張克軍，張海軍

任何一種新研制的航天產(chǎn)品都要經(jīng)歷不同的試驗(yàn)階段，并最終通過試驗(yàn)與鑒定。飛行可靠性作為航天產(chǎn)品試驗(yàn)與鑒定的重要考核指標(biāo)，不僅是產(chǎn)品質(zhì)量的特性，也是其保持戰(zhàn)斗力的重要保證?？紤]試驗(yàn)費(fèi)用，在試驗(yàn)與鑒定過程中，不可能進(jìn)行大樣本的飛行可靠性試驗(yàn)，但在實(shí)際工程中存在著大量的歷史試驗(yàn)信息，如何結(jié)合歷史試驗(yàn)信息(驗(yàn)前信息)，在有限的鑒定試驗(yàn)樣本情況下，對產(chǎn)品的飛行可靠性作出客觀公正的評價(jià)，是航天產(chǎn)品研制單位及使用單位一直研究的問題。

1 傳統(tǒng)的評定方法

1.1 經(jīng)典檢驗(yàn)方法

設(shè)航天產(chǎn)品飛行可靠性的目標(biāo)值為P0，試驗(yàn)發(fā)數(shù)為N，試驗(yàn)成功數(shù)為S。

統(tǒng)計(jì)假設(shè):

原假設(shè)H0:P=P0，備擇假設(shè)H1:P=λP0=P1。

其中，λ為檢出比，P1為飛行可靠性最低可接受值。

若

則拒絕原假設(shè)H0，即飛行可靠性不合格;否則，接受原假設(shè)H0，即飛行可靠性合格。

檢驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn):

其中，α為生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)，β為使用方風(fēng)險(xiǎn)。

應(yīng)用上述檢驗(yàn)方法時(shí)，要求應(yīng)用中雙方風(fēng)險(xiǎn)相當(dāng)，并小于某一值。

1.2 經(jīng)典評估方法

已知產(chǎn)品的可靠性試驗(yàn)數(shù)據(jù)為(s，f)，s表示產(chǎn)品試驗(yàn)的成功數(shù)，f表示產(chǎn)品試驗(yàn)的失敗數(shù)，n=s+f表示產(chǎn)品的試驗(yàn)總數(shù)。

1.2.1 點(diǎn)估計(jì)

R的估計(jì)量為

1.2.2 區(qū)間估計(jì)

對于成敗型產(chǎn)品，其可靠度具有如下關(guān)系

其中，γ為置信度;IRL，C(s，f+1)為不完全β分布函數(shù)，即可靠度;RL，C為給定概率1－γ的不完全β分布函數(shù)下側(cè)分位數(shù)。

當(dāng) f=0 時(shí)，RL，C=(1－ γ)1/n;當(dāng) f=n 時(shí)，上式無解，可取 RL，C=0。

根據(jù)不完全β函數(shù)與二項(xiàng)分布的關(guān)系，則式(1.8)可表示為:

給定置信度γ，查二項(xiàng)分布函數(shù)表求解得到產(chǎn)品可靠性的置信下限RL，C。

2 考慮驗(yàn)前信息的Bayes評定方法

2.1 Bayes檢驗(yàn)方法

已知航天產(chǎn)品飛行可靠性的目標(biāo)值為P0，驗(yàn)前信息為:成功數(shù)為S0，失敗數(shù)為F0，試驗(yàn)總數(shù)為N0，N0=S0+F0。

統(tǒng)計(jì)假設(shè)同1.1。

H0的驗(yàn)前概率π0:

H1的驗(yàn)前概率π1:

若

則拒絕原假設(shè)H0，即飛行可靠性不合格;否則，接受原假設(shè)H0，即飛行可靠性合格。

2.1.1 Bayes相對風(fēng)險(xiǎn)

其中α，β為經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)。

2.1.2 Bayes驗(yàn)后風(fēng)險(xiǎn)

生產(chǎn)方Bayes風(fēng)險(xiǎn)是指接受H1假設(shè)時(shí)，H0是真的概率，數(shù)學(xué)表達(dá)式為απ=P(H0|Z1);使用方Bayes風(fēng)險(xiǎn)是指接受H0假設(shè)時(shí)，H1是真的概率，數(shù)學(xué)表示式為βπ=P(H1|Z0)。根據(jù)Bayes全概率公式有:

2.1.3 實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)

Bayes檢驗(yàn)方法中研制方的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)即為經(jīng)典檢驗(yàn)方法中的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)，即:

使用方的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)為Bayes相對風(fēng)險(xiǎn)的兩倍，即:

實(shí)際使用中要求βπ≤α。

2.2 Bayes評估方法

2.2.1 點(diǎn)估計(jì)

