一種用于電力系統(tǒng)間諧波譜估計的高分辨率算法

李 明

（呼和浩特供電局,內(nèi)蒙古呼和浩特 OlOO5O）

文章編號：lOO7-2322（2Ol5）O6-OO46-O6 文獻標志碼：A 中圖分類號：TM7ll

一種用于電力系統(tǒng)間諧波譜估計的高分辨率算法

李 明

（呼和浩特供電局,內(nèi)蒙古呼和浩特 OlOO5O）

0 引 言

在我國西北部和內(nèi)蒙古地區(qū),太陽能和風能資源極其豐富。在這些地區(qū),新建了大量的風電場和光伏電站,并且,對這些新能源的開發(fā)利用還呈增長的趨勢。由于太陽能和風能均為波動性能源,且均需通過逆變器并網(wǎng),其會向電網(wǎng)注入大量諧波和間諧波,導致電能質(zhì)量的惡化［1］。供電部門通常采用電能質(zhì)量綜合檢測裝置來對諧波和間諧波進行檢測,判定用戶產(chǎn)生的諧波和間諧波水平。由于間諧波為非整數(shù)倍基波頻率的諧波,其與整數(shù)次諧波在頻域內(nèi)彼此靠近,并且間諧波信號還易受到噪聲的干擾。因此,對間諧波的檢測需要具有高分辨率特性和良好噪聲抑制能力的算法。

目前,快速傅里葉變換（fast Fourier transform,FFT）及其改進算法由于計算量小,故在諧波和間諧波檢測領(lǐng)域應用較為廣泛［23］,但其頻率分辨率不高,且易受頻譜泄漏的影響。自回歸模型算法具有較高的頻率分辨率,且通過Levinson遞推的方式求解AR模型參數(shù),從而避免了自相關(guān)矩陣估計,計算效率較高,但其對噪聲較為敏感［45］?；谧韵嚓P(guān)矩陣的特征值分解法,如Esprit算法［6］、多重信號分類法（multiple signal classification,MUSIC）［7］等,具有較高的頻率分辨率并對白噪聲具有一定的抑制能力,但在信噪比較低的情況下,難以將相互靠近的諧波或間諧波區(qū)分開來。求根MUSIC法［8］（root MUSIC,RMUSIC）通過構(gòu)造并求解MUSIC型多項式,相對于MUSIC法,具有更高的噪聲抑制能力,但其不能對高斯有色噪聲進行抑制?；?階累積量的特征值分解法,如文獻［9］所提高階累積量MUSIC法（cumulants MUSIC,CMUSIC）,可以對信號中的高階白噪聲和高斯噪聲（白或色）進行抑制,但其將4階累積量的對角切片轉(zhuǎn)化為自相關(guān)陣的線性組合［9lO］,導致其頻率分辨率較低。

本文分析了高階累積量對高階白噪聲和高斯噪聲（白或色）的抑制機理。首先,通過將4階累積量的對角切片轉(zhuǎn)化為修正協(xié)方差陣的線性組合,提出了基于改進高階累積量MUSIC法（improved cumulants MUSIC,ICMUSIC）的間諧波譜估計方法,該方法相對于文獻 ［9］所提CMUSIC算法,其具有更高的頻率分辨率。然后,通過構(gòu)造MUSIC型多項式,進一步對ICMUSIC算法進行改進,提出了基于改進高階累積量求根MUSIC法（improved cumulants-root MUSIC,IC-RMUSIC）的間諧波譜估計方法。仿真結(jié)果驗證了該方法的有效性。

1 基于4階累積量的特征值分解

設(shè)所分析的間諧波信號為

式中:

式中:Ai、fi、φi分別為第i個諧波的幅值、頻率和初始相位；fs為采樣頻率；w（n）為噪聲序列。式（1）可轉(zhuǎn)化為自回歸移動平均（autoregressive moving average,ARMA）過程［11］:

式（3）的推導過程詳見附錄A。由式（3）可見,這是一個特殊的ARMA過程,其AR參數(shù)與MA參數(shù)完全相同。

如果式（3）中的w（n）為高階白噪聲或高斯噪聲（白或色）,則可利用高階累積量對噪聲w（n）進行抑制。

首先定義信號y（n）的4階累積量的符號表示為

對式（3）左右分別進行四階累積量運算,可得［l2］

由于w（n）和u（n）統(tǒng)計獨立,因此式（5）可轉(zhuǎn)化為

由于直接求解高階累積量計算量較大,因此可令k1—k2=k1—k3=k1—i=τ,則式（6）轉(zhuǎn)化為

當w（n）為高階白噪聲或高斯噪聲時,可將式（7）轉(zhuǎn)化為

如果w（n）為高斯噪聲,則根據(jù)高斯過程的高階累積量為O這一定理,可知式γ4w=O。如果w（n）為獨立同分布非高斯過程,也即高階白噪聲［11,l3］,則γ4w為一非零常數(shù)且γ4w=C4w（O,O,O）。

