徐柏軍

摘 要：以人教版《平面向量》這一章節(jié)為例，從平面向量的運(yùn)算、平面向量的幾何意義、平面向量基本定理這三個(gè)方面入手，詳細(xì)闡述在新課改中如何有效利用教材，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使教師的教和學(xué)生的學(xué)都做到有的放矢.

關(guān)鍵詞：教材;知識(shí)網(wǎng)絡(luò);向量運(yùn)算;幾何意義;平面向量基本定理

新一輪課改高考命題原則是：立足基礎(chǔ)，切合教材，貼近生活，背景公平，控制難度.構(gòu)成原則的五個(gè)詞組，幾乎每個(gè)詞組都與課本有關(guān).這種回歸課本的導(dǎo)向作用，有利于命題的穩(wěn)定，有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的穩(wěn)定.理清教材知識(shí)脈絡(luò)，將數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)串成線，聯(lián)成網(wǎng).下面就人教A版《平面向量》談?wù)動(dòng)行Ю媒滩模瑯?gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

一、向量運(yùn)算，作為主線貫穿始終

在章節(jié)文字說明中有這樣兩段話：“如果沒有運(yùn)算，向量只是一個(gè)路標(biāo)，因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無限”“向量概念引入后，全等和平行（平移），相似，垂直，勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法，數(shù)乘向量，數(shù)量積運(yùn)算（運(yùn)算律），從而圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系”.這給整個(gè)平面向量的教學(xué)定下了基調(diào)：向量運(yùn)算.

例1 ？搖（課本例題）平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，如圖1.■=■+■，■=■-■，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系嗎？

分析：不妨設(shè)■= ■，■=■，則■=■+■，■=■-■，涉及長度問題常?？紤]向量的數(shù)量積，為此，我們計(jì)算|■|■與|■|■.

解：|■|■=■·■=（■+■）·（■+■）=|■|■+2■·■+|■|■.①

同理|■|■=|■|■-2■·■+|■|■.②

觀察①②兩式的特點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)①+②得

|■|■+|■|■=2（|■|■+|■|■）=2（|■|■+|■|■）.

即平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.若用此結(jié)論，則例2可以快速解決.

例2 （2014浙江理）記max{x，y}=x，x≥y，

y，x

x，x

（A）min{|■|+|■|，|■|-|■|}≤min{|■|，|■|}

（B）min{|■|+|■|，|■|-|■|}≥min{|■|，|■|}

（C）max{|■+■|■，|■-■|■}≤|■|■+|■|■

（D）max{|■+■|■，|■-■|■}≥|■|■+|■|■

分析：本題四個(gè)選項(xiàng)考查向量的運(yùn)算，主要找圖1中所有要素■=■，■=■，？搖■=■+■，■=■-■之間的關(guān)系.

解：顯然（A）（B）是錯(cuò)誤的，由例1的結(jié)論可知：

min{|■+■|■，|■-■|■}≤|■|■+|■|■=■（|■+■|■+|■-■|■）≤max{|■+■|■，|■-

■|■}，故選（D）.

其實(shí)觀察①②兩式的特點(diǎn)，我們還能發(fā)現(xiàn)①-②得■·■=■·■=■（■■+■■），即■·■=■[（■+■）■+（■-■）■].此結(jié)論把向量的加法、減法、數(shù)量積等運(yùn)算聯(lián)系在一起，在高考題中能見到它的影子.

例3 ？搖（2013浙江理）設(shè)△ABC，P■是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P■B=■AB，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有■·■≥■·■，則（ ?）

（A）∠ABC=90° ?（B）∠BAC=90°

（C）AB=AC ? ?（D）AC=BC

分析：有以上結(jié)論可知■·■=■[（■+■）■+（■-■）■]，■·■=■[（■+■）■+（■-■）■]，而■-■=■-■=■，所以我們比較（■+■）■與（■+■）■的大小.

