周燦云

摘 ?要：數(shù)學(xué)理解是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要概念，對(duì)其理解有經(jīng)驗(yàn)與學(xué)術(shù)兩個(gè)層面. 先基于學(xué)術(shù)理解，再結(jié)合教師自身的經(jīng)驗(yàn)，是一種良好的理解途徑.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，基于數(shù)學(xué)理解去分析學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程并對(duì)自身的教學(xué)提出改進(jìn)建議，是一種更好的有效教學(xué)途徑. 數(shù)學(xué)理解有兩點(diǎn)需要重視：一是數(shù)學(xué)理解可以促進(jìn)學(xué)生從舊知中提取知識(shí)來(lái)理解新知，這是心理層面的理解要點(diǎn);二是數(shù)學(xué)理解往往會(huì)伴隨著學(xué)生的“個(gè)性”化語(yǔ)言，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有無(wú)個(gè)性化的語(yǔ)言，是判斷數(shù)學(xué)理解是否發(fā)生的重要因素.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)理解;理解;反思

在教學(xué)中進(jìn)行深度的研究一般都會(huì)經(jīng)過(guò)解構(gòu)、理解、重建、反思的過(guò)程，因?yàn)橹挥袑?duì)習(xí)以為常的教學(xué)習(xí)慣進(jìn)行解構(gòu)，才能有一個(gè)重建空間的可能. 不可否認(rèn)的是，在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)試的需要幾乎壓過(guò)了所有的需要，教師如此，學(xué)生亦是如此.在這樣的氛圍中，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)理解既被重視，又不被重視. 說(shuō)其重視，是停留在理論上的，亦即都知道當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)只憑著海量的試題訓(xùn)練是難以達(dá)到高度理解的境界的，說(shuō)其不重視，是因?yàn)槲覀冏⒁獾皆趯?shí)際教學(xué)中，用得最多的方式仍然是試題的大量呈現(xiàn)，教師的努力重心落在拓展試題的深度與廣度上，至于所需要的數(shù)學(xué)理解，往往是期待學(xué)生的一種自然生成而不是教師有意識(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施.

基于這樣的現(xiàn)實(shí)，筆者以為要打開(kāi)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)理解的突破口，還應(yīng)當(dāng)從新授課開(kāi)始，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建的過(guò)程中就開(kāi)始數(shù)學(xué)理解. 也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)理解的應(yīng)用一般是在試題的解答之中，但數(shù)學(xué)理解的生成過(guò)程卻應(yīng)當(dāng)是在數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建之時(shí).

對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)理解的理解

毋庸置疑，數(shù)學(xué)理解是數(shù)學(xué)自身的一種固有品質(zhì)，翻開(kāi)數(shù)學(xué)史可以發(fā)現(xiàn)幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)都是充滿著數(shù)學(xué)理解的智慧的. 在日常數(shù)學(xué)教學(xué)研討中，會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)理解也是一個(gè)比較熱門的詞語(yǔ)，可以說(shuō)只要是數(shù)學(xué)教學(xué)研討活動(dòng)，幾乎言必稱理解. 但只要仔細(xì)分析便可以發(fā)現(xiàn)，日常教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)理解的理解是極為經(jīng)驗(yàn)化的，每個(gè)數(shù)學(xué)教師幾乎都是基于自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)去對(duì)數(shù)學(xué)理解做出自己的理解與判斷，這很可貴，因?yàn)槟軌驅(qū)⒁粋€(gè)相對(duì)較新的數(shù)學(xué)概念與自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)結(jié)合起來(lái)，這本身就是一種教學(xué)研究的好習(xí)慣. 但也不可忽視的是，這種經(jīng)驗(yàn)性的理解方式常常會(huì)讓教師對(duì)一個(gè)新概念的理解變得狹隘. 譬如數(shù)學(xué)理解，不少人就認(rèn)為是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，促進(jìn)學(xué)生去理解數(shù)學(xué)概念與規(guī)律——言下之意是不能只是生硬記憶.

而事實(shí)上數(shù)學(xué)理解有著自身的內(nèi)涵與外延，作為指導(dǎo)日常教學(xué)的一個(gè)基本的、重要的概念，如果能夠在結(jié)合經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行理解之前，先熟悉其學(xué)術(shù)定義與理解，可能更好. 筆者查閱了相關(guān)的資料并進(jìn)行了總結(jié)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)前對(duì)數(shù)學(xué)理解的理解一般分為三個(gè)層次：一是學(xué)習(xí)心理層面的理解，即認(rèn)為數(shù)學(xué)理解就是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，將新的規(guī)則與技能與自身原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生聯(lián)系，能夠讓新的知識(shí)建立在原有知識(shí)結(jié)構(gòu)上，這便形成了數(shù)學(xué)理解;二是數(shù)學(xué)層面的理解，即數(shù)學(xué)理解應(yīng)當(dāng)是學(xué)生在經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之后，能夠以數(shù)學(xué)的眼光去看待、研究身邊的事物（即不是根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)去判斷，也不是人云亦云），這便是數(shù)學(xué)理解;三是教學(xué)層面的理解，即教師要為學(xué)生的數(shù)學(xué)理解而教，而學(xué)生要為自身的數(shù)學(xué)理解而學(xué)，也就是說(shuō)無(wú)論是教者還是學(xué)者，都要意識(shí)到自己的教學(xué)對(duì)象不是抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，而是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu).

