張　莉（西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637000）

廣義指數(shù)分布在步加試驗中的參數(shù)估計

張莉
（西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637000）

加速壽命試驗中的步加試驗，可有效地提高產(chǎn)品質(zhì)量，且操作簡單.基于Nelson模型，討論廣義指數(shù)分布在步加試驗中的參數(shù)估計問題，利用EM算法給出了參數(shù)估計的顯性表達式，通過數(shù)據(jù)模擬說明了估計方法的有效性和可行性.

廣義指數(shù)分布；分組數(shù)據(jù)；步加試驗；Nelson模型

Zhang L.Parameter Estimation ofGeneralized ExponentialDistribution in the Step-Stress Accelerated Life Tests[J].JournalofYibin University,2015,15（6）：108-112.

加速壽命試驗，是指將受試產(chǎn)品置于非正常應(yīng)力條件下，通過觀察產(chǎn)品的失效情況，從而推斷正常應(yīng)力條件下產(chǎn)品的統(tǒng)計規(guī)律性的一種試驗.加速壽命試驗包括了恒加試驗、步加試驗、序加試驗等，而本文討論的重點就是步加試驗（即將樣品置于高于正常應(yīng)力條件下做的試驗），考慮的產(chǎn)品壽命分布為廣義指數(shù)分布.廣義指數(shù)分布是1999年由Gupta和Kundu[1]提出的，被后人廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域.人們對廣義指數(shù)分布做了許多研究，主要討論常規(guī)壽命試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析方法，研究重點是參數(shù)的點估計，如：文獻[2]利用EM算法給出了廣義指數(shù)分布在分組和右截尾數(shù)據(jù)下的參數(shù)估計；文獻[3]討論了廣義指數(shù)分布的極大似然估計，并得到其漸進分布；文獻[4]利用逆矩法估計廣義指數(shù)分布的未知參數(shù)，并給出了構(gòu)造尺度參數(shù)區(qū)間估計的方法；文獻[5]討論了廣義指數(shù)分布在恒加試驗中的參數(shù)估計.但目前在不完全樣本條件下，討論步加試驗中廣義指數(shù)分布統(tǒng)計特性的文章卻少見.

廣義指數(shù)分布的密度函數(shù)、分布函數(shù)分別是

f（t）=αλ（1-e-λt）α-1e-λt，t≥0F（t）=（1-e-λt）α，t≥0

其中，α＞0稱為模型的形狀參數(shù)，λ＞0稱為模型的尺度參數(shù).當(dāng)形狀參數(shù)α=1時，模型即為一般的指數(shù)分布模型.

1　基本假定

假設(shè) S0為正常應(yīng)力條件下的應(yīng)力水平，S1,S2,...,Sk為非正常條件下的應(yīng)力水平，并滿足S0＜S1＜S2＜...＜Sk.現(xiàn)將n個相互獨立的元件在t1,0時刻投入到加速應(yīng)力水平S1下做壽命試驗，到t1,m1時刻為止共有R1個失效，同時將應(yīng)力水平上升到S2，余下的未失效元件在S2下繼續(xù)做試驗，到t2,m2時觀測到有R2個失效，并將應(yīng)力提高到S3,…這樣繼續(xù)做下去，直到在應(yīng)力水平Sk下的時刻tk,mk，才停止整個試驗，此時有Rk個元件失效.記

t0=t1,0=0,tk=tk,mk,ti=ti,m i=ti+1,0,i=1,2,…,k-1

假設(shè)在Si下（i=1,…,k）觀察時刻為ti,0,ti,1,…,ti,mi

2　參數(shù)估計

引理1[6]不同應(yīng)力水平Si,Sj下產(chǎn)品的失效機理與正常應(yīng)力水平S0下的失效機理相同，反應(yīng)在分布參數(shù)上即形狀參數(shù)α不隨應(yīng)力水平變化而變化.

引理2（Nelson模型）[6]產(chǎn)品的參與壽命僅依賴于當(dāng)時的累積失效部分和當(dāng)時的應(yīng)力水平，而與累積方式無關(guān).即在應(yīng)力水平Si下工作ti時間的累積失效率FSi（ti）相當(dāng)于該產(chǎn)品在應(yīng)力水平Sj下工作tj時間的累積失效率FSj（tj），即：FS1（t1）=FSj（tj），i,j=1,2,…,k.

有效力矩型螺紋緊固件(圖4)俗稱“自鎖螺栓和自鎖螺母”，它通過在緊固件和配對物間形成螺紋接合面來防止緊固件松動。

定理1根據(jù)基本假定，參數(shù)的極大似然估計可以由隱性表達式

求解.

證明：為求參數(shù)估計，先做其對數(shù)似然函數(shù)

為求各參數(shù)的估計值，將對數(shù)似然函數(shù)關(guān)于各參數(shù)求偏導(dǎo)并令其等于零，得到表達式（1）、（2）.

（1）、（2）式是含有各參數(shù)的隱性表達式，但形式復(fù)雜，若要得到各參數(shù)的估計值，一般只能用數(shù)值迭代獲得近似解.為得到參數(shù)的顯性表達式，且保證精確性，考慮EM算法.