解：取BC的中點(diǎn)E，如圖2.由■·■≥■·■得■[（■+■）■+（■-■）■]≥

■[（■+■）■+（■-■）■]，即（■+■）■≥（■+■）■]，所以有|■|≥■，轉(zhuǎn)化為幾何問題為點(diǎn)E到邊AB上所有點(diǎn)的距離的最小值為P■E，所以P■E⊥AB，即AC=BC，故選（D）.

平面幾何經(jīng)常涉及距離（線段長度）、夾角問題，而平面向量的運(yùn)算，特別是數(shù)量積主要涉及向量的模以及向量之間的夾角，因此我們可以用向量方法解決部分幾何問題.解決幾何問題時(shí)，先用向量表示相應(yīng)的點(diǎn)、線段、夾角等幾何元素;然后通過向量的運(yùn)算，特別是數(shù)量積來研究點(diǎn)、線段等元素之間的關(guān)系;最后把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系，得到幾何問題的結(jié)論.

二、幾何意義，體現(xiàn)向量的核心價(jià)值

課本中的小標(biāo)題有“向量加法運(yùn)算及其幾何意義”“向量減法運(yùn)

算及其幾何意義”“向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義”“平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義”等，這些都指向同一個(gè)關(guān)鍵詞：幾何意義.

1.向量加法，減法和數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義

例4 ？搖（2005年浙江省理科）已知向量■≠■，|■|=1，對(duì)任意的

t∈R，恒有|■-t■|≥|■-■|，則（ ?）

（A）■⊥■

（B）■⊥（■-■）

（C）■⊥（■-■）

（D）（■+■）⊥（■-■）

分析：本題考查向量減法和數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.弄清|■-t■|和|■-■|的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵.

解：設(shè)■=■，■=■，則■=t■=t■，■=■-■=■-■，■=■-■=■-t■，如圖3.因?yàn)閷?duì)任意的t∈R，恒有|■-t■|≥|■-■|，所以恒有|■|≥|■|，所以O(shè)A⊥AB.故選（C）.

2？郾向量數(shù)量積的幾何意義

例5 已知△ABC，O為其外心，■·■=8，■·■=18，■·■=■，則△ABC的面積為 ? .endprint

解：■·■=|■|·（|■|cos<■，■>）=|■|·|■|=■|■|■=8，得|■|=4.■·■=|■|·（|■|cos<■，■>）=|■|·|■|=■|■|■=18，得|■|=6.■·■=|■|·|■|cos<■，■>=4×6×cos<■，■>=■，如圖4.所以cos<■，■>=■，sin<■，■>=■，所以

S■=■.

“向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具”，向量是溝通代數(shù)、

幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其

豐富的實(shí)際背景，在數(shù)學(xué)中具有廣泛的

應(yīng)用.

三、平面向量基本定理，讓向量豐富多彩

平面向量基本定理 如果■，■是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量■，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ■，λ■，使■=λ■■+λ■■ .

例6 在△OAB中，■=■■，■=■■，AD與BC交于點(diǎn)M，如圖5.設(shè)■=■，■=■，以■、■為基底表示■，則■= ? .

分析：利用平面向量基本定理來解決該題.

解：∵A，M，D三點(diǎn)共線，∴存在λ∈R，使得

■=（1-λ）■+λ■=（1-λ）■+■■=（1-λ）■+■■

又∵B，M，C三點(diǎn)共線，∴存在μ∈R，使得

■=（1-μ）■+μ■=（1-μ）■+■■=（1-μ）■+■■，

由平面向量基本定理可知■=1-λ1-μ=■，得λ=■μ=■，所以■=■■+■■.

在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量■，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得■=x■■+y■.這樣，平面內(nèi)的任一向量■都可以由x，y唯一確定，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）叫做向量的坐標(biāo)，記做■=（x，y），即為向量的坐標(biāo)表示，是平面向量基本定理的一種特殊情況（單位正交基底）.通過坐標(biāo)運(yùn)算可以解決向量的長度、夾角、平行、垂直等問題，降低了思維難度，易于把握，體現(xiàn)了向量在解題中的巨大作用.

例7 在梯形ABCD中，DA=AB=BC=■CD=1，點(diǎn)P在三角形BDC區(qū)域（含邊界）中運(yùn)動(dòng)，則■·■的取值范圍是 ? .

