朱建波

摘 ?要：筆者將課本上一道關(guān)于拋物線求最值的問題推廣得到一個一般性結(jié)論. 課本問題為我們解決一類最小距離問題提供了研究的基礎(chǔ).類比橢圓，也得到一個類似的結(jié)論. 總結(jié)規(guī)律，推而廣之，此種一般性的結(jié)論成為解決有關(guān)拋物線、橢圓最近距離的有力工具.這種由特殊到一般，再由一般結(jié)論解決具體問題的方法，是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效途徑.

關(guān)鍵詞：拋物線;最值;相切

在講授拋物線知識時，出現(xiàn)了圓與拋物線相切的問題，它涉及拋物線上點到定點的最小距離.在解決這一類問題之前，筆者設(shè)計了一個例題，并由此引發(fā)思考、討論，形成了一組互為關(guān)聯(lián)的“問題串”，獲得了這類問題的簡捷解法.

問題1 （蘇教版選修2-1第66頁第15題）

若拋物線x2=2y的頂點是拋物線上到點A（0，a）距離最近的點，求a的取值范圍.

解：設(shè)P（x，y）為拋物線上任一點，則x2=2y（y≥0），所以PA2=（x-0）2+（y-a）2=y2+2（1-a）y+a2=（y+1-a）2+2a-1，由題意知y=0時PA2取得最小值，所以a-1≤0，所以a的取值范圍是a≤1.

為了探求此類問題的一般解題思路及方法，筆者設(shè)計了這樣一個例題.

例 求拋物線x2=2y上的點到點A（0，a）的最小距離.

解：設(shè)P（x，y）為拋物線上任一點，則x2=2y（y≥0），所以PA2=（x-0）2+（y-a）2=y2+2（1-a）y+a2=（y+1-a）2+2a-1，因為y≥0，所以？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

①當(dāng)a-1≤0，即a≤1時，在y=0時PA取得最小值，最小值為|a|.

②當(dāng)a-1>0，即a>1時，在y=a-1時PA取得最小值，最小值為 ?.

評注：（1）解決此題關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題.

（2）由該例我們可以猜想并證明下列結(jié)論：若拋物線方程為x2=2py（p>0），點A（0，a），當(dāng)a≤p時，拋物線的頂點離A點距離最近，最近距離為a.

證明：設(shè)P（x，y）為拋物線上任一點，則x2=2py（y≥0），所以PA2=（x-0）2+（y-a）2=y2+2（p-a）y+a2=（y+p-a）2+2ap-p2. 因為y≥0，所以當(dāng)a-p≤0，即a≤p時，在y=0處PA取得最小值，最小值為a.

評注：這一結(jié)論具有適用性，它不但易于解決拋物線x2=2py（p>0）上的點到定點A（0，a）的最小距離，而且對于頂點在坐標(biāo)原點，焦點在y軸的負半軸或焦點在x軸上的拋物線亦有相同結(jié)論.

問題2 ?拋物線x2=4y上的點到點A（0，1）最近的距離是__________.

思路：由例題結(jié)論我們直接可得答案是1.

評注：對問題1我們也可以直接利用例題的結(jié)論，當(dāng)頂點是離A（0，a）距離最近的點時，a的值應(yīng)小于等于p，即a≤1.

上述例題的結(jié)論也可以解決實際問題，請看以下問題.

問題3 ?（蘇教版選修2-1第63頁第8題）

一只酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的方程為x2=2y（0≤y≤20），在杯內(nèi)放一只玻璃球. 要使球觸及酒杯底部，那么玻璃球的半徑r應(yīng)滿足什么條件？

解法1：設(shè)玻璃球軸截面所在曲線的方程為x2+（y-r）2=r2（r>0），依題意，其與x2=2y（0≤y≤20）聯(lián)立方程組只有一組解（0，0），消去x2，得y2-2（r-1）y=0，所以y=0或y=2（r-1）. 依題意得0

解法2：設(shè)Pa， ?是拋物線上一點，玻璃球軸截面所在曲線的方程為x2+（y-r）2=r2（r>0），圓心為B（0，r），當(dāng)滿足PB≥r恒成立時，玻璃球一定會觸及杯底，即 ?≥r恒成立，所以r≤ ?+1恒成立，因而r≤ ?+1min. 又因為 ?+1min=1，所以當(dāng)0

解法3：將此應(yīng)用問題進行轉(zhuǎn)化：要使玻璃球觸及杯底，即為“拋物線的頂點到玻璃球所在軸截面的圓的圓心B（0，r）距離最近，由例題之結(jié)論，可知0

評注：解法1運用了方程的思想;解法2主要運用了恒成立方法;解法3是將該問題化歸為問題1，并應(yīng)用例題之結(jié)論處理，最簡捷方便.

我們還可以將拋物線上的點與定點最小距離推廣為橢圓上點到定點之最小距離，請看下題.

問題4 ?王先生工作的酒店里有一種軸截面為橢圓一部分的橢圓形酒杯，杯口寬3.6 cm，杯深為9 cm，中間最寬處為6 cm，將一個半徑為r的玻璃球放入酒杯中，問：r在什么范圍內(nèi)可以使玻璃球觸及酒杯底部？

解法1：以橢圓的中心為原點建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為 ?+ ?=1（a>b>0），由題意知，b=3，且點（1.8，9-a）在橢圓上，將該點代入橢圓方程，解得a=5，則橢圓方程為 ?+ ?=1. 設(shè)圓心為B（0，r-5），半徑為r的圓的方程為x2+（y+5-r）2=r2，與橢圓方程聯(lián)立，消去x，得8y2+25（5-r）y+425-125r=0，解得y1=-5，y2= ?r- ?，要使圓B與橢圓內(nèi)切于下頂點，則y2≤-5，即0

這是利用方程的思想解決問題，那么類比問題3，我們是否有像問題3中之解法3類似的解法呢？我們先把問題做一般化研究：設(shè)橢圓方程為 ?+ ?=1（a>b>0）與圓B內(nèi)切于橢圓的下頂點，求圓B的半徑r的取值范圍.

解：圓B的圓心B為（0，r-a），則圓的方程為x2+（y-r+a）2=r2，設(shè)P（x，y）是橢圓上一動點，PB2=（x-0）2+（y-r+a）2=1- ?b2+（y-r+a）2 = ?y2+（2a-2r）y+a2+b2+r2-2ar. 因為-a≤y≤a，所以當(dāng) ?≤ -a時，即0

評注：（1）本題亦是轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次函數(shù)求最值問題進行解決.

⑵ 仿上例，我們可以得到一個結(jié)論：中心在原點，焦點在y軸的橢圓與圓內(nèi)切于下頂點時，圓的半徑的取值范圍為0

現(xiàn)在再回頭看問題4，運用我們推出的結(jié)論可以馬上得到答案0

綜上所述，課本問題為我們推廣解決一類最小距離問題提供了研究的基礎(chǔ). 總結(jié)規(guī)律，推而廣之，成為解決有關(guān)拋物線、橢圓最近距離的有力工具. 這種由特殊到一般，再由一般結(jié)論解決具體問題的方法，是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效途徑.