戴磊

對(duì)于數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，正確答案固然令人欣喜，但一些錯(cuò)誤的回答也有價(jià)值可尋。通過(guò)反思，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤本身就是一種資源、一種折射、一種提醒。

例如：“把3塊餅平均分給5個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分得3塊餅的（—），是1塊餅的（—），是（ ?）塊餅?！边@是蘇教版（下同）數(shù)學(xué)五年級(jí)下學(xué)期學(xué)校數(shù)學(xué)期中調(diào)研卷中的一道填空題，側(cè)重考查的知識(shí)點(diǎn)是分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。錯(cuò)誤率非常高，而且學(xué)生的錯(cuò)誤五花八門。我們尋找學(xué)生錯(cuò)誤的原因，而原因最終都指向?qū)χR(shí)點(diǎn)的不完全理解。

這類典型題歷來(lái)都是五年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)的一個(gè)關(guān)卡。盡管一些有經(jīng)驗(yàn)的老師知曉學(xué)生常見的錯(cuò)誤原因，會(huì)小心翼翼地處理好這部分內(nèi)容的教學(xué)，可經(jīng)過(guò)一段時(shí)間消化后，仍然會(huì)有不少學(xué)生踩中“地雷”，收效不盡如人意。這使得筆者開始重新審視這部分內(nèi)容的學(xué)與練。

一、教后反思的深入化

回顧教材，在三年級(jí)兩次分?jǐn)?shù)教學(xué)的基礎(chǔ)上，由五年級(jí)下冊(cè)漸進(jìn)，小學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)才開始逐步完善起來(lái)，形成三級(jí)臺(tái)階。第一級(jí)是建立分?jǐn)?shù)的概念，理解分?jǐn)?shù)的意義，例1至例3基本是完成這一級(jí)的學(xué)習(xí)。第二級(jí)是建立分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系，用分?jǐn)?shù)表示除法的商，用分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系，把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，例4至例9是這一級(jí)的學(xué)習(xí)。第三級(jí)是建立分?jǐn)?shù)和比的聯(lián)系，將在六年級(jí)分?jǐn)?shù)除法里完成。

而上述題目橫跨第一、二級(jí)臺(tái)階，其原型可追溯至教材例6。

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圖1

在教學(xué)時(shí)，為了降低坡度，通常會(huì)增加一道準(zhǔn)備題：“8塊、4塊、1塊餅平均分給4個(gè)小朋友，每人分得多少塊？”從整數(shù)除法帶出商是分?jǐn)?shù)的除法，并通過(guò)平均分一塊餅的操作得出每人分得■塊餅。

在準(zhǔn)備題的基礎(chǔ)上，繼續(xù)突出例6平均分的問(wèn)題用除法計(jì)算從而列出除法算式，仍然通過(guò)分餅的操作得到除法的商。

然后把3塊餅平均分給4個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)推廣到把3塊餅平均分給5個(gè)人，引出分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。

從中可以看出，例6的教學(xué)中是用分?jǐn)?shù)的意義尋找結(jié)果，教學(xué)完后則可以用分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系解決。分餅看似簡(jiǎn)單，由8塊、4塊到1塊，再到3塊，卻是一個(gè)由整數(shù)到分?jǐn)?shù)，越來(lái)越抽象的過(guò)程。

小學(xué)生的思維特點(diǎn)是正以具體形象思維為主要形式逐步過(guò)渡到以抽象思維為主要形式。這種抽象邏輯思維在很大程度上仍然是直接與感性經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的，仍然具有很大成分的具體形象性。以圓片代替餅，讓學(xué)生經(jīng)歷分、剪、拼的動(dòng)手操作，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在“做”的過(guò)程和“思考”的過(guò)程中得到積淀，學(xué)生理解起來(lái)容易多了。這種理解的直觀性、即時(shí)性、鮮活性很強(qiáng)，一些學(xué)生表面上看可能會(huì)接受得較快，可稍后的作業(yè)出現(xiàn)眾多錯(cuò)誤反彈的現(xiàn)象。如何來(lái)鞏固？

經(jīng)驗(yàn)表明，學(xué)生的智力發(fā)展很大程度上取決于由形象思維向概念思維過(guò)渡，需要多長(zhǎng)時(shí)間和經(jīng)歷怎樣的步驟。越是抽象性的東西，對(duì)形象性的依賴越大。一旦迅速遠(yuǎn)離幾何直觀，有些學(xué)生的理解就開始變得零碎，甚至歸零。學(xué)困生尤其如此。這是沒有真正學(xué)會(huì)由具體思維過(guò)渡到抽象思維的一種表現(xiàn)，是形象思維和概念思維脫節(jié)的一種后果。

