艾華升

摘 ?要：課堂教學研究的成果對課堂教學提出了新的要求，小專題探索教學是課堂教學的一種好形式.本文以向量的數(shù)量積為例，介紹小專題教學設計.

關鍵詞：課堂教學理論;小專題教學設計;向量的數(shù)量積;小組討論;合作探究

近年來，課堂教學研究取得了令人矚目的成就，新的教學理念已深入人心.就本人所知，中學數(shù)學教育界至少達成了如下共識：

1. 課堂教學不僅是一個傳授知識的過程，而且是一個促進人全面發(fā)展的過程，體現(xiàn)在教學的三維目標設計.

2. 課堂教學不僅是一個告訴學生科學結論的過程，而且是一個培養(yǎng)學生思維能力的過程，培養(yǎng)學生探索精神、探究能力和創(chuàng)新意識的過程.

3.？搖 要培養(yǎng)學生動手操作能力、實踐能力.

4. 教學要鼓勵學生相互交流、合作學習.

還有一條可能是大家都不說，但心知肚明的：要讓學生考試得高分.

新的教學理念對教學模式提出了新的要求，然而，“最好的學習動機莫過于對于學科本身的內在興趣和由于發(fā)現(xiàn)所產生的興奮感和自信心”. 教學模式必須關注教學材料的組織. 下面以向量的數(shù)量積為例，談高中數(shù)學的小專題設計.

閱讀教材

教師備課，先要閱讀教材. 人教版《高中數(shù)學必修四》關于“平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義（前一部分）”包含下面的內容.

1. 物體在力F的作用下，產生的位移s所做的功W=Fscosθ.

2. 非零向量a與b的數(shù)量積a·b=a·bcosθ.

3. 零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

4. 向量a在向量b方向上的投影acosθ= .

5. 設向量a與向量b是非零向量，要求學生探究的三個結論：

（1）a⊥b？圳a·b=0;

（2）當a與b同向時，a·b=ab;當a與b反向時，a·b=-ab;特別地，a·a=a2.

（3）a·b≤ab.

6. 用定義求數(shù)量積的一個例子.

7. 相關的練習有三道：

（1）用定義求數(shù)量積的練習

（2）向量數(shù)量積與三角形的形狀.

（3）畫出一個向量在另一個向量方向上的投影并計算其值.

明確主題，解析教學目標

專題教學是相對綜合性強的課堂而言的，反對傳統(tǒng)課堂上教學內容的“雜”.這里強調專題要小，是因為這里只談一節(jié)課的教學內容，關注的是課堂的教學設計.

本課的主題是什么？本課的主題是兩個向量的數(shù)量積的定義：非零向量a與b的數(shù)量積a·b=abcosθ. 主題即專題，本節(jié)課我們按這個專題來設計. 教材中零向量的數(shù)量積作為特殊的規(guī)定，需要附帶說明.

物體在力的作用下做功，是新概念的背景，按數(shù)學教學的說法，是引入概念的“情境”. 教材中，向量a在向量b方向上的投影的背景是力在物體運動方向上的分力，練習中又有要求，因此，在數(shù)量積的概念教學中要恰當?shù)厍度脒@個“契子”.

向量的數(shù)量積運算，三角形、正方形、長方體都是好的載體. 這里有一個要求學生正確判斷兩個向量的夾角的問題. 三個結論是讓學生探究的，其中有的結論在后面的學習中充當“公式”，教學中應引起重視.

熟練地進行數(shù)量積的運算，是教學過程中自始至終的教學目標.

教學過程設計

（一）引入問題

已知兩個向量a，b，如圖1.

我們學會了求它們的和與差a+b，a-b（圖2）.

數(shù)學家們需要進一步關心的是a·b=？

（學生發(fā)表一下意見，可能不得要領）

（二）問題解決

1. 物理學家所做的工作

提問：小車在大小為300牛的力F作用下，產生大小為2m的位移s，若F、s的夾角是60°.

（1）求力F在s方向上的分力;

（2）求力F所做的功.

圖3

（答案：（1）Fcosθ=300× =150牛，（2）W=FScosθ=300×2× =300J）

說明：指出分力，原因是為后面“b在a的方向上的投影”做鋪墊.

2. 數(shù)學家的定義

已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量abcosθ叫做向量a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b=abcosθ. 其中θ是a與b的夾角.

用幾何畫板作下圖（圖4），并用度量工具、計算工具求出兩向量的數(shù)量積.

圖4

設計意圖：上面的操作讓學生理解到，求兩個向量的數(shù)量積，先要求兩個向量的長度與夾角.

3. 關于數(shù)量積的兩個問題

（1）上面的定義沒有給出兩個向量中，一個是零向量或者兩個都是零向量，它們的數(shù)量積的意義，怎么規(guī)定好呢？

預設：學生可能這么討論，這兩個向量的夾角是不確定的，但兩個向量的模至少有一個為零，于是abcosθ=0.

規(guī)定：若a，b至少有一個是零向量，則a·b=0.

（2）在圖1中，你能作出力F在s方向上的分力并指出分力的大小嗎？

預設：學生會作出圖5，指出F在s方向上的分力是 ，它的大小 =F·cosθ.

圖5

在定義式a·b=abcosθ中的bcosθ是一個實數(shù)，它叫向量b在向量a的方向上的投影. 那么也可以說，數(shù)量積a·b就是a的長度與b在a的方向上的投影的乘積.