再將式（8）轉(zhuǎn)化為矩陣形式:

式中:

可對矩陣C4y進行特征值分解,從而求取信號的頻譜信息。由于式（9）中的w（n）可為高階白噪聲或高斯噪聲,因此,采用4階累積量可對信號y（n）中的高階白噪聲或高斯噪聲進行抑制。

2 高階累積量的實現(xiàn)方法

由式（9）可以看出,需首先求取C4y,然后才能進行下一步運算。當間諧波信號的均值為O時,可得［11］

令x（n +τ）=y3（n +τ）,并將式（lO）轉(zhuǎn)化為矩陣形式:式中:λ為一常數(shù)且λ=E y2（n（ ））。因此,由式（ll）可見,C4y可以看作自相關(guān)矩陣Ry和互相關(guān)矩陣Rxy的線性組合。也即C4y的求解可轉(zhuǎn)化自相關(guān)矩陣Ry和互相關(guān)矩陣Rxy的求解。自相關(guān)矩陣的實現(xiàn)

方式有多種［l4］,如自相關(guān)陣、協(xié)方差陣、修正協(xié)方差陣。如采用文獻 ［9］提出的方法直接求解4階累積量,則相當于用自相關(guān)陣來表示Ry和Rxy,導致頻率分辨率不高。本文采用具有較高頻率分辨率的修正協(xié)方差陣來表示Ry和Rxy:

式中:（λ1+γ4w）,（λ2+γ4w）,…,（λ2M+γ4w）為信號特征值,γ4w為噪聲特征值。Ui為對應各特征值的特征向量。

由于λi+γ4w＞γ4w,因此,可根據(jù)特征值大小確定階數(shù)2M,并可將特征向量分為兩部分:式中:

Ry的推導過程和高分辨率特性的分析詳見附錄B。Rxy可用相同的方式進行推導。

當式（l2）中的p=2M時,如對C4y進行特征值分解,則僅有一個對應于噪聲的最小特征值,由于自相關(guān)矩陣的維數(shù)小,嚴重影響了結(jié)果的估計精度,因此,應令p＞2M。將求得的Ry和Rxy代入式（ll）,則可求得C4y。

3 特征空間多項式求根

由前兩節(jié)可知,首先通過觀測數(shù)據(jù)y（n）求取C4y,然后再采用特征值法對C4y進行特征值分解。MUSIC算法是特征值法中較常用的一種,但其易受噪聲影響。文中采用多項式求根的方式來代替MUSIC算法中的譜搜索,可以在低信噪比的情況下獲得更高的頻率分辨率。首先對C4y進行特征值分解,可得［11］式中:S和G分別由信號特征向量和噪聲特征向量組成。

為了綜合利用所有噪聲特征向量提取信號參數(shù)信息,可構(gòu)造多項式如下:式中:P（z）=［1,z,…,zp—1］。ψ（z）為2（p—1）次多項式,在無噪聲的情況下,共有2M對共軛根位于單位圓上,在有噪聲的情況下,則應選取最靠近單位圓的2M對共軛根。進一步可求取頻率信息:

4 仿真算例

4.1 高分辨率特性檢驗

設(shè)信號除基波（5O Hz）外還含有48.3Hz和52.1 Hz間諧波分量,幅值分別為基波的O.5％、O.2％；相位分別為π/4、π/9；基波相位為O。信號的采樣頻率為1 OOO Hz,采樣點數(shù)為5O,數(shù)據(jù)長度為O.O5s。采用文獻［9］所提CMUSIC算法與本文所提的ICMUSIC算法和IC-RMUSIC算法進行對比,幾種算法的譜估計結(jié)果如圖1和表1所示。

圖1 CMUSIC算法和ICMUSIC算法比較

表1 CMUSIC算法、ICMUSIC算法和IC-RMUSIC算法比較

由圖1可看出,CMUSIC算法無法將基波和48.3Hz和52.1 Hz間諧波分量區(qū)分開來,這是由于將4階累積量的對角切片轉(zhuǎn)化為自相關(guān)陣的線性組合,導致其頻率分辨率較低。ICMUSIC算法和IC-RMUSIC算法通過將4階累積量的對角切片轉(zhuǎn)化為修正協(xié)方差陣的線性組合,從而提高了頻率分辨率,可以精確地檢測到48.3Hz、5OHz和52.1 Hz 3個譜峰。

4.2 噪聲抑制性能檢驗

設(shè)信號除基波（5O Hz）外還含有3、5、7、9次諧波分量和55Hz、l55Hz間諧波分量,幅值分別為基波的2.1％、O.5％、2.7％、1.5％和1％；相位分別為π / 9、O、π / 4、π / 5、π / 3和π / 2；基波相位為π / 8。信號中加入了3O dB的均勻白噪聲（均勻白噪聲符合獨立同分布非高斯過程）、3OdB高斯白噪聲和3OdB高斯有色噪聲,信號的采樣頻率為1 OOO Hz,采樣點數(shù)為242,數(shù)據(jù)長度為O.242s。其中,高斯有色噪聲為高斯白噪聲通過一帶通濾波器產(chǎn)生,帶通濾波器的通帶頻率為25O～3OOHz,該濾波器的傳遞函數(shù)為