3　EM算法

定理2根據(jù)基本假定，參數(shù)估計值的顯性表達式為：

證明：設(shè)n個產(chǎn)品的壽命X1,X2,…,Xn獨立同分布于廣義指數(shù)分布，記X=（X1,X2,…,Xn），X是不可觀測的，能觀測到的是Y=（r1,1,r1,2,…,r1,m1；…；rk,1,rk,2,…,rk,mk；n-R），它們一起構(gòu)成了完全數(shù)據(jù)Z=（X,Y）.為了應(yīng)用EM算法，再引入隨機變量Xih，Xw，它們分別表示落入?yún)^(qū)間（ti,j-1,ti,j]和（tk,+∞）的產(chǎn)品壽命.

下面根據(jù)EM算法中的E步和M步來獲得參數(shù)的極大似然估計.

由于X的信息包含了觀測結(jié)果Y所有的信息，于是有

p（α,λ|X,Y）=p（α,λ|X）

其中λ=（λ1,λ2,…,λk）.

由廣義指數(shù)分布的密度函數(shù)可以得到

E步：給定參數(shù)的第n步估計α（n），λ（n），則第n+1步的Q函數(shù)為

當(dāng)ti,j-1＜X≤ti,j（i=1,2,…,k）時，X的條件密度函數(shù)為

當(dāng)X＞tk時，X的條件密度函數(shù)為

則

M步：極大化Q函數(shù)的參數(shù)α,λ的第n+1步估計α（n+1），λ（n+1），即將Q（α,λ|α（n）,λ（n）,Y）分別對參數(shù)α、λ求導(dǎo)，并令其等于零，得到Q（α,λ|α（n）,λ（n）,Y）的極大值點α（n+1）、λ（n+1）.

經(jīng)過整理，得到

這樣就完成了一次迭代（α（n）,λ（n））→（α（n+1）,λ（n+1）），重復(fù)上述步驟直到（α,λ）收斂為止.

4　數(shù)據(jù)模擬

運用Monte Carlo方法產(chǎn)生在簡單步加試驗下服從廣義指數(shù)分布的隨機數(shù)，其參數(shù)真值記作α=2,λ1=0.5,λ2=1.選擇樣本量為 n=1000的模擬，產(chǎn)生1 000次隨機數(shù)，觀測時刻設(shè)為 t1,1=5, t1,2=10,t2,1=15,t2,2=20.通過有限次迭代和數(shù)據(jù)整理后，得到表1的結(jié)果.

表1　隨機數(shù)的迭代結(jié)果

由表1可見，參數(shù)估計值與真值非常接近，且相對誤差很小，這說明估計的精度較好，方法行之有效.

[1]Gupta RD,Kundu D.Generalized exponengtialdistribution[J].Australian and New Zealand Journalofstatistics,1999,41（2）：173-188.

[2]田玉柱,田茂再,陳平.數(shù)據(jù)分組和右截尾數(shù)據(jù)情形下廣義指數(shù)分布的參數(shù)估計及應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)進展,2012,6（12）：755-762.

[3]沈作斌.廣義指數(shù)分布下區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的參數(shù)估計[J].教育教學(xué),2010（2）：20.

[4]唐玉娜,施瑞,王炳興.廣義指數(shù)分布的統(tǒng)計推斷[J].統(tǒng)計與決策,2008（17）：18-19.

[5]張莉.廣義指數(shù)分布在恒加試驗中的參數(shù)估計[J].內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報,2013（12）：4-7.

[6]唐玉娜.廣義指數(shù)分布基于加速壽命試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析[D].杭州：浙江工商大學(xué),2008.

（編校：許潔）

Parameter Estimation of Generalized Exponential Distribution in the Step-Stress Accelerated Life Tests

ZHANG Li
（DepartmentofMath and Information,ChinaWestNormalUniversity,Nanchong,Sichuan 637000,China）

The step-stressaccelerated life tests can improve thequality of productsand have the advantagesof simple op?eration.The parameter estimation of generalized exponential distribution in the step-stress accelerated life testswas dis?cussed based on Nelsonmodel.The two-parameter concrete expressionswere given by using EM algorithm.The estima?tionmethodwasproved rightby takingadvantageofMonte Carlo stimulation.

generalized exponentialdistribution；grouped data；the step-stressaccelerated life tests；Nelsonmodel

O213

A

1671-5365（2015）06-00108-05

2014-09-25修回：2014-09-30

西華師范大學(xué)科研啟動基金（08b025）

張莉（1982－），女，講師，碩士，研究方向為概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用、產(chǎn)品的可靠性試驗

網(wǎng)絡(luò)出版時間：2014-10-15 13：00網(wǎng)絡(luò)出版地址：http：//www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20141015.1530.005.htm l

引用格式：張莉.廣義指數(shù)分布在步加試驗中的參數(shù)估計[J].宜賓學(xué)院學(xué)報,2015,15（6）：108-112.