二、思維方式的開放化

實(shí)物（模擬物）—圖像（圖形）—表象—抽象，是比較具體的學(xué)生由形象思維過(guò)渡到抽象思維的四重奏。實(shí)物（模擬物）的動(dòng)手操作由于受客觀條件的限制，不可能隨時(shí)隨地進(jìn)行，需要一種能起到同樣作用的輔助手段——利用圖形描述和分析問(wèn)題，借助這種幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。數(shù)學(xué)中解應(yīng)用題時(shí)經(jīng)常會(huì)借助于畫圖尤其是線段圖，以圖形的方式將題目中的關(guān)系表現(xiàn)出來(lái)。

通過(guò)畫圖，學(xué)生對(duì)所獲得的結(jié)論（知識(shí)）是確信的，這種信任是一種積極的情緒。這種積極的情緒越強(qiáng)烈，學(xué)生對(duì)知識(shí)越有信任感，這就是知識(shí)即信念的含義。當(dāng)知識(shí)沒有變成信念，就意味著他對(duì)知識(shí)不信任，知識(shí)就是外在于他的詞語(yǔ)而已。而學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解越深刻，運(yùn)用越深入，知識(shí)越會(huì)成為他的信念。這就解釋了“有老師一直告訴學(xué)生如果問(wèn)題沒有單位名稱要用單位1，有單位名稱就用數(shù)，而一些學(xué)生依然不能學(xué)以致用”的原因。

如果不采取這種方式，一些學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生未必能學(xué)會(huì)解題和思考習(xí)題的條件。即便如此，他們中有的學(xué)生甚至還不會(huì)把習(xí)題的條件用圖形畫出來(lái)。因?yàn)樗麄儾粌H不會(huì)抽象地思維，而且也不會(huì)用“形式、聲音、色彩和感覺”來(lái)思維。對(duì)于這類學(xué)生，“應(yīng)當(dāng)先教會(huì)他們形象思維，然后再逐漸轉(zhuǎn)向抽象思維”較為明智。

比如類似的判斷題，2米的■和1米的■相等。輔以畫圖，用直條（長(zhǎng)方形）表示，一目了然。這句話是正確的。

■

圖2

圖像基礎(chǔ)上的表象，在心理學(xué)中，是指過(guò)去感知過(guò)的事物形象在頭腦中再現(xiàn)的過(guò)程。運(yùn)用表象，上述畫圖解答習(xí)題的過(guò)程可以不用筆在紙上呈現(xiàn)，而在腦中默然完成。

為適合不同層次學(xué)生學(xué)習(xí)的“最近發(fā)展區(qū)”，根據(jù)學(xué)生自身的需要提出彈性化的要求是合理的。其中的優(yōu)化，需要我們準(zhǔn)確判斷學(xué)生的思維處于怎樣的程度，然后決定在新授或練習(xí)時(shí)，是更直觀一些，還是更抽象一些。對(duì)于學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，需要降低難度，更形象一些以便于理解和向抽象過(guò)渡;對(duì)優(yōu)秀生，可以提高標(biāo)準(zhǔn)，更抽象一些以便于從更高層面上把握。

三、練習(xí)設(shè)計(jì)的合理化

鑒于能開放學(xué)生的思維方式，那么在設(shè)計(jì)上述題型的鞏固練習(xí)時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)畫圖、文字說(shuō)明、算式等多樣化的解題方式也是可以的。因?yàn)樵谛率诤蟮木毩?xí)伊始，與結(jié)果相比，學(xué)生的思維過(guò)程顯得更為重要。否則一模一樣的結(jié)果很容易得到，老師很難知道學(xué)生是否會(huì)了，是怎么思考的，思維處于怎樣的程度……如有的學(xué)生可能是依賴表象解決的，可學(xué)生頭腦中的表象老師看不見也摸不著，這時(shí)不妨以退為進(jìn)，以圖的形式呈現(xiàn)。退到學(xué)生的思維起點(diǎn)和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，進(jìn)到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和問(wèn)題實(shí)質(zhì)，進(jìn)到學(xué)生的思維深處和應(yīng)用策略。這類題的思維過(guò)程是后續(xù)調(diào)整的參考。