設計意圖：數(shù)量積概念的形成過程，是物理知識向數(shù)學知識的遷移過程.這里關于投影的教學有利于學生形成類比推理的能力.

（三）深化學習

理解新概念、掌握新概念，最好的方法莫過于做練習. 接著讓學生做下面的練習是合適的.

題組一：設a=3，b=4

1.？搖當向量a，b的夾角為60°時，a·b=？

2.？搖當向量a，b夾角為120°時，a·b=？

3.？搖當向量a，b同向時，a·b=？

4.？搖當向量a，b異向時，a·b=？

5.？搖當向量a，b互相垂直時，a·b=？

6.？搖a·a=？

7.？搖已知a·b=-6 ，a，b的夾角是多少度？

小組討論一：

通過上面的練習，你從中發(fā)現(xiàn)了哪些規(guī)律？

預設：通過小組討論，學生發(fā)現(xiàn)了下面的結論.

（1）在a≠0，b≠0的前提下，當a，b的夾角為銳角時，a·b>0;當a，b夾角為鈍角時，a·b<0. 當a⊥b時，a·b=0.

（2）當a，b同向時，a·b=ab;當a，b異向時，a·b=-ab;a·b≤ab;a·a=a2.

（3）數(shù)量積的定義式常變形為cosθ= ，用來求兩向量的夾角.

設計意圖：得到了向量數(shù)量積的概念，順其自然的工作當然是求向量的數(shù)量積. 上面的練習入手相當容易，學生有“剛學過就會了”的成就感. 習題簡單，但學生通過練習所得到的發(fā)現(xiàn)卻是相當不簡單的. 上面的練習，有利于培養(yǎng)學生的動手操作能力、實踐探索能力;上面的討論，有利于培養(yǎng)學生的抽象概括能力，有利于學生形成合作、交流的學習習慣. 專題教學，不是簡單地把科學結論告訴學生，而是讓學生通過積極主動的探究得出結果. 因而這里的小專題教學也可以說是小專題探究教學.

有的教學設計，給出概念后不是讓學生做簡單練習，而是給出下面這樣虛幻的問題：

“在研究夾角對數(shù)量積結果的影響過程中，有哪個特殊情況最吸引你？”

下面這樣簡單的習題，不是讓學生做，而是作為例題來講解.

“例 （1）已知a=3，b=2，〈a，b〉=20°，求a·b;

（2）已知a=3，b=2，〈a，b〉= ，求a·b;

（3）已知a=3，b在a方向上的正射影的數(shù)量是-2，求a·b.”

顯然，上面的做法錯失了培養(yǎng)學生動手操作能力的良好機會. 所提的問題，以及“正射影”概念的引入又無端地增大了教學的難度.

題組二

1. 在直角三角形ABC中（圖6），C=90°，A=60°，AC=3，AB=6.

求：（1） · ;（2） · .

圖6

2. 如圖7，正三角形ABC的邊長為6.

求：（1） · ;

（2） · ;

（3） · .

圖7

？搖3. 正方形ABCD的邊長為1（圖8），AC是它的一條對角線. ?=a， =b，用a，b表示：

（1）（ · ）· ;

（2） ·（ · ）.

圖8

小組討論二：

1. 已知a·b=0，是否一定有a=0或b=0？

2. 若a·b=a·c，是否一定有b=c？

預設：學生自主做題時，由于不能正確判定兩個向量的夾角出現(xiàn)一些錯誤，但通過互相交流能改正錯誤. 能從第1題、第3題的解答中，對討論的兩個問題做出正確的判斷.

設計意圖：讓學生暴露錯誤，通過互相學習糾正錯誤，是掌握新知的好方法. 在具體例子中尋找反例，是數(shù)學研究的一種重要方法，這里的設計有利于學生掌握這種方法.

“數(shù)”從“形”來，這里又回到“形”去. 從上述三道練習，學生領會到，用定義法求兩向量的數(shù)量積關鍵在于判斷兩個向量的夾角. 本練習能鞏固夾角概念，培養(yǎng)學生觀察能力和探究能力.

題組一求向量的數(shù)量積，題組二還是求向量的數(shù)量積. 有的教學設計給出向量的數(shù)量積的概念后，不是讓學生去求向量的數(shù)量積，而是直接提出下面的問題讓學生去探究.

教師：數(shù)量積與兩個實數(shù)的積有什么異同點？數(shù)量積的結果為數(shù)，與向量的加、減、數(shù)乘有何不同？

學生：①在實數(shù)中，若a≠0，且a·b=0，則b=0;但在數(shù)量積中，若a≠0且a·b=0，不能推出b=0;②實數(shù)a，b，c（b≠0），由a·b=b·c可推出a=c;但a·b=b·c不能推出a=c;③在實數(shù)中，（a·b）·c=a·（b·c），但是（a·b）·c≠a·（b·c）”.

這樣的探究是否真實？很可能只是學生照著課本上的結論說而已. 如果在非重點學校，學生什么都探究不出，最后只能是老師灌輸式地講.

（四）課后作業(yè)（略）

本課自然流暢，無半點做作. 學生在圍繞數(shù)量積的定義練習的過程中，理解新概念、掌握新概念;在學生的交流與反思中，探索規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 通過學習，學生變得更愛數(shù)學，更愛探究與創(chuàng)新.