式中:c1=O.OO4 6,c2=O,c3=—O.Ol3 8,c4= O,c5=O.Ol3 8,c6=O,c7=—O.OO4 6,d1= O.833,d2=O.833,d3=2.492 1,d4=1.297 7，d5=1.949 6,d6=O.472 7。分別采用MUSIC算法、ICMUSIC算法、RMUSIC算法和IC-RMUSIC算法,所得譜估計結(jié)果如圖2～4、表2所示。

圖2 加3OdB均勻白噪聲時各類算法譜估計結(jié)果

圖3 加3OdB高斯白噪聲時各類算法譜估計結(jié)果

表2 MUSIC、RMUSIC、ICMUSIC和IC-RMUSIC算法譜估計結(jié)果比較 Hz

表2中，“—”表示檢測不到。由圖2、3，表2可看出,由于白噪聲的能量分布在整個頻譜上,受其影響,導致MUSIC和ICMUSIC算法無法將相距較近的諧波和間諧波無法區(qū)分開來,如基波、55Hz間諧波分量和3次諧波、l55Hz間諧波分量。RMUSIC算法和IC-RMUSIC算法通過采用多項式求根的方式求取頻率信息,其在低信噪比的情況下具有更高的頻率分辨率,可將相互靠近的諧波和間諧波區(qū)分開來。

由圖4,表2可看出,由于高斯有色噪聲的能量主要集中在25O～3OOHz,而MUSIC算法和RMUSIC算法對高斯有色噪聲不具有抑制能力,導致其譜估計結(jié)果受其影響,在25O～3OOHz頻段內(nèi)存在頻率為267Hz和287Hz的兩個偽峰。ICMUSIC和IC-RMUSIC算法采用高階累積量的方式抑制高斯噪聲,可對25O～3OOHz頻段內(nèi)的高斯有色噪聲進行有效抑制,從而檢測到所有諧波和間諧波成份。

5 結(jié) 論

本文將IC-RMUSIC算法應用于電力系統(tǒng)間諧波譜估計。

①與基于自相關(guān)矩陣的特征值算法相比,采用高階累積量來代替自相關(guān)函數(shù),可對高斯有色噪聲進行有效抑制。

②通過將4階累積量的對角切片轉(zhuǎn)化為修正協(xié)方差陣的線性組合,從而使算法具有較高頻率分辨率。通過構(gòu)造MUSIC型多項式并進行多項式的求根,可使算法穩(wěn)健性進一步增強。

③從仿真結(jié)果可看出,IC-RMUSIC算法可以有效抑制高階白噪聲或高斯分布噪聲（白或色）,從而檢測到所有諧波和間諧波的頻率信息。與MUSIC算法、ICMUSIC算法、RMUSIC算法相比,IC-RMUSIC算法具有更強的穩(wěn)健性。

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（責任編輯:楊秋霞）

A High-resolution Algorithm for Inter-harmonics Spectral Estimation in Power System

LI Ming
（Hohhot Power Supply Bureau,Hohhot OlOO5O,China）

本文提出一種基于改進高階累積量求根MUSIC法的間諧波譜估計新方法。該算法采用4階累積量來抑制高階白噪聲和高斯噪聲，同時，針對傳統(tǒng)4階累積量分辨率低的特點，通過將4階累積量的對角切片轉(zhuǎn)化為修正協(xié)方差陣的線性組合，從而保證算法的高分辨率；并通過構(gòu)造MUSIC多項式，從而使算法噪聲抑制能力進一步增強。仿真結(jié)果表明，該方法不僅具有較高的頻率分辨率，而且具有較強的穩(wěn)健性，在噪聲污染的情況下能檢測出各次諧波和間諧波的頻率信息。

電能質(zhì)量；4階累積量；間諧波；多重信號分類法

A new method for estimating inter-harmonics spectrum based on theimproved cumulants-root MUSIC（ICRMUSIC）algorithm is presented in this paper.The four-order cumulants is used to restraint high-order white noise and Gaussian noise.To overcome the disadvantage of low-frequency resolution of the traditional four-order cumulants，the diagonal slice of four-order cumulants is transformed into the linear combination of the modified covariance matrices to guarantee the high resolution of algorithm.In addition,by constructing MUSIC polynomial,the noise suppressing capability of this algorithm is further enhanced. Experimental results show this method not only has high frequency resolution,but also can effectively suppress noise，and can get the spectral estimation of harmonics and interharmonics in noisy environments.

power quality；four-order cumulants；inter-harmonics；multiple signal classification

2Ol4-l2-l4

李 明（l98l—）,男,博士,工程師,研究方向為電能質(zhì)量分析與電網(wǎng)規(guī)劃,E-mail:qingxiaoyanyuzhong @l26.com。