同時(shí)，為避免學(xué)生出現(xiàn)對(duì)練習(xí)方式單一的疲勞癥，在練習(xí)時(shí)基本訓(xùn)練、分組練習(xí)、對(duì)比辨析、補(bǔ)充條件、補(bǔ)充問(wèn)題等形式應(yīng)穿插使用。為方便說(shuō)明，仍以本文開始的那道題為例，把3塊餅平均分給5個(gè)小朋友， ? ？

可以讓學(xué)生先補(bǔ)充問(wèn)題再解答。學(xué)生可以填“每個(gè)人分到3塊餅的幾分之幾”，也可以填“每個(gè)人分到幾分之幾塊餅”。如果學(xué)生填“每個(gè)人分到幾分之幾”，嚴(yán)格地講，還需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所提問(wèn)題的明確性作出進(jìn)一步思考：是指“每個(gè)人分到3塊餅的幾分之幾”，還是指“每個(gè)人分到1塊餅的幾分之幾”？這是兩個(gè)不同的問(wèn)題。

基本訓(xùn)練，是對(duì)新知的“重復(fù)”與鞏固;分組訓(xùn)練，是對(duì)最近發(fā)展區(qū)中腳手架的拆除，有利于新知的進(jìn)一步內(nèi)化;對(duì)比訓(xùn)練消除了學(xué)生的思維定勢(shì)，培養(yǎng)了學(xué)生抗干擾的能力;而綜合訓(xùn)練，確保學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)的范圍內(nèi)有挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)。如此，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)比、深化，歸納出解答這類實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵所在，進(jìn)一步拓展提升，形成認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)體系。

還有一點(diǎn)不容忽視，在練習(xí)中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生的短時(shí)記憶很好，某段時(shí)間內(nèi)的正確率很高，但是過(guò)了他的記憶保質(zhì)期，他的正確率就下降了。除了跟上面提到的思維過(guò)渡有關(guān)，也很有可能跟鞏固的頻率相關(guān)。所以像這類對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較抽象的典型題，合理運(yùn)用艾賓浩斯遺忘曲線（如圖3）的規(guī)律，在學(xué)以致用方面的影響不容小覷。

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圖3

根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線，遺忘的發(fā)生是先快后慢、先多后少。所以抓住關(guān)鍵期，及時(shí)復(fù)習(xí)很重要，可以趕在遺忘大量發(fā)生之前使所學(xué)加以鞏固，事半功倍。

總之，如華應(yīng)龍老師的融錯(cuò)教育一般，課堂內(nèi)外的鞏固練習(xí)也可以如此。對(duì)于一些學(xué)生常錯(cuò)的典型題進(jìn)行研究，如果我們“融化”了，就可以為一種資源。這時(shí)的錯(cuò)誤，是一種反證，同時(shí)對(duì)學(xué)生、對(duì)教師無(wú)疑也是一種幫助。只是這種研究需要我們有容乃大，循著實(shí)踐，不斷改進(jìn)。？筻

對(duì)于數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，正確答案固然令人欣喜，但一些錯(cuò)誤的回答也有價(jià)值可尋。通過(guò)反思，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤本身就是一種資源、一種折射、一種提醒。

例如：“把3塊餅平均分給5個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分得3塊餅的（—），是1塊餅的（—），是（ ?）塊餅?！边@是蘇教版（下同）數(shù)學(xué)五年級(jí)下學(xué)期學(xué)校數(shù)學(xué)期中調(diào)研卷中的一道填空題，側(cè)重考查的知識(shí)點(diǎn)是分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。錯(cuò)誤率非常高，而且學(xué)生的錯(cuò)誤五花八門。我們尋找學(xué)生錯(cuò)誤的原因，而原因最終都指向?qū)χR(shí)點(diǎn)的不完全理解。

這類典型題歷來(lái)都是五年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)的一個(gè)關(guān)卡。盡管一些有經(jīng)驗(yàn)的老師知曉學(xué)生常見的錯(cuò)誤原因，會(huì)小心翼翼地處理好這部分內(nèi)容的教學(xué)，可經(jīng)過(guò)一段時(shí)間消化后，仍然會(huì)有不少學(xué)生踩中“地雷”，收效不盡如人意。這使得筆者開始重新審視這部分內(nèi)容的學(xué)與練。

