王山祥

有一張8cm×8cm的正方形紙片，面積是64cm2.把這張紙片按圖1所示剪開，再把剪出的4個(gè)小塊按圖2所示重新拼合，這樣就得到了一個(gè)長為13cm，寬為5cm的長方形，其面積是65cm2.這樣就出現(xiàn)了“64=65”的奇怪現(xiàn)象！這是可能的嗎？下面我們通過實(shí)際操作檢驗(yàn)一下.

我們先找一張8cm×8cm的正方形紙片，按圖1所示剪開，再按圖2拼合，似乎看不出有什么問題.這就奇怪了，無中不能生有，64cm2的紙片是不可能變成65cm2的，問題究竟出在什么地方呢？這個(gè)“多”出的1cm2的面積究竟是如何得來的？看來，我們得仔細(xì)研究一下

如圖4，而當(dāng)我們把圖1中的甲、乙兩小塊按拼合在一起時(shí)，線段DE并不等于3113

cm，而是等于3cm.因?yàn)榫€段DE比DE′小，所以圖4與圖3并不相同.當(dāng)線段DE=3cm時(shí)，甲、乙兩小塊的拼合并不能構(gòu)成Rt△ABC，而是構(gòu)成四邊形ABCE.

如圖5，實(shí)際上，我們重新拼合的圖形并不是如圖2所示，而是如圖5所示，即中間有空隙的一個(gè)長方形.那么，圖5中的空隙四邊形AECF的面積是否就是“多”出的1cm2呢？下面我們計(jì)算一下四邊形AECF的面積.

（1）由已知可知，CF=EA，CE=FA，所以，四邊形AECF是平行四邊形.

（2）如圖6，作EL⊥CF，垂足為L.延長DE交CM于點(diǎn)H，交CF于點(diǎn)G，得GH⊥CM，CH=BD=5.DH=BC=5，由于GH⊥CM，所以GH∥FM，所以△CGH∽△CFM，得

CHCM=GHFM，即58=GH3，得CH=178cm.

（3）計(jì)算EG的長度：EG=DH-DE-GH=5-3-178=18cm.

（4）在Rt△CFM中，∵CF2=CM2+MF2=82+32=73，∴CF=73cm.

（5）∵∠EGL=∠CGH，∠ELG=∠CHG=90°，∴Rt△EGL∽Rt△CGH，又因?yàn)镽t△CGH∽Rt△CFM，∴Rt△EGL∽Rt△CFM，得

EGCF=ELCM，即1873=EL8，∴EL=173cm.

（6）因此，SAECF=CF×EL=73×173=1cm.

通過推理證明，由圖1中的紙片剪開后并不能拼成如圖2所示的圖形，而是拼成一個(gè)長為13cm，寬為5cm的中間有空隙的長方形，這個(gè)空隙的面積恰好是1cm2，因此重新拼成的圖形的面積并不等于如圖2所示的長方形的面積，新拼成的圖形的面積應(yīng)該是這個(gè)長方形的面積減去中間空隙的面積，即65-1=64cm2.

既然這樣，為什么我們在前面動(dòng)手剪紙片和拼接的過程中并沒有發(fā)現(xiàn)這個(gè)空隙呢？這是因?yàn)槠唇雍蟮膱D形中空隙是十分細(xì)小的，空隙平行四邊形AECF的高僅有173cm，

約0.117cm，即1毫米稍微過一點(diǎn)點(diǎn)而已，所以我們在前面動(dòng)手拼圖時(shí)往往發(fā)現(xiàn)不了這個(gè)空隙，即使發(fā)現(xiàn)了也以為是我們剪切與拼合時(shí)的誤差而忽略掉，這就是我們當(dāng)初得到“64=65”的原因（而圖4、圖5、圖6中的空隙是為了論述的需要，我們有意地夸大了）.可見，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們的直覺并不可靠，如果僅僅靠直覺學(xué)習(xí)，有時(shí)可能會得出錯(cuò)誤的結(jié)論.我們一定要對數(shù)學(xué)命題進(jìn)行嚴(yán)密的推理與論證，才能得到正確的結(jié)論.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）endprint

有一張8cm×8cm的正方形紙片，面積是64cm2.把這張紙片按圖1所示剪開，再把剪出的4個(gè)小塊按圖2所示重新拼合，這樣就得到了一個(gè)長為13cm，寬為5cm的長方形，其面積是65cm2.這樣就出現(xiàn)了“64=65”的奇怪現(xiàn)象！這是可能的嗎？下面我們通過實(shí)際操作檢驗(yàn)一下.

我們先找一張8cm×8cm的正方形紙片，按圖1所示剪開，再按圖2拼合，似乎看不出有什么問題.這就奇怪了，無中不能生有，64cm2的紙片是不可能變成65cm2的，問題究竟出在什么地方呢？這個(gè)“多”出的1cm2的面積究竟是如何得來的？看來，我們得仔細(xì)研究一下

如圖4，而當(dāng)我們把圖1中的甲、乙兩小塊按拼合在一起時(shí)，線段DE并不等于3113

cm，而是等于3cm.因?yàn)榫€段DE比DE′小，所以圖4與圖3并不相同.當(dāng)線段DE=3cm時(shí)，甲、乙兩小塊的拼合并不能構(gòu)成Rt△ABC，而是構(gòu)成四邊形ABCE.

如圖5，實(shí)際上，我們重新拼合的圖形并不是如圖2所示，而是如圖5所示，即中間有空隙的一個(gè)長方形.那么，圖5中的空隙四邊形AECF的面積是否就是“多”出的1cm2呢？下面我們計(jì)算一下四邊形AECF的面積.