高中數(shù)學(xué)尤其是我國(guó)的高中數(shù)學(xué)以容量大、難度高、抽象性強(qiáng)著稱，因此對(duì)于當(dāng)前高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，以上三種理解其實(shí)只是側(cè)重點(diǎn)不同，實(shí)際教學(xué)中關(guān)鍵在于將三種理解融合起來(lái).比如說(shuō)在筆者看來(lái)，這三個(gè)層次的理解其實(shí)都是指向?qū)W生的，數(shù)學(xué)理解必須符合學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律，教師和學(xué)生都為理解而教與學(xué)，而最終的目的應(yīng)當(dāng)是讓學(xué)生擁有一個(gè)數(shù)學(xué)眼光——這本身就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個(gè)核心組成部分.

對(duì)數(shù)學(xué)理解有了這樣的理解，那在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)中就有了一個(gè)關(guān)注自身教學(xué)的“利器”，可以用其來(lái)解剖、分析自身的教學(xué)，從而讓自己的教學(xué)變得更能讓學(xué)生理解.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)理解實(shí)例分析

筆者以為，像筆者這樣的普通教師在課堂上一定遇到過(guò)困惑，更多的時(shí)候還是遇到困惑卻尋找不到有益的解決途徑. 而需要注意的是，教師自身的專業(yè)成長(zhǎng)往往就發(fā)生在困惑得到解決的時(shí)候. 筆者曾經(jīng)對(duì)一個(gè)教學(xué)實(shí)例的印象頗深，這個(gè)實(shí)例就是“函數(shù)單調(diào)性”的教學(xué).

本來(lái)這是一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)，教學(xué)中有時(shí)都不會(huì)予以太多的關(guān)注，但那節(jié)課偏偏就讓人印象深刻. 首先，函數(shù)單調(diào)性的定義是簡(jiǎn)單的，自然不必多說(shuō)，但當(dāng)教師呈現(xiàn)了一道例題之后，學(xué)生的反應(yīng)就有些正常當(dāng)中透露著不正常.這道習(xí)題是這樣的：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-3，3]，當(dāng)x1=-3，x2=3時(shí)，有f（x1）<f（x2）成立，則f（x）在該區(qū)間上是否為增函數(shù)？

至少有一半的學(xué)生的第一反應(yīng)多是“增函數(shù)”，因?yàn)樵谒麄兛磥?lái)一個(gè)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的f（x）值已經(jīng)有了大小關(guān)系，但自然就是增函數(shù)了. 但這也只是第一反應(yīng)，當(dāng)教師遲疑了一會(huì)兒之后，這些學(xué)生就開(kāi)始了反思（這是一種非常常見(jiàn)但不太好的現(xiàn)象，因?yàn)閷W(xué)生的反應(yīng)此時(shí)總是建立在教師的反應(yīng)基礎(chǔ)之上的，恰恰說(shuō)明了他們的學(xué)習(xí)有一種依賴心理），結(jié)果有學(xué)生提出：不一定是增函數(shù)，因?yàn)椴恢谰唧w的f（x）圖象是什么樣子. 學(xué)生的思維一旦鎖定在圖象上，那本題就近乎無(wú)解了，因?yàn)閒（x）的解析式根本就沒(méi)有提供. 于是筆者提醒學(xué)生：從函數(shù)單調(diào)性的定義上去尋找突破點(diǎn)，也只有少數(shù)學(xué)生注意到定義當(dāng)中的“任意”兩字，但仍然尋找不到具體的解決方法. 直到最后有一兩個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生提出尋找反例的方法，比如y=2x2之類的圖象等，當(dāng)這些圖象被畫出來(lái)之后，學(xué)生才算是接受了當(dāng)初的答案.

之所以對(duì)這個(gè)例子印象深刻，是因?yàn)樵趦纱蔚慕虒W(xué)中學(xué)生的反應(yīng)都是類似的，且當(dāng)時(shí)并沒(méi)有尋找到行之有效的解決方法，還因?yàn)樵谝淮谓虒W(xué)觀摩中也看到上課教師遇到了與筆者類似的情況，而對(duì)該課的判斷同樣也是分成截然不同的兩種觀點(diǎn).