一、教后反思的深入化

回顧教材，在三年級(jí)兩次分?jǐn)?shù)教學(xué)的基礎(chǔ)上，由五年級(jí)下冊(cè)漸進(jìn)，小學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)才開始逐步完善起來(lái)，形成三級(jí)臺(tái)階。第一級(jí)是建立分?jǐn)?shù)的概念，理解分?jǐn)?shù)的意義，例1至例3基本是完成這一級(jí)的學(xué)習(xí)。第二級(jí)是建立分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系，用分?jǐn)?shù)表示除法的商，用分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系，把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，例4至例9是這一級(jí)的學(xué)習(xí)。第三級(jí)是建立分?jǐn)?shù)和比的聯(lián)系，將在六年級(jí)分?jǐn)?shù)除法里完成。

而上述題目橫跨第一、二級(jí)臺(tái)階，其原型可追溯至教材例6。

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圖1

在教學(xué)時(shí)，為了降低坡度，通常會(huì)增加一道準(zhǔn)備題：“8塊、4塊、1塊餅平均分給4個(gè)小朋友，每人分得多少塊？”從整數(shù)除法帶出商是分?jǐn)?shù)的除法，并通過(guò)平均分一塊餅的操作得出每人分得■塊餅。

在準(zhǔn)備題的基礎(chǔ)上，繼續(xù)突出例6平均分的問(wèn)題用除法計(jì)算從而列出除法算式，仍然通過(guò)分餅的操作得到除法的商。

然后把3塊餅平均分給4個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)推廣到把3塊餅平均分給5個(gè)人，引出分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。

從中可以看出，例6的教學(xué)中是用分?jǐn)?shù)的意義尋找結(jié)果，教學(xué)完后則可以用分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系解決。分餅看似簡(jiǎn)單，由8塊、4塊到1塊，再到3塊，卻是一個(gè)由整數(shù)到分?jǐn)?shù)，越來(lái)越抽象的過(guò)程。

小學(xué)生的思維特點(diǎn)是正以具體形象思維為主要形式逐步過(guò)渡到以抽象思維為主要形式。這種抽象邏輯思維在很大程度上仍然是直接與感性經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的，仍然具有很大成分的具體形象性。以圓片代替餅，讓學(xué)生經(jīng)歷分、剪、拼的動(dòng)手操作，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在“做”的過(guò)程和“思考”的過(guò)程中得到積淀，學(xué)生理解起來(lái)容易多了。這種理解的直觀性、即時(shí)性、鮮活性很強(qiáng)，一些學(xué)生表面上看可能會(huì)接受得較快，可稍后的作業(yè)出現(xiàn)眾多錯(cuò)誤反彈的現(xiàn)象。如何來(lái)鞏固？

經(jīng)驗(yàn)表明，學(xué)生的智力發(fā)展很大程度上取決于由形象思維向概念思維過(guò)渡，需要多長(zhǎng)時(shí)間和經(jīng)歷怎樣的步驟。越是抽象性的東西，對(duì)形象性的依賴越大。一旦迅速遠(yuǎn)離幾何直觀，有些學(xué)生的理解就開始變得零碎，甚至歸零。學(xué)困生尤其如此。這是沒有真正學(xué)會(huì)由具體思維過(guò)渡到抽象思維的一種表現(xiàn)，是形象思維和概念思維脫節(jié)的一種后果。

二、思維方式的開放化

實(shí)物（模擬物）—圖像（圖形）—表象—抽象，是比較具體的學(xué)生由形象思維過(guò)渡到抽象思維的四重奏。實(shí)物（模擬物）的動(dòng)手操作由于受客觀條件的限制，不可能隨時(shí)隨地進(jìn)行，需要一種能起到同樣作用的輔助手段——利用圖形描述和分析問(wèn)題，借助這種幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。數(shù)學(xué)中解應(yīng)用題時(shí)經(jīng)常會(huì)借助于畫圖尤其是線段圖，以圖形的方式將題目中的關(guān)系表現(xiàn)出來(lái)。

通過(guò)畫圖，學(xué)生對(duì)所獲得的結(jié)論（知識(shí)）是確信的，這種信任是一種積極的情緒。這種積極的情緒越強(qiáng)烈，學(xué)生對(duì)知識(shí)越有信任感，這就是知識(shí)即信念的含義。當(dāng)知識(shí)沒有變成信念，就意味著他對(duì)知識(shí)不信任，知識(shí)就是外在于他的詞語(yǔ)而已。而學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解越深刻，運(yùn)用越深入，知識(shí)越會(huì)成為他的信念。這就解釋了“有老師一直告訴學(xué)生如果問(wèn)題沒有單位名稱要用單位1，有單位名稱就用數(shù)，而一些學(xué)生依然不能學(xué)以致用”的原因。