R取共軛先驗(yàn)密度F0(R)=β(R|s0，F(xiàn)0)=，試驗(yàn)中成、敗發(fā)生概率為 L，則R的后驗(yàn)密度由貝葉斯定理確定，經(jīng)推導(dǎo)

通常設(shè)定a=b=0.5，則其貝葉斯估計(jì)為

2.2.2 區(qū)間估計(jì)

經(jīng)推導(dǎo)，貝葉斯置信下限為

當(dāng)F1+F0=0時(shí)，則:

給定置信度γ，查二項(xiàng)分布函數(shù)表求解得到產(chǎn)品可靠性的置信下限RL，B。

3 應(yīng)用實(shí)例

某航天產(chǎn)品的飛行可靠性為0.9。鑒定試驗(yàn)前，研制單位進(jìn)行了研制摸底試驗(yàn)，成功數(shù)為10，失敗數(shù)為2，鑒定試驗(yàn)給定試驗(yàn)總數(shù)為9，試驗(yàn)結(jié)果成功數(shù)為8。現(xiàn)分別采用前面介紹的檢驗(yàn)方法，對飛行可靠性作出檢驗(yàn)與評估。

3.1 經(jīng)典法

選定檢出比:λ =0.77，依據(jù)式(1.1)，得到 P1=0.69。

依據(jù)式(1.2)、(1.3)、(1.4)、(1.5)和(1.6)得到檢驗(yàn)方案為:9 發(fā)8 成。

此時(shí)雙方風(fēng)險(xiǎn)為:α=0.2252，β=0.1788，滿足雙方風(fēng)險(xiǎn)相當(dāng)要求。

因此，該產(chǎn)品通過檢驗(yàn)。

3.1.1 點(diǎn)估計(jì)

3.1.2 區(qū)間估計(jì)

根據(jù)式(1.9)，若置信度γ=0.8，則查表得到RL=0.7。

3.2 考慮驗(yàn)前信息的Bayes法

選定檢出比 λ =0.77，依據(jù)式(1.1)，得到 P1=0.69。

依據(jù)式(2.1)、(2.2)得到驗(yàn)前概率:π0=0.60，π1=0.40。

根據(jù)式(2.3)，得到檢驗(yàn)方案為:9發(fā)8成。

依據(jù)式(2.4)、(2.5)，(2.6)、(2.7)，(2.8)、(2.9)得到風(fēng)險(xiǎn)如下:

考慮驗(yàn)前信息采用Bayes，該產(chǎn)品的鑒定試驗(yàn)結(jié)果是產(chǎn)品通過檢驗(yàn)，且雙方的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)滿足該方法的使用原則。

3.2.1 點(diǎn)估計(jì)

3.2.2 區(qū)間下限估計(jì)

根據(jù)式(2－12)，若置信度γ=0.8，則表得到RL=0.8。

3.3 兩種方法的比較

表1 兩種方法的數(shù)據(jù)比較

3.3.1 充分利用驗(yàn)前信息

航天產(chǎn)品在研制摸底試驗(yàn)階段的試驗(yàn)數(shù)據(jù)往往大于鑒定試驗(yàn)階段的數(shù)據(jù)信息。傳統(tǒng)的經(jīng)典方法只利用鑒定試驗(yàn)階段的試驗(yàn)數(shù)據(jù)信息，而Bayes法將研制階段和鑒定階段的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合利用，從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度考慮，增加了樣本量就增加了統(tǒng)計(jì)結(jié)果的可靠程度。

3.3.2 試驗(yàn)結(jié)果的概率解釋更為合理

鑒定試驗(yàn)是采用小樣本的方法，控制樣本量，所以僅僅以鑒定試驗(yàn)為樣本信息的經(jīng)典法，在樣本數(shù)不夠充分的情況下，無論結(jié)果如何都不具有說服力。而Bayes法，綜合了從研制階段到鑒定階段的全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)，擴(kuò)大了樣本量，從概率論角度講，評估結(jié)果更具有說服力。

3.3.3 使用方風(fēng)險(xiǎn)的降低

在同樣檢驗(yàn)方案的情況下，Bayes檢驗(yàn)方法通過使用驗(yàn)前信息，降低了使用方的風(fēng)險(xiǎn)，研制方風(fēng)險(xiǎn)沒有影響，評定標(biāo)準(zhǔn)并沒有放松。

4 結(jié)語

在現(xiàn)場鑒定試驗(yàn)數(shù)據(jù)量較少時(shí)，充分應(yīng)用歷史試驗(yàn)信息對航天產(chǎn)品的飛行可靠性進(jìn)行評定的Bayes法，在不放松評定標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，降低了使用方的風(fēng)險(xiǎn)。在減少試驗(yàn)樣本的同時(shí)，也可以增加統(tǒng)計(jì)結(jié)果的可靠程度，使評估結(jié)果更具有說服力。

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