余 敏，方棋洪，劉又文

(1.中南林業(yè)科技大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖南長沙410004;2.湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，湖南長沙410082)

位錯(cuò)和位錯(cuò)偶極子都是晶體材料中常見的微觀線缺陷，它與裂紋、孔洞、剛性線以及夾雜等缺陷的干涉作用，對于研究材料的強(qiáng)韌化機(jī)理和破壞效應(yīng)是非常重要的.橢圓夾雜由于其形狀的靈活性，一直是固體力學(xué)和材料科學(xué)中研究的經(jīng)典問題.E.Smith［1-2］研究了無窮遠(yuǎn)縱向剪切下螺型位錯(cuò)和剛性橢圓夾雜的干涉效應(yīng)，給出了位錯(cuò)位于x軸上的干涉應(yīng)力場;Fang Q.H.等［3］研究了壓電螺型位錯(cuò)和橢圓夾雜的電彈干涉效應(yīng)，分析了壓電常數(shù)對位錯(cuò)力的影響.劉又文等［4-5］討論了橢圓夾雜內(nèi)鈍裂紋附近的螺型位錯(cuò)的發(fā)射條件和屏蔽效應(yīng).Yu Min等［6-8］研究了縱向剪切下壓電螺型位錯(cuò)與含共焦橢圓孔橢圓夾雜的干涉效應(yīng)，分析了位錯(cuò)、夾雜及鈍裂紋等對位錯(cuò)力、廣義應(yīng)力強(qiáng)度因子、能量釋放率和廣義應(yīng)變能密度的影響規(guī)律.Jiang Chunzhi等［9-10］研究了壓電/壓電磁材料中螺型位錯(cuò)與含共焦剛性核橢圓夾雜的干涉效應(yīng)，分析了螺位錯(cuò)的位置以及材料常數(shù)對位錯(cuò)力和廣義應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響規(guī)律.

含共焦橢圓鈍裂紋/孔的彈性橢圓夾雜是一個(gè)典型的缺陷模型，容易求得解析解，從而了解復(fù)合材料增強(qiáng)相內(nèi)部缺陷演變及其與位錯(cuò)的干涉規(guī)律.為此，本研究將復(fù)變函數(shù)的分區(qū)全純理論、柯西型積分、應(yīng)力函數(shù)奇性主部分析方法與Riemann邊值問題相結(jié)合，研究基體中的螺型位錯(cuò)偶極子與含鈍裂紋的橢圓夾雜的干涉問題.

1 問題描述與解答

1.1 基本公式和問題描述

在縱向剪切和螺型位錯(cuò)偶極子作用下，只有z方向的位移分量w，剪應(yīng)力表示為 τxz，τyz，沿任意曲線AB的面力主矢大小為F，用復(fù)變量z=x+iy的解析函數(shù)f(z)表示如下:

圖1為物理平面模型.圖1中，在無窮遠(yuǎn)處受反平面均布力載荷的無限大彈性平面，含長、短軸分別為a和b的橢圓柱形夾雜，夾雜內(nèi)部含1個(gè)共焦橢圓鈍裂紋，其長、短軸分別為a1，b1.夾雜外部存在1個(gè)螺位錯(cuò)偶極子，其中心位于基體中的z0點(diǎn)，包含了2 個(gè)分別位于z1=z0-deiφ和z2=z0+deiφ點(diǎn)的螺型位錯(cuò)，且b1=bz，b2=-bz.偶極子偶臂長為 2d，傾角為φ(偶極子臂與x正半軸的夾角).設(shè)夾雜和基體所占的區(qū)域分別為s+和s-，其剪切模量分別為μ1和μ2，下標(biāo)1和2分別表示區(qū)域s+和s-，上標(biāo)“+”和“-”分別表示從區(qū)域s+和s-趨向界面時(shí)函數(shù)所取的邊界值.假設(shè)基體和夾雜交界面上應(yīng)力和位移保持連續(xù)，且橢圓孔上下表面的表面力為0.

圖1 物理平面模型

1.2 一般處理

采用如下保角映射函數(shù):

圖2為保角映射平面模型.圖2中，將z平面上s-映射到ζ平面(|ζ|＞1)，沿橢圓兩焦點(diǎn)連線剪開，共焦鈍裂紋映射到圓|ζ|≤r/R內(nèi)部，而彈性橢圓環(huán)夾雜區(qū)域s+映射到ζ平面r/R≤|ζ|≤1圓環(huán)內(nèi)部.