如果不采取這種方式，一些學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生未必能學(xué)會(huì)解題和思考習(xí)題的條件。即便如此，他們中有的學(xué)生甚至還不會(huì)把習(xí)題的條件用圖形畫出來(lái)。因?yàn)樗麄儾粌H不會(huì)抽象地思維，而且也不會(huì)用“形式、聲音、色彩和感覺”來(lái)思維。對(duì)于這類學(xué)生，“應(yīng)當(dāng)先教會(huì)他們形象思維，然后再逐漸轉(zhuǎn)向抽象思維”較為明智。

比如類似的判斷題，2米的■和1米的■相等。輔以畫圖，用直條（長(zhǎng)方形）表示，一目了然。這句話是正確的。

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圖2

圖像基礎(chǔ)上的表象，在心理學(xué)中，是指過(guò)去感知過(guò)的事物形象在頭腦中再現(xiàn)的過(guò)程。運(yùn)用表象，上述畫圖解答習(xí)題的過(guò)程可以不用筆在紙上呈現(xiàn)，而在腦中默然完成。

為適合不同層次學(xué)生學(xué)習(xí)的“最近發(fā)展區(qū)”，根據(jù)學(xué)生自身的需要提出彈性化的要求是合理的。其中的優(yōu)化，需要我們準(zhǔn)確判斷學(xué)生的思維處于怎樣的程度，然后決定在新授或練習(xí)時(shí)，是更直觀一些，還是更抽象一些。對(duì)于學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，需要降低難度，更形象一些以便于理解和向抽象過(guò)渡;對(duì)優(yōu)秀生，可以提高標(biāo)準(zhǔn)，更抽象一些以便于從更高層面上把握。

三、練習(xí)設(shè)計(jì)的合理化

鑒于能開放學(xué)生的思維方式，那么在設(shè)計(jì)上述題型的鞏固練習(xí)時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)畫圖、文字說(shuō)明、算式等多樣化的解題方式也是可以的。因?yàn)樵谛率诤蟮木毩?xí)伊始，與結(jié)果相比，學(xué)生的思維過(guò)程顯得更為重要。否則一模一樣的結(jié)果很容易得到，老師很難知道學(xué)生是否會(huì)了，是怎么思考的，思維處于怎樣的程度……如有的學(xué)生可能是依賴表象解決的，可學(xué)生頭腦中的表象老師看不見也摸不著，這時(shí)不妨以退為進(jìn)，以圖的形式呈現(xiàn)。退到學(xué)生的思維起點(diǎn)和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，進(jìn)到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和問(wèn)題實(shí)質(zhì)，進(jìn)到學(xué)生的思維深處和應(yīng)用策略。這類題的思維過(guò)程是后續(xù)調(diào)整的參考。

同時(shí)，為避免學(xué)生出現(xiàn)對(duì)練習(xí)方式單一的疲勞癥，在練習(xí)時(shí)基本訓(xùn)練、分組練習(xí)、對(duì)比辨析、補(bǔ)充條件、補(bǔ)充問(wèn)題等形式應(yīng)穿插使用。為方便說(shuō)明，仍以本文開始的那道題為例，把3塊餅平均分給5個(gè)小朋友， ? ？

可以讓學(xué)生先補(bǔ)充問(wèn)題再解答。學(xué)生可以填“每個(gè)人分到3塊餅的幾分之幾”，也可以填“每個(gè)人分到幾分之幾塊餅”。如果學(xué)生填“每個(gè)人分到幾分之幾”，嚴(yán)格地講，還需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所提問(wèn)題的明確性作出進(jìn)一步思考：是指“每個(gè)人分到3塊餅的幾分之幾”，還是指“每個(gè)人分到1塊餅的幾分之幾”？這是兩個(gè)不同的問(wèn)題。

基本訓(xùn)練，是對(duì)新知的“重復(fù)”與鞏固;分組訓(xùn)練，是對(duì)最近發(fā)展區(qū)中腳手架的拆除，有利于新知的進(jìn)一步內(nèi)化;對(duì)比訓(xùn)練消除了學(xué)生的思維定勢(shì)，培養(yǎng)了學(xué)生抗干擾的能力;而綜合訓(xùn)練，確保學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)的范圍內(nèi)有挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)。如此，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)比、深化，歸納出解答這類實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵所在，進(jìn)一步拓展提升，形成認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)體系。

