先假設(shè)的各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角是否相等。從表3的數(shù)值可以得出，用幾何法所獲得的機(jī)器人逆解是正確的。需要說明的是為了仿真程序編寫簡單，仿真的數(shù)據(jù)均限制在[0,1]之間，但不影響結(jié)論的正確性。

表2 各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角假設(shè)值(rad)

表3 逆解方程所求得的各轉(zhuǎn)角(rad)

4 結(jié)論

針對工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)逆解求解的問題，以5自由度機(jī)器人為例，深入探討了幾何法求逆的方法和過程，并以仿真的手段驗(yàn)證了方法的可行性。從求解過程中，可得出幾何法求逆具有以下特點(diǎn)：1)直觀、簡便，只需進(jìn)行簡單的幾何推導(dǎo)即可獲得位置逆解；2)計算量小，姿態(tài)逆解只需一步矩陣運(yùn)算即可求得。

[1]Denavit,J.,R.,Hartenberg S..A Kinematic Notation for Lower-Pair Mechanisms Based on Matrices[J].ASME Journal of Applied Mechanics,June 1955,215-221.

[2]Tsai L.,Morgan A..Solving the Kinematics of the Most General Six-and Five-degree-of-freedom Manipulators by Continuation Methods[A].ASME Mechanisms Conference[C].Boston,Oct.7-10,1984,84-DET-20.

[3]Nakamura Y.,Hanafusa H..Inverse Kinematic Solutions with Singularity Robustness for Robot Manipulator Control[J].ASME Journal of Dynamic Systems,Measurement,and Control,1986,108.

[4]Baker D.,Wampler C..On the Inverse Kinematics of Redundant Manipulators[J].International Journal of Robotics Research,1988,7(2).

[5]Saeed B.Niku.Introduction to Robotics Analysis,Control,Applications(Second Edition)[M].Beijing,Publishing House of Electronics Industry,2013,3:66-70.

[6]John J.Craig.Introduction to Robotics Mechanics and Control(Third Edition)[M].Beijing,China Machine Press,2013:83-86.

[7]王戰(zhàn)中,楊長建,劉超穎,等.MATLAB環(huán)境下六自由度焊接機(jī)器人運(yùn)動學(xué)逆解及優(yōu)化[J].機(jī)械設(shè)計與制造,2013(7):182-184.

[8]劉 達(dá),王田苗.一種解析和數(shù)值相結(jié)合的機(jī)器人逆解算法[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報,2007(6):728-730.

[9]陳慶誠,朱世強(qiáng),王宣銀.基于旋量理論的串聯(lián)機(jī)器人逆解子問題求解算法[J].浙江大學(xué)學(xué)報(工學(xué)版),2014(1):8-14.

[10]Lee C.S.G.,Ziegler M..Geometric Approach in Solving Inverse Kinematics of PUMA Robots[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,1984,AES-20(6).