基于經(jīng)驗(yàn)并進(jìn)而對(duì)學(xué)生的反應(yīng)做出的教學(xué)改進(jìn)措施可能就是重復(fù)，我們應(yīng)基于數(shù)學(xué)理解并去提出教學(xué)的改進(jìn)措施，這就提醒筆者去分析學(xué)生在學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性定義并看到了例題之后，學(xué)生在想什么. 因此在后一次的教學(xué)中，筆者就有意識(shí)地詢問(wèn)學(xué)生是怎么想的，結(jié)果學(xué)生的回答出乎意料，有學(xué)生說(shuō)：?jiǎn)握{(diào)增就意味著當(dāng)x1>x2時(shí)，f（x1）>f（x2），那么對(duì)于一個(gè)沒(méi)有給出明確的解析式的函數(shù)來(lái)說(shuō)，判斷就無(wú)法下手了;也有學(xué)生說(shuō)：?jiǎn)握{(diào)增是需要嚴(yán)格證明的，沒(méi)有推理只憑尋找例子怎么有說(shuō)服力呢……根據(jù)學(xué)生的這些反應(yīng)，筆者判斷他們?cè)谟龅竭@類問(wèn)題時(shí)，思維里只有抽象的函數(shù)解析式，只有基于邏輯的推理，這本來(lái)是好的，但過(guò)于強(qiáng)調(diào)或囿于此中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就機(jī)械了，就談不上數(shù)學(xué)理解了. 于是筆者的努力方向就是：開(kāi)拓學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，讓他們認(rèn)識(shí)到判斷函數(shù)的單調(diào)性，嚴(yán)密推理是一種方法，而提出例證也是一種方法.更重要的是，提出例證的過(guò)程其實(shí)就是將學(xué)生記憶中已有的數(shù)學(xué)知識(shí)提取出來(lái)，用于輔助新知識(shí)學(xué)習(xí)的過(guò)程，這正是學(xué)習(xí)心理角度的數(shù)學(xué)理解！

有了這一基于數(shù)學(xué)理解的思路，教學(xué)的思路也就清晰了：讓學(xué)生從已有知識(shí)中提取典型的函數(shù)圖象，并將之與題目所給出的條件相對(duì)應(yīng)，結(jié)果就會(huì)自然呈現(xiàn). 有意思的是，在這一思路的作用下，學(xué)生的思維非常活躍，能夠提取出來(lái)的例子很多不說(shuō)，學(xué)生還能從自己理解的角度出發(fā)，用自己的語(yǔ)言去豐富對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解，學(xué)生當(dāng)眾表達(dá)時(shí)頗有一種不說(shuō)服其他同學(xué)不罷休的氣勢(shì).

■對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)理解的反思

其實(shí)類似于上述例子的教學(xué)實(shí)例在筆者的實(shí)踐當(dāng)中還真不算少，在其中的一個(gè)重要的感受就是學(xué)習(xí)過(guò)程變得自然很多，這就促使筆者去反思為什么基于數(shù)學(xué)理解的教學(xué)能夠達(dá)到這樣的效果. 反思的結(jié)果表明：

其一，數(shù)學(xué)理解能夠?yàn)閷W(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)打好基礎(chǔ). 通常我們都以為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是以已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)的，這從邏輯上講不錯(cuò)，但卻不一定符合學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律. 學(xué)生進(jìn)入高中以后，積累的數(shù)學(xué)知識(shí)非常多，形成的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法也比較豐富，這些知識(shí)與方法能不能及時(shí)提取出來(lái)，才是真正影響學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的關(guān)鍵要素. 而基于數(shù)學(xué)理解的教學(xué)卻會(huì)讓教師和學(xué)生關(guān)注這一點(diǎn)，即要促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)理解，必須尋找出能夠?qū)⑿轮R(shí)與舊知識(shí)聯(lián)系在一起的紐帶，這是數(shù)學(xué)理解的基本特征.

其二，數(shù)學(xué)理解的學(xué)習(xí)過(guò)程中，一定會(huì)存在一個(gè)“個(gè)性化”的過(guò)程，即面對(duì)一個(gè)新的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生總有一個(gè)用自己的語(yǔ)言去描述對(duì)新知識(shí)理解的過(guò)程. 這個(gè)過(guò)程是判斷學(xué)生數(shù)學(xué)理解是否存在的重要標(biāo)志，有了學(xué)生自己的語(yǔ)言（哪怕很生硬），也說(shuō)明學(xué)生在努力用舊知解釋新知，如果沒(méi)有或者學(xué)生只是機(jī)械地重復(fù)課本上的說(shuō)法，那種學(xué)習(xí)反而是危險(xiǎn)的，反而是沒(méi)有數(shù)學(xué)理解的.

總的來(lái)說(shuō)，基于數(shù)學(xué)理解的高中數(shù)學(xué)教學(xué)有助于促進(jìn)教學(xué)效益的進(jìn)一步提高，是有效教學(xué)實(shí)現(xiàn)的重要基礎(chǔ).