解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，有向線段AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖6.

則A（0，0），B（1，0），C■，■，D-■，■，P（x，y），

所以■=（x，y），■=-■，■，

■·■=-■x+■y，即y=■x+■■·■，

可知點(diǎn)P（x，y）在直線上，因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）在三角形BDC區(qū)域內(nèi)（含邊界），由線性規(guī)劃可知■·■的取值范圍是-■，■.

著名數(shù)學(xué)家華羅庚提道：“善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的訣竅.”這里“最原始的而不失重要性的地方”就是教材的知識(shí)體系、教材的概念、定理等，只要抓住了這一點(diǎn)，我們的課堂難點(diǎn)復(fù)習(xí)一定會(huì)是成功的和有效的.

參考文獻(xiàn)：

俞永鋒.函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)何必復(fù)合說[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011（12）.

Use Teaching Materials Effectively Construct the Knowledge Network

Xu Bojun

Abstract： This article takes the chapter plane vector in PEP for instances，beginning with the computation，geometric meaning and fundamental theorem of plane vector，to expound the argument about how to use teaching materials effectively and construct the knowledge network. Thus，both teachers and students can be to the point.

Key words： teaching materials;knowledge network;vector computation;geometric meaning;fundamental theorem of plane vector

？誗編輯 馬燕萍endprint

解：■·■=|■|·（|■|cos<■，■>）=|■|·|■|=■|■|■=8，得|■|=4.■·■=|■|·（|■|cos<■，■>）=|■|·|■|=■|■|■=18，得|■|=6.■·■=|■|·|■|cos<■，■>=4×6×cos<■，■>=■，如圖4.所以cos<■，■>=■，sin<■，■>=■，所以

S■=■.

“向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具”，向量是溝通代數(shù)、

幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其

豐富的實(shí)際背景，在數(shù)學(xué)中具有廣泛的

應(yīng)用.

三、平面向量基本定理，讓向量豐富多彩

平面向量基本定理 如果■，■是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量■，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ■，λ■，使■=λ■■+λ■■ .

例6 在△OAB中，■=■■，■=■■，AD與BC交于點(diǎn)M，如圖5.設(shè)■=■，■=■，以■、■為基底表示■，則■= ? .

分析：利用平面向量基本定理來解決該題.

解：∵A，M，D三點(diǎn)共線，∴存在λ∈R，使得

■=（1-λ）■+λ■=（1-λ）■+■■=（1-λ）■+■■

又∵B，M，C三點(diǎn)共線，∴存在μ∈R，使得

■=（1-μ）■+μ■=（1-μ）■+■■=（1-μ）■+■■，

由平面向量基本定理可知■=1-λ1-μ=■，得λ=■μ=■，所以■=■■+■■.

在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量■，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得■=x■■+y■.這樣，平面內(nèi)的任一向量■都可以由x，y唯一確定，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）叫做向量的坐標(biāo)，記做■=（x，y），即為向量的坐標(biāo)表示，是平面向量基本定理的一種特殊情況（單位正交基底）.通過坐標(biāo)運(yùn)算可以解決向量的長度、夾角、平行、垂直等問題，降低了思維難度，易于把握，體現(xiàn)了向量在解題中的巨大作用.

例7 在梯形ABCD中，DA=AB=BC=■CD=1，點(diǎn)P在三角形BDC區(qū)域（含邊界）中運(yùn)動(dòng)，則■·■的取值范圍是 ? .

解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，有向線段AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖6.

則A（0，0），B（1，0），C■，■，D-■，■，P（x，y），

所以■=（x，y），■=-■，■，

■·■=-■x+■y，即y=■x+■■·■，

可知點(diǎn)P（x，y）在直線上，因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）在三角形BDC區(qū)域內(nèi)（含邊界），由線性規(guī)劃可知■·■的取值范圍是-■，■.