還有一點(diǎn)不容忽視，在練習(xí)中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生的短時(shí)記憶很好，某段時(shí)間內(nèi)的正確率很高，但是過(guò)了他的記憶保質(zhì)期，他的正確率就下降了。除了跟上面提到的思維過(guò)渡有關(guān)，也很有可能跟鞏固的頻率相關(guān)。所以像這類對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較抽象的典型題，合理運(yùn)用艾賓浩斯遺忘曲線（如圖3）的規(guī)律，在學(xué)以致用方面的影響不容小覷。

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圖3

根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線，遺忘的發(fā)生是先快后慢、先多后少。所以抓住關(guān)鍵期，及時(shí)復(fù)習(xí)很重要，可以趕在遺忘大量發(fā)生之前使所學(xué)加以鞏固，事半功倍。

總之，如華應(yīng)龍老師的融錯(cuò)教育一般，課堂內(nèi)外的鞏固練習(xí)也可以如此。對(duì)于一些學(xué)生常錯(cuò)的典型題進(jìn)行研究，如果我們“融化”了，就可以為一種資源。這時(shí)的錯(cuò)誤，是一種反證，同時(shí)對(duì)學(xué)生、對(duì)教師無(wú)疑也是一種幫助。只是這種研究需要我們有容乃大，循著實(shí)踐，不斷改進(jìn)。？筻

對(duì)于數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，正確答案固然令人欣喜，但一些錯(cuò)誤的回答也有價(jià)值可尋。通過(guò)反思，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤本身就是一種資源、一種折射、一種提醒。

例如：“把3塊餅平均分給5個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分得3塊餅的（—），是1塊餅的（—），是（ ?）塊餅?！边@是蘇教版（下同）數(shù)學(xué)五年級(jí)下學(xué)期學(xué)校數(shù)學(xué)期中調(diào)研卷中的一道填空題，側(cè)重考查的知識(shí)點(diǎn)是分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。錯(cuò)誤率非常高，而且學(xué)生的錯(cuò)誤五花八門。我們尋找學(xué)生錯(cuò)誤的原因，而原因最終都指向?qū)χR(shí)點(diǎn)的不完全理解。

這類典型題歷來(lái)都是五年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)的一個(gè)關(guān)卡。盡管一些有經(jīng)驗(yàn)的老師知曉學(xué)生常見的錯(cuò)誤原因，會(huì)小心翼翼地處理好這部分內(nèi)容的教學(xué)，可經(jīng)過(guò)一段時(shí)間消化后，仍然會(huì)有不少學(xué)生踩中“地雷”，收效不盡如人意。這使得筆者開始重新審視這部分內(nèi)容的學(xué)與練。

一、教后反思的深入化

回顧教材，在三年級(jí)兩次分?jǐn)?shù)教學(xué)的基礎(chǔ)上，由五年級(jí)下冊(cè)漸進(jìn)，小學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)才開始逐步完善起來(lái)，形成三級(jí)臺(tái)階。第一級(jí)是建立分?jǐn)?shù)的概念，理解分?jǐn)?shù)的意義，例1至例3基本是完成這一級(jí)的學(xué)習(xí)。第二級(jí)是建立分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系，用分?jǐn)?shù)表示除法的商，用分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系，把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，例4至例9是這一級(jí)的學(xué)習(xí)。第三級(jí)是建立分?jǐn)?shù)和比的聯(lián)系，將在六年級(jí)分?jǐn)?shù)除法里完成。

而上述題目橫跨第一、二級(jí)臺(tái)階，其原型可追溯至教材例6。

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圖1

在教學(xué)時(shí)，為了降低坡度，通常會(huì)增加一道準(zhǔn)備題：“8塊、4塊、1塊餅平均分給4個(gè)小朋友，每人分得多少塊？”從整數(shù)除法帶出商是分?jǐn)?shù)的除法，并通過(guò)平均分一塊餅的操作得出每人分得■塊餅。

在準(zhǔn)備題的基礎(chǔ)上，繼續(xù)突出例6平均分的問(wèn)題用除法計(jì)算從而列出除法算式，仍然通過(guò)分餅的操作得到除法的商。

然后把3塊餅平均分給4個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)推廣到把3塊餅平均分給5個(gè)人，引出分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。

