高飛

蘇教版數(shù)學(xué)教材將“商不變的規(guī)律”正式編在四年級(jí)下冊(cè)“用計(jì)算器探索規(guī)律”單元，以期在提高學(xué)生用計(jì)算器計(jì)算較大數(shù)的乘除法技能的基礎(chǔ)上，探索發(fā)現(xiàn)乘、除運(yùn)算中所包含的“積的變化規(guī)律”和“商不變的規(guī)律”，并初步應(yīng)用所學(xué)規(guī)律解決一些計(jì)算問(wèn)題，感受及體驗(yàn)規(guī)律學(xué)習(xí)的實(shí)際價(jià)值。但談到用計(jì)算器探索“商不變的規(guī)律”的教學(xué)素材時(shí)（如圖1），

不難發(fā)現(xiàn)，例題編排意圖是憑借8400÷40=210，提出“把被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)數(shù)（0除外）”的探究要求，從而使學(xué)生通過(guò)列舉試算，初步發(fā)現(xiàn)“在除法中，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)數(shù)（0除外），商不變”的現(xiàn)象并以此作為猜想，進(jìn)而鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)舉例進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證，最后歸納概括出商不變的規(guī)律。主要過(guò)程性目標(biāo)是使學(xué)生經(jīng)歷規(guī)律探索的一般過(guò)程，積累學(xué)科探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?？墒?，站在學(xué)生的視角，探究需求在哪里？為什么要把被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)數(shù)，而不是同時(shí)加或減去一個(gè)數(shù)？為什么要強(qiáng)調(diào)“同時(shí)”？這里“同時(shí)”又作何理解？為什么必須是乘或除以同一個(gè)數(shù)？不同的數(shù)行不行？為什么要把0除外？等等。其實(shí)，對(duì)這些問(wèn)題的質(zhì)疑和探索，正是學(xué)生經(jīng)歷“商不變的規(guī)律”萌發(fā)、生長(zhǎng)與形成的過(guò)程所必須思考及解決的問(wèn)題。由此可見，學(xué)習(xí)商不變的規(guī)律的“重頭戲”不是發(fā)現(xiàn)商不變的現(xiàn)象，而是引導(dǎo)學(xué)生執(zhí)“果”索“因”地探究思考“商不變現(xiàn)象客觀存在的根本原因是什么？”那么，是組織學(xué)生按照教材規(guī)定的路徑來(lái)學(xué)習(xí)，還是遵循學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)線索重新設(shè)計(jì)課堂教學(xué)進(jìn)程？這體現(xiàn)了教師不同的教學(xué)價(jià)值取向。

教學(xué)片段1：在觀察和比較等活動(dòng)中，引發(fā)猜想。

1.出示：算一算，比一比，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（1） 40÷10= ? ? （2） 60÷20=

8÷2= ? ? ? ? ? ? ? 120÷40=

（3） 9÷3= ? ? ? ? （4） 150÷30=

90÷30= ? ? ? ? ? 5÷1=

要求學(xué)生分組口算出結(jié)果之后，教師引導(dǎo)觀察與比較：

師：觀察這四組算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：每組算式中商都相等。

四組算式集中呈現(xiàn)“商相等”的共同特點(diǎn)。對(duì)學(xué)生而言，這是一種強(qiáng)刺激。它既是促使學(xué)生深入探究商不變的規(guī)律的思維“導(dǎo)火索”，又是引發(fā)學(xué)生繼續(xù)思考興趣的“引擎”。

師：我們知道任何事情發(fā)生都是有原因的。有沒(méi)有人想過(guò)：每組算式的商為什么都相等？

全班學(xué)生隨即沉默下來(lái)，陷入了思考之中。

顯然，由于學(xué)生年齡特征和認(rèn)知水平的局限，從四組算式中，他們僅僅捕捉到“商相等”的表面現(xiàn)象。換句話說(shuō)，學(xué)生的思維只是停留在知識(shí)的表層上，需要教師“站出來(lái)”發(fā)揮引導(dǎo)者的作用：“我們知道任何事情發(fā)生都是有原因的。有沒(méi)有人想過(guò)：每組算式的商為什么都相等？”將學(xué)生的思維引向“深水區(qū)”，從而透過(guò)“現(xiàn)象”探求隱藏其背后的本質(zhì)。

師：比較每組中上下兩道算式的“被除數(shù)”“除數(shù)”有什么變化？

假如將這四組算式按照一定標(biāo)準(zhǔn)分類，你認(rèn)為可以分成幾類？怎樣分？

學(xué)生獨(dú)立思考之后，先小組交流，再全班交流。

生：分成兩類：（1）（4）兩組為一類;（2）（3）兩組為一類。

師：為什么這樣分？

生：我發(fā)現(xiàn)（1）（4）兩組算式中被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)變小了;而（2）（3）兩組算式中被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)變大了。

師：繼續(xù)觀察思考，說(shuō)說(shuō)（1）（4）兩組算式中被除數(shù)和除數(shù)，因?yàn)槭裁赐瑫r(shí)變?。慷?）（3）兩組算式中被除數(shù)和除數(shù)，又因?yàn)槭裁赐瑫r(shí)變大呢？