著名數(shù)學(xué)家華羅庚提道：“善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的訣竅.”這里“最原始的而不失重要性的地方”就是教材的知識(shí)體系、教材的概念、定理等，只要抓住了這一點(diǎn)，我們的課堂難點(diǎn)復(fù)習(xí)一定會(huì)是成功的和有效的.

參考文獻(xiàn)：

俞永鋒.函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)何必復(fù)合說[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011（12）.

Use Teaching Materials Effectively Construct the Knowledge Network

Xu Bojun

Abstract： This article takes the chapter plane vector in PEP for instances，beginning with the computation，geometric meaning and fundamental theorem of plane vector，to expound the argument about how to use teaching materials effectively and construct the knowledge network. Thus，both teachers and students can be to the point.

Key words： teaching materials;knowledge network;vector computation;geometric meaning;fundamental theorem of plane vector

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解：■·■=|■|·（|■|cos<■，■>）=|■|·|■|=■|■|■=8，得|■|=4.■·■=|■|·（|■|cos<■，■>）=|■|·|■|=■|■|■=18，得|■|=6.■·■=|■|·|■|cos<■，■>=4×6×cos<■，■>=■，如圖4.所以cos<■，■>=■，sin<■，■>=■，所以

S■=■.

“向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具”，向量是溝通代數(shù)、

幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其

豐富的實(shí)際背景，在數(shù)學(xué)中具有廣泛的

應(yīng)用.

三、平面向量基本定理，讓向量豐富多彩

平面向量基本定理 如果■，■是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量■，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ■，λ■，使■=λ■■+λ■■ .

例6 在△OAB中，■=■■，■=■■，AD與BC交于點(diǎn)M，如圖5.設(shè)■=■，■=■，以■、■為基底表示■，則■= ? .

分析：利用平面向量基本定理來解決該題.

解：∵A，M，D三點(diǎn)共線，∴存在λ∈R，使得

■=（1-λ）■+λ■=（1-λ）■+■■=（1-λ）■+■■

又∵B，M，C三點(diǎn)共線，∴存在μ∈R，使得

■=（1-μ）■+μ■=（1-μ）■+■■=（1-μ）■+■■，

由平面向量基本定理可知■=1-λ1-μ=■，得λ=■μ=■，所以■=■■+■■.

在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量■，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得■=x■■+y■.這樣，平面內(nèi)的任一向量■都可以由x，y唯一確定，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）叫做向量的坐標(biāo)，記做■=（x，y），即為向量的坐標(biāo)表示，是平面向量基本定理的一種特殊情況（單位正交基底）.通過坐標(biāo)運(yùn)算可以解決向量的長度、夾角、平行、垂直等問題，降低了思維難度，易于把握，體現(xiàn)了向量在解題中的巨大作用.

例7 在梯形ABCD中，DA=AB=BC=■CD=1，點(diǎn)P在三角形BDC區(qū)域（含邊界）中運(yùn)動(dòng)，則■·■的取值范圍是 ? .

解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，有向線段AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖6.

則A（0，0），B（1，0），C■，■，D-■，■，P（x，y），

所以■=（x，y），■=-■，■，

■·■=-■x+■y，即y=■x+■■·■，

可知點(diǎn)P（x，y）在直線上，因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）在三角形BDC區(qū)域內(nèi)（含邊界），由線性規(guī)劃可知■·■的取值范圍是-■，■.

著名數(shù)學(xué)家華羅庚提道：“善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的訣竅.”這里“最原始的而不失重要性的地方”就是教材的知識(shí)體系、教材的概念、定理等，只要抓住了這一點(diǎn)，我們的課堂難點(diǎn)復(fù)習(xí)一定會(huì)是成功的和有效的.

參考文獻(xiàn)：

俞永鋒.函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)何必復(fù)合說[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011（12）.

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Xu Bojun

Abstract： This article takes the chapter plane vector in PEP for instances，beginning with the computation，geometric meaning and fundamental theorem of plane vector，to expound the argument about how to use teaching materials effectively and construct the knowledge network. Thus，both teachers and students can be to the point.

Key words： teaching materials;knowledge network;vector computation;geometric meaning;fundamental theorem of plane vector

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