從中可以看出，例6的教學(xué)中是用分?jǐn)?shù)的意義尋找結(jié)果，教學(xué)完后則可以用分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系解決。分餅看似簡(jiǎn)單，由8塊、4塊到1塊，再到3塊，卻是一個(gè)由整數(shù)到分?jǐn)?shù)，越來(lái)越抽象的過(guò)程。

小學(xué)生的思維特點(diǎn)是正以具體形象思維為主要形式逐步過(guò)渡到以抽象思維為主要形式。這種抽象邏輯思維在很大程度上仍然是直接與感性經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的，仍然具有很大成分的具體形象性。以圓片代替餅，讓學(xué)生經(jīng)歷分、剪、拼的動(dòng)手操作，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在“做”的過(guò)程和“思考”的過(guò)程中得到積淀，學(xué)生理解起來(lái)容易多了。這種理解的直觀性、即時(shí)性、鮮活性很強(qiáng)，一些學(xué)生表面上看可能會(huì)接受得較快，可稍后的作業(yè)出現(xiàn)眾多錯(cuò)誤反彈的現(xiàn)象。如何來(lái)鞏固？

經(jīng)驗(yàn)表明，學(xué)生的智力發(fā)展很大程度上取決于由形象思維向概念思維過(guò)渡，需要多長(zhǎng)時(shí)間和經(jīng)歷怎樣的步驟。越是抽象性的東西，對(duì)形象性的依賴越大。一旦迅速遠(yuǎn)離幾何直觀，有些學(xué)生的理解就開始變得零碎，甚至歸零。學(xué)困生尤其如此。這是沒有真正學(xué)會(huì)由具體思維過(guò)渡到抽象思維的一種表現(xiàn)，是形象思維和概念思維脫節(jié)的一種后果。

二、思維方式的開放化

實(shí)物（模擬物）—圖像（圖形）—表象—抽象，是比較具體的學(xué)生由形象思維過(guò)渡到抽象思維的四重奏。實(shí)物（模擬物）的動(dòng)手操作由于受客觀條件的限制，不可能隨時(shí)隨地進(jìn)行，需要一種能起到同樣作用的輔助手段——利用圖形描述和分析問(wèn)題，借助這種幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。數(shù)學(xué)中解應(yīng)用題時(shí)經(jīng)常會(huì)借助于畫圖尤其是線段圖，以圖形的方式將題目中的關(guān)系表現(xiàn)出來(lái)。

通過(guò)畫圖，學(xué)生對(duì)所獲得的結(jié)論（知識(shí)）是確信的，這種信任是一種積極的情緒。這種積極的情緒越強(qiáng)烈，學(xué)生對(duì)知識(shí)越有信任感，這就是知識(shí)即信念的含義。當(dāng)知識(shí)沒有變成信念，就意味著他對(duì)知識(shí)不信任，知識(shí)就是外在于他的詞語(yǔ)而已。而學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解越深刻，運(yùn)用越深入，知識(shí)越會(huì)成為他的信念。這就解釋了“有老師一直告訴學(xué)生如果問(wèn)題沒有單位名稱要用單位1，有單位名稱就用數(shù)，而一些學(xué)生依然不能學(xué)以致用”的原因。

如果不采取這種方式，一些學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生未必能學(xué)會(huì)解題和思考習(xí)題的條件。即便如此，他們中有的學(xué)生甚至還不會(huì)把習(xí)題的條件用圖形畫出來(lái)。因?yàn)樗麄儾粌H不會(huì)抽象地思維，而且也不會(huì)用“形式、聲音、色彩和感覺”來(lái)思維。對(duì)于這類學(xué)生，“應(yīng)當(dāng)先教會(huì)他們形象思維，然后再逐漸轉(zhuǎn)向抽象思維”較為明智。

比如類似的判斷題，2米的■和1米的■相等。輔以畫圖，用直條（長(zhǎng)方形）表示，一目了然。這句話是正確的。

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圖2

圖像基礎(chǔ)上的表象，在心理學(xué)中，是指過(guò)去感知過(guò)的事物形象在頭腦中再現(xiàn)的過(guò)程。運(yùn)用表象，上述畫圖解答習(xí)題的過(guò)程可以不用筆在紙上呈現(xiàn)，而在腦中默然完成。