生：（1）（4）兩組算式中被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以一個(gè)數(shù)，所以變小;（2）（3）兩組算式中被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，所以變大。

師：能舉出實(shí)例說(shuō)一說(shuō)嗎？

（學(xué)生回答略）

師：通過(guò)這段時(shí)間的討論和交流，你又有什么新發(fā)現(xiàn)？

生：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以同一個(gè)數(shù)，商不變;或被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以同一個(gè)數(shù)，商不變。

師：為什么強(qiáng)調(diào)同一個(gè)數(shù)？舉例說(shuō)一說(shuō)。

（學(xué)生回答略）

對(duì)于學(xué)生而言，從感知到發(fā)現(xiàn)每組算式中“被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)數(shù)（0除外）”是商不變現(xiàn)象客觀存在的根本原因，屬于認(rèn)知上的難點(diǎn)。為了有效突破教學(xué)難點(diǎn)，這里分兩個(gè)層次來(lái)教學(xué)：第一層次，在引導(dǎo)學(xué)生觀察比較每組算式中的被除數(shù)和除數(shù)的變化的基礎(chǔ)上，通過(guò)分類活動(dòng)，促使學(xué)生初步感知每組算式的基本特征。當(dāng)學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察、比較、分類和交流等活動(dòng)時(shí)，初步發(fā)現(xiàn)“（1）（4）兩組算式中被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)變小了;而（2）（3）兩組算式中被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)變大了”，也就邁出了突破教學(xué)“瓶頸”的第一步。第二層次，在學(xué)生已有的感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生的思維向縱深延伸，從而建立被除數(shù)和除數(shù)共同變化的表象?！罢f(shuō)說(shuō)（1）（4）兩組算式中被除數(shù)和除數(shù)，因?yàn)槭裁赐瑫r(shí)變?。慷?）（3）兩組算式中被除數(shù)和除數(shù)，又因?yàn)槭裁赐瑫r(shí)變大呢？”這一問(wèn)，又一次激蕩起學(xué)生思維的漣漪。他們沿著原有的思維路徑繼續(xù)探索前行，利用加、減、乘、除一一試算和思考，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)“被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)數(shù)（0除外）”與“商不變現(xiàn)象”之間的依存關(guān)系，并初步抽象和概括商不變的規(guī)律。

教學(xué)片段2：在具體實(shí)例計(jì)算中，驗(yàn)證猜想。

1.引導(dǎo)驗(yàn)證：

師：我們從四組除法算式中發(fā)現(xiàn)的除法中蘊(yùn)含的“商不變的規(guī)律”是否可信？這里需要——

生：驗(yàn)證！

出示：已知8400÷40=210，如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)數(shù)，商有什么變化？endprint

學(xué)生自主列舉試算（用計(jì)算器），之后小組交流，全班交流。

生：8400和40同時(shí)乘或除以相同的數(shù)，商不變。

師：請(qǐng)你具體說(shuō)一說(shuō)。

（學(xué)生回答略）

師：自己再找一些例子用計(jì)算器計(jì)算，而且這些例子要有代表性。比如不僅要包含一、兩位數(shù)，而且要包含三、四位數(shù)等等。看看是否都有這樣的規(guī)律？能否找出反例？然后，小組交流。

“我們從四組除法算式中發(fā)現(xiàn)的除法中蘊(yùn)含的商不變的規(guī)律，是否可信？這里需要——”此時(shí)，繼續(xù)舉例計(jì)算驗(yàn)證，就成為全體學(xué)生共同的心里需求。尤其是在初步驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，教師提出“選擇面要廣”“尋找反例”的要求，更能刺激學(xué)生的大腦神經(jīng)，從而引發(fā)他們深入思考、踴躍地投入到計(jì)算驗(yàn)證活動(dòng)之中。

2.歸納概括：

師：通過(guò)舉例驗(yàn)證，你能得出什么結(jié)論？

生：在除法中，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)，商不變。

師：有沒(méi)有找到反例？

生：沒(méi)有！

師：想一想：為什么被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)，商不變呢？

生：因?yàn)楸怀龜?shù)和除數(shù)同時(shí)發(fā)生相同的變化！

通過(guò)親身經(jīng)歷商不變的規(guī)律的“猜想——驗(yàn)證——結(jié)論”的探究過(guò)程，學(xué)生從中獲得的不僅有數(shù)學(xué)知識(shí)，更有豐富的感知及深切的體驗(yàn)。在此基礎(chǔ)上，教師拋出“為什么被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)，商不變呢？”一問(wèn)，從而引領(lǐng)學(xué)生適度“觸摸”和追尋商不變規(guī)律的深層內(nèi)涵，已然成為可能。當(dāng)然，受學(xué)生知識(shí)水平的限制（利用分?jǐn)?shù)和除法之間關(guān)系等知識(shí)推演），這里的引申“點(diǎn)到為止”，主要是適當(dāng)提升學(xué)生思維概括水平。