圖2 保角映射平面模型

方程組(1)變換至ζ平面為

沿界面兩種材料所受面力主矢與反平面位移的連續(xù)條件可分別表示為

可化為多連通域的Riemann邊值問題，根據(jù)Schwartz對稱原理，通過邊界|ζ|=1在ζ平面上定義函數(shù)

將式(3)和(5)代入式(4)，在邊界|t|=1可得

1.3 問題解答

基體中的復(fù)勢函數(shù)f2(z)可表示為

式中f20(ζ)全純.在夾雜內(nèi)沒有奇點(diǎn)，f1(z)全純，變換至ζ平面后，不計(jì)剛體位移，f1(ζ)在圓環(huán)內(nèi)可展開成洛朗級數(shù)，即

式中ak，bk為待定復(fù)常數(shù).將式(9)，(10)帶入式(5)，得

式中f20*(ζ)在s+內(nèi)全純.將式(9)-(12)，帶入邊界條件式(6)，(7)，并利用柯西積分可得

將(13)-(16)聯(lián)立求解，并根據(jù)泰勒和洛朗展開，得到如下公式:

考慮橢圓孔應(yīng)力邊界條件T1(t)=0，即

將式(10)代入，分析系數(shù)可得

將以上結(jié)果代入式(20)中，得

由以上4個(gè)式子和式(9)，(10)和(14)得解析函數(shù):

將式(23)，(24)代入式(3)，可得到基體和夾雜區(qū)域中的應(yīng)力場.如基體中的應(yīng)力場為

2 封閉形式解答

2.1 應(yīng)力強(qiáng)度因子

根據(jù)文獻(xiàn)［11］定義，得到裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子為

2.2 位錯(cuò)像力和像力矩

根據(jù) Juang R.R.等［12］的研究，作用在位錯(cuò)偶極子中心的像力分量Fx和Fy以及像力偶矩T由下式給出:

由 Peach-Koehler公式，當(dāng)k=1，2 時(shí)，F(xiàn)xk和Fyk的計(jì)算公式如下所示:

3 數(shù)值計(jì)算與討論

定義相對剪切模量u= μ1/μ2，設(shè)bz=1.0 ×10-9，c=0.5 × 10-5，d=0.45 × 10-5，z0=6.75 ×10-5，Γ=0.對于位錯(cuò)偶極子中心位于x軸上的典型情況，由式(27)-(29)，分析位錯(cuò)偶極子傾角、橢圓夾雜和橢圓鈍裂紋尺寸以及材料常數(shù)對于位錯(cuò)像力、像力矩和應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響.

圖3 取不同s值，k0隨φ的變化(s1=0.1，u=3)

圖4 取不同s1值，k0隨 φ 的變化(s=0.6，u=3)

像力偶矩和x方向像力分別量綱歸一為當(dāng)夾雜和鈍裂紋大小確定，取不同u值時(shí)，F(xiàn)0隨φ的變化如圖5所示.由圖5可知，當(dāng)φ∈(0，π/2)時(shí)，位錯(cuò)力隨φ的增加而減小;當(dāng)φ∈(π/2，π)時(shí)，位錯(cuò)力隨φ的增加而增大.且隨著相對剪切模量的增大，位錯(cuò)力減小.

圖5 取不同u值，F(xiàn)0隨φ的變化(R=2，r=1.33)

圖6為夾雜和鈍裂紋大小確定，取不同u值時(shí)量綱一的量像力偶矩隨φ的變化曲線.當(dāng)φ∈(0，π/2)時(shí)，隨φ的增大，T0先增大，在φ≈π/10時(shí)，達(dá)到最大值，然后減小，當(dāng)φ→π/2時(shí)，T0趨向于0.當(dāng)φ∈(π/2，π)時(shí)，有相似的變化規(guī)律.并且隨著相對剪切模量的增大，像力偶矩的絕對值減小.

圖6 取不同u值，T0隨φ的變化(R=2，r=1.33)

4 結(jié)論

1)本研究利用彈性力學(xué)的復(fù)式解法，將分區(qū)全純理論、柯西型積分、應(yīng)力函數(shù)奇性主部分析方法與Riemann邊值問題相結(jié)合，對基體中的螺位錯(cuò)偶極子與一含共焦鈍裂紋的橢圓夾雜的干涉問題進(jìn)行了研究.結(jié)果表明:其他條件確定時(shí)，存在著傾角φ(偶極子臂與x正半軸的夾角)的2個(gè)極值，分別對應(yīng)著螺位錯(cuò)偶極子對夾雜內(nèi)裂紋最強(qiáng)的反屏蔽和屏蔽效應(yīng);還存在著2個(gè)臨界值，改變位錯(cuò)偶極子對裂紋的屏蔽或反屏蔽效應(yīng);φ值一定時(shí)，反屏蔽和屏蔽效應(yīng)均隨夾雜的增大和鈍裂紋曲率的增大而增強(qiáng).

2)位錯(cuò)力隨φ的變化而作周期變化，隨著相對剪切模量的增大而減小.其他條件確定時(shí)，隨著相對剪切模量的增大，像力偶矩的絕對值減小;隨φ的增大，像力偶矩先增大，然后減小;φ存在一個(gè)臨界值，使像力偶矩取最大值;φ=π/2時(shí)，像力偶矩等于0.

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