蹇煥燕，付秋菊，張正亮（宜賓學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，四川宜賓644007）

推廣的Cantor函數(shù)的性質(zhì)

蹇煥燕，付秋菊，張正亮
（宜賓學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，四川宜賓644007）

通過分析推廣的Cantor函數(shù)的取值特點，討論這類特殊函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性，得出這個特殊函數(shù)不可導(dǎo)點構(gòu)成[0,1]上的類似于Cantor集的集合.

值域；連續(xù)性；可積性；可導(dǎo)性；Cantor函數(shù)

Jian HY,Fu QJ,Zhang ZL.Propertiesof Extended Cantor Function[J].Journal of Yibin University,2015,15（6）：121-124.

數(shù)學(xué)分析[1]討論的是函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性等微觀與局部性質(zhì)，這些函數(shù)包括初等函數(shù)以及一些特殊函數(shù)，如隱函數(shù)（組）、積分函數(shù)、級數(shù)函數(shù)、極限函數(shù)等.對于由微分形式構(gòu)成的函數(shù)方程在文獻(xiàn)[2]中已考慮其可解性與解法，其它形式的函數(shù)方程散見于一些習(xí)題參考書[3].Cantor函數(shù)[4-5]是用其某些性質(zhì)來定義的一類特殊函數(shù)，本文主要討論由如下形式的函數(shù)方程確定的函數(shù)，它是Cantor函數(shù)的推廣.設(shè) f（x）是定義在[0,1]上的函數(shù)，且滿足以下條件：

首先分析了函數(shù)的取值特點，并通過該特點證明當(dāng)b=2,a＞2時，函數(shù) f（x）在[0,1]上的一致連續(xù)性，用兩種方法計算出該函數(shù)在[0,1]上的定積分，并用迫斂的方法證明了 f（x）在[0,1]上的一些特殊點不可導(dǎo)，這些不可導(dǎo)點構(gòu)成的是一個類似于Can? tor集的集合，Cantor集的構(gòu)造方法見文獻(xiàn)[6].

1　b=2、a＞2的情形

1.1函數(shù)取值情況

為了方便，本文采用集合論中類似于Cantor集的構(gòu)造方法，先對定義域 [0,1]進(jìn)行分割，記E

再將E1*的兩個區(qū)間分別分為3個小區(qū)間，即：

令

按此方法繼續(xù)下去，得到一系列小區(qū)間Ek、和Eki（k=1,2,…；i=1,2,…2k-1），這些Ek和滿足以下特點：

由（1）（2）知 f（0）=0,f（1）=1,在（1）（2）中令可得，再由 f（x）在[0,1]上單增得：

再由（1）得：

又由 f（x）在[0,1]上單增得出：

可得：

再由（1）得：

再由 f（x）在[0,1]上單增得：

1.2連續(xù)性與一致連續(xù)性

定理1f（x）在閉區(qū)間[0,1]一致連續(xù)，進(jìn)而連續(xù).

這表明 f（x）在閉區(qū)間[0,1]上一致連續(xù)，進(jìn)而f（x）在[0,1]上連續(xù).

1.3可積性

證明：由 f（x）在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)可得可積性.可積性也可由 f（x）在[0,1]上單增直接得出.

可用以下兩種方法求 f（x）在[0,1]上的定積分.

方法一：換元法.

設(shè)：

又令x=1-t可得：

由（4）+（5）得：

方法二：測度論的方法.

按上述定義域[0,1]的分法，f（x）在[0,1]上的積分就等于E11,E21,E22,E31,E32,E33,E34…等無窮多個區(qū)間所對應(yīng)的小矩形面積之和.

1.4可微性

證明：由 f（x）+f（1-x）=1、bf（x）=f（ax）可知，只需證明 f（x）在x=0處右導(dǎo)數(shù)不存在，則 f（x）在x=1處左導(dǎo)數(shù)不存在，進(jìn)而在處左導(dǎo)數(shù)不存在，從而在處右導(dǎo)數(shù)不存在，由此可得：f（x）在…處不可導(dǎo)，而易知在其他點導(dǎo)數(shù)是存在的，且為0.

下證 f（x）在x=0處右導(dǎo)數(shù)不存在.

因為：

另外：

又：

由夾逼定理得：

所以 f（x）在x=0處右導(dǎo)數(shù)不存在.

說明：當(dāng)a=3時，不可導(dǎo)點的集合構(gòu)成Cantor集，從而得出了 f（x）的不可導(dǎo)點構(gòu)成的集合E具有Cantor集的性質(zhì)[7]：

性質(zhì)1：E是完備的非空有界疏朗閉集.

性質(zhì)2：E是零測集，從而為可測集.

性質(zhì)3：E的基數(shù)為Eˉ=C.

2　b≠2、a＞b的情形

對于b≠2的情形，由（3）得：f（x）在[0,1]上可積，但它的連續(xù)性和可微性又怎么樣呢？

綜上，當(dāng)b≠2,a＞b時，f（x）在[0,1]上的連續(xù)性取決于 f（x）在是否連續(xù)，所以該函數(shù)在[0,1]上可能連續(xù)，也可能不連續(xù).

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社, 2001.

[2]王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程[M].第三版.北京：高等教育出版社,1978.

[3]李文榮，張全信.函數(shù)方程與微分方程的解析解[J].北京：科學(xué)出版社,2008.

[4]Fleron,JF.A note on the history of the Cantor setand Cantor func?tion[J].Math Mag,1994（67）：136-140.

[5]楊曉玲.廣義的Cantor函數(shù)的解析表示[J].云南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）,2001，23（6）：417-421.

[6]陳其襄,張奠宙,魏國強(qiáng),等.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].第三版.北京：高等教育出版社,2003.

[7]周民強(qiáng).實變函數(shù)論[M].北京：北京大學(xué)出版社,2001.

（編校：許潔）

Propertiesof Extended Cantor Function

JIANHuanyan,FUQiuju,ZHANGZhengliang
（CollegeofMathematics,Yinbin University,Yibin,Sichuan 644007,China）

The continuity,differentiability,integrability of extended Cantor function were discussed by characters of val?ues.The results show that the setofnon-differentiable points isa Cantor-like setin[0,1].

valueof function；continuity；differentiability；integrability；Cantor function

O174.1

A

1671-5365（2015）06-00121-04

2015-04-10修回：2015-04-27

2013年大學(xué)生課外科技活動項目“一類特殊函數(shù)的性態(tài)”（2013X113）；2013校級本科教學(xué)工程項目“基于競賽、考研的問題探究式教學(xué)改革”（宜學(xué)校教〔2013〕291號）

蹇煥燕（1993-），女，本科生，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)

張正亮（1973-），男，副教授，碩士，研究方向為泛函分析

網(wǎng)絡(luò)出版時間：2015-04-27 17：18網(wǎng)絡(luò)出版地址：http：//www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20150427.1718.001.html

引用格式：蹇煥燕，付秋菊，張正亮.推廣的Cantor函數(shù)的性質(zhì)[J].宜賓學(xué)院學(xué)報,2015,15（6）：121-124.