3.思辨結(jié)論：

師：打開課本讀一讀“商不變的規(guī)律”，和我們概括的有什么不同？

生：有0除外。

師：為什么要0除外呢？

生：0不能作除數(shù)。

生：0作除數(shù)沒(méi)有意義。

教學(xué)片段3：在實(shí)際應(yīng)用中，鞏固延伸。（略）

一般來(lái)說(shuō)，教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了具有邏輯性、系統(tǒng)性的知識(shí)體系。能否把作為思維結(jié)果的數(shù)學(xué)加工成“活動(dòng)的”、學(xué)生自己重新建構(gòu)的數(shù)學(xué)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)“再創(chuàng)造”，這既反映出教學(xué)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想，又反映了教師不同的教學(xué)價(jià)值觀。

一、 突出探索性，培養(yǎng)學(xué)生思維能力

比如教學(xué)“商不變的規(guī)律”。單從知識(shí)教學(xué)的目標(biāo)來(lái)看，按照教材例題提供的學(xué)習(xí)線索，也許能夠多快好省地探索發(fā)現(xiàn)商不變的規(guī)律。但是，從發(fā)展學(xué)生思維能力的角度來(lái)看，它卻完全屏蔽了從感知到領(lǐng)悟“被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)數(shù)（0除外）”與“商不變”之間因果關(guān)系的思考過(guò)程。如此教學(xué)，不僅不利于數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)，更不能最大限度地發(fā)揮“商不變規(guī)律”教學(xué)的“育人”功能。為此，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，需要適度拉長(zhǎng)教材空間，增強(qiáng)教學(xué)的探索性。尤其在學(xué)生“首次”感知實(shí)例，作出商不變規(guī)律的猜測(cè)環(huán)節(jié)，讓他們的思維“多飛一會(huì)兒”，從而充分領(lǐng)受發(fā)現(xiàn)之旅的“沿途風(fēng)景”。

二、 突顯過(guò)程性，培養(yǎng)學(xué)生思維能力

比如“圓的周長(zhǎng)”教學(xué)。一般教材側(cè)重點(diǎn)都是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷圓周率的“猜測(cè)——驗(yàn)證——結(jié)論”的探究過(guò)程。這其中“猜測(cè)”環(huán)節(jié)是探究學(xué)習(xí)的關(guān)鍵一步。蘇教版數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下冊(cè)提供的教學(xué)路徑是：首先，讓學(xué)生觀察比較三個(gè)不同規(guī)格的自行車輪滾動(dòng)一圈的路線長(zhǎng)短，在此基礎(chǔ)上，引出圓的周長(zhǎng)含義;接著，提出“比較三個(gè)車輪的直徑和周長(zhǎng)，你有什么發(fā)現(xiàn)？”由此可見，學(xué)生僅僅從直觀比較中，感性地認(rèn)識(shí)到圓的周長(zhǎng)與其直徑大小有關(guān)。然而，這對(duì)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)圓的周長(zhǎng)和直徑之間倍比關(guān)系，以及引發(fā)他們實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng)來(lái)說(shuō)，并沒(méi)有多少指向性意義。更重要的是，學(xué)生失去了一次鍛煉思維能力和創(chuàng)新活動(dòng)的機(jī)會(huì)。為此，一位教師“匠心獨(dú)運(yùn)”憑借圖形直觀，引導(dǎo)學(xué)生多次觀察思考，逐層感知和推測(cè)圓的周長(zhǎng)及其直徑之間關(guān)系。既收獲了知識(shí)，又提升了能力，收到了較好的效果。

1.大膽猜測(cè)，圓的周長(zhǎng)和直徑之間有什么關(guān)系？

學(xué)生根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，初步作出合理判斷：圓的周長(zhǎng)>2直徑。

2.用心推測(cè)，圓的周長(zhǎng)和直徑之間有什么關(guān)系？

（1）

學(xué)生根據(jù)正六邊形的邊長(zhǎng)=圓的半徑，以及直徑=2半徑等知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，由正六邊形的周長(zhǎng)<圓的周長(zhǎng)，推導(dǎo)出：圓的周長(zhǎng)>3直徑。

（2）

學(xué)生根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)=圓的直徑，由正方形的周長(zhǎng)（4d）>圓的周長(zhǎng)，推導(dǎo)出：圓的周長(zhǎng)<4直徑。

（3）歸納：3直徑<圓的周長(zhǎng)<4直徑。

案例中，每位學(xué)生基于已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，積極參與觀察、比較、推理和歸納等活動(dòng)，親身經(jīng)歷“圓的周長(zhǎng)和直徑之間關(guān)系”的猜想、推測(cè)等探究思考過(guò)程，不僅初步認(rèn)識(shí)了圓的周長(zhǎng)和直徑的倍比關(guān)系，為后續(xù)實(shí)驗(yàn)探究指明了方向，更重要的是，傾聽了知識(shí)的“萌發(fā)”“生長(zhǎng)”和“拔節(jié)”的聲音，提高了數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展了思維能力。

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】endprint