為適合不同層次學(xué)生學(xué)習(xí)的“最近發(fā)展區(qū)”，根據(jù)學(xué)生自身的需要提出彈性化的要求是合理的。其中的優(yōu)化，需要我們準(zhǔn)確判斷學(xué)生的思維處于怎樣的程度，然后決定在新授或練習(xí)時(shí)，是更直觀一些，還是更抽象一些。對(duì)于學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，需要降低難度，更形象一些以便于理解和向抽象過(guò)渡;對(duì)優(yōu)秀生，可以提高標(biāo)準(zhǔn)，更抽象一些以便于從更高層面上把握。

三、練習(xí)設(shè)計(jì)的合理化

鑒于能開放學(xué)生的思維方式，那么在設(shè)計(jì)上述題型的鞏固練習(xí)時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)畫圖、文字說(shuō)明、算式等多樣化的解題方式也是可以的。因?yàn)樵谛率诤蟮木毩?xí)伊始，與結(jié)果相比，學(xué)生的思維過(guò)程顯得更為重要。否則一模一樣的結(jié)果很容易得到，老師很難知道學(xué)生是否會(huì)了，是怎么思考的，思維處于怎樣的程度……如有的學(xué)生可能是依賴表象解決的，可學(xué)生頭腦中的表象老師看不見也摸不著，這時(shí)不妨以退為進(jìn)，以圖的形式呈現(xiàn)。退到學(xué)生的思維起點(diǎn)和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，進(jìn)到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和問(wèn)題實(shí)質(zhì)，進(jìn)到學(xué)生的思維深處和應(yīng)用策略。這類題的思維過(guò)程是后續(xù)調(diào)整的參考。

同時(shí)，為避免學(xué)生出現(xiàn)對(duì)練習(xí)方式單一的疲勞癥，在練習(xí)時(shí)基本訓(xùn)練、分組練習(xí)、對(duì)比辨析、補(bǔ)充條件、補(bǔ)充問(wèn)題等形式應(yīng)穿插使用。為方便說(shuō)明，仍以本文開始的那道題為例，把3塊餅平均分給5個(gè)小朋友， ? ？

可以讓學(xué)生先補(bǔ)充問(wèn)題再解答。學(xué)生可以填“每個(gè)人分到3塊餅的幾分之幾”，也可以填“每個(gè)人分到幾分之幾塊餅”。如果學(xué)生填“每個(gè)人分到幾分之幾”，嚴(yán)格地講，還需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所提問(wèn)題的明確性作出進(jìn)一步思考：是指“每個(gè)人分到3塊餅的幾分之幾”，還是指“每個(gè)人分到1塊餅的幾分之幾”？這是兩個(gè)不同的問(wèn)題。

基本訓(xùn)練，是對(duì)新知的“重復(fù)”與鞏固;分組訓(xùn)練，是對(duì)最近發(fā)展區(qū)中腳手架的拆除，有利于新知的進(jìn)一步內(nèi)化;對(duì)比訓(xùn)練消除了學(xué)生的思維定勢(shì)，培養(yǎng)了學(xué)生抗干擾的能力;而綜合訓(xùn)練，確保學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)的范圍內(nèi)有挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)。如此，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)比、深化，歸納出解答這類實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵所在，進(jìn)一步拓展提升，形成認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)體系。

還有一點(diǎn)不容忽視，在練習(xí)中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生的短時(shí)記憶很好，某段時(shí)間內(nèi)的正確率很高，但是過(guò)了他的記憶保質(zhì)期，他的正確率就下降了。除了跟上面提到的思維過(guò)渡有關(guān)，也很有可能跟鞏固的頻率相關(guān)。所以像這類對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較抽象的典型題，合理運(yùn)用艾賓浩斯遺忘曲線（如圖3）的規(guī)律，在學(xué)以致用方面的影響不容小覷。

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圖3

根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線，遺忘的發(fā)生是先快后慢、先多后少。所以抓住關(guān)鍵期，及時(shí)復(fù)習(xí)很重要，可以趕在遺忘大量發(fā)生之前使所學(xué)加以鞏固，事半功倍。

總之，如華應(yīng)龍老師的融錯(cuò)教育一般，課堂內(nèi)外的鞏固練習(xí)也可以如此。對(duì)于一些學(xué)生常錯(cuò)的典型題進(jìn)行研究，如果我們“融化”了，就可以為一種資源。這時(shí)的錯(cuò)誤，是一種反證，同時(shí)對(duì)學(xué)生、對(duì)教師無(wú)疑也是一種幫助。只是這種研究需要我們有容乃大，循著實(shí)踐，不斷改進(jìn)。？筻