（1）由已知可知，CF=EA，CE=FA，所以，四邊形AECF是平行四邊形.

（2）如圖6，作EL⊥CF，垂足為L.延長DE交CM于點(diǎn)H，交CF于點(diǎn)G，得GH⊥CM，CH=BD=5.DH=BC=5，由于GH⊥CM，所以GH∥FM，所以△CGH∽△CFM，得

CHCM=GHFM，即58=GH3，得CH=178cm.

（3）計(jì)算EG的長度：EG=DH-DE-GH=5-3-178=18cm.

（4）在Rt△CFM中，∵CF2=CM2+MF2=82+32=73，∴CF=73cm.

（5）∵∠EGL=∠CGH，∠ELG=∠CHG=90°，∴Rt△EGL∽Rt△CGH，又因?yàn)镽t△CGH∽Rt△CFM，∴Rt△EGL∽Rt△CFM，得

EGCF=ELCM，即1873=EL8，∴EL=173cm.

（6）因此，SAECF=CF×EL=73×173=1cm.

通過推理證明，由圖1中的紙片剪開后并不能拼成如圖2所示的圖形，而是拼成一個(gè)長為13cm，寬為5cm的中間有空隙的長方形，這個(gè)空隙的面積恰好是1cm2，因此重新拼成的圖形的面積并不等于如圖2所示的長方形的面積，新拼成的圖形的面積應(yīng)該是這個(gè)長方形的面積減去中間空隙的面積，即65-1=64cm2.

既然這樣，為什么我們在前面動(dòng)手剪紙片和拼接的過程中并沒有發(fā)現(xiàn)這個(gè)空隙呢？這是因?yàn)槠唇雍蟮膱D形中空隙是十分細(xì)小的，空隙平行四邊形AECF的高僅有173cm，

約0.117cm，即1毫米稍微過一點(diǎn)點(diǎn)而已，所以我們在前面動(dòng)手拼圖時(shí)往往發(fā)現(xiàn)不了這個(gè)空隙，即使發(fā)現(xiàn)了也以為是我們剪切與拼合時(shí)的誤差而忽略掉，這就是我們當(dāng)初得到“64=65”的原因（而圖4、圖5、圖6中的空隙是為了論述的需要，我們有意地夸大了）.可見，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們的直覺并不可靠，如果僅僅靠直覺學(xué)習(xí)，有時(shí)可能會得出錯(cuò)誤的結(jié)論.我們一定要對數(shù)學(xué)命題進(jìn)行嚴(yán)密的推理與論證，才能得到正確的結(jié)論.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）endprint

有一張8cm×8cm的正方形紙片，面積是64cm2.把這張紙片按圖1所示剪開，再把剪出的4個(gè)小塊按圖2所示重新拼合，這樣就得到了一個(gè)長為13cm，寬為5cm的長方形，其面積是65cm2.這樣就出現(xiàn)了“64=65”的奇怪現(xiàn)象！這是可能的嗎？下面我們通過實(shí)際操作檢驗(yàn)一下.

我們先找一張8cm×8cm的正方形紙片，按圖1所示剪開，再按圖2拼合，似乎看不出有什么問題.這就奇怪了，無中不能生有，64cm2的紙片是不可能變成65cm2的，問題究竟出在什么地方呢？這個(gè)“多”出的1cm2的面積究竟是如何得來的？看來，我們得仔細(xì)研究一下

如圖4，而當(dāng)我們把圖1中的甲、乙兩小塊按拼合在一起時(shí)，線段DE并不等于3113

cm，而是等于3cm.因?yàn)榫€段DE比DE′小，所以圖4與圖3并不相同.當(dāng)線段DE=3cm時(shí)，甲、乙兩小塊的拼合并不能構(gòu)成Rt△ABC，而是構(gòu)成四邊形ABCE.

如圖5，實(shí)際上，我們重新拼合的圖形并不是如圖2所示，而是如圖5所示，即中間有空隙的一個(gè)長方形.那么，圖5中的空隙四邊形AECF的面積是否就是“多”出的1cm2呢？下面我們計(jì)算一下四邊形AECF的面積.

（1）由已知可知，CF=EA，CE=FA，所以，四邊形AECF是平行四邊形.

（2）如圖6，作EL⊥CF，垂足為L.延長DE交CM于點(diǎn)H，交CF于點(diǎn)G，得GH⊥CM，CH=BD=5.DH=BC=5，由于GH⊥CM，所以GH∥FM，所以△CGH∽△CFM，得

CHCM=GHFM，即58=GH3，得CH=178cm.

（3）計(jì)算EG的長度：EG=DH-DE-GH=5-3-178=18cm.

（4）在Rt△CFM中，∵CF2=CM2+MF2=82+32=73，∴CF=73cm.

（5）∵∠EGL=∠CGH，∠ELG=∠CHG=90°，∴Rt△EGL∽Rt△CGH，又因?yàn)镽t△CGH∽Rt△CFM，∴Rt△EGL∽Rt△CFM，得

EGCF=ELCM，即1873=EL8，∴EL=173cm.

（6）因此，SAECF=CF×EL=73×173=1cm.

通過推理證明，由圖1中的紙片剪開后并不能拼成如圖2所示的圖形，而是拼成一個(gè)長為13cm，寬為5cm的中間有空隙的長方形，這個(gè)空隙的面積恰好是1cm2，因此重新拼成的圖形的面積并不等于如圖2所示的長方形的面積，新拼成的圖形的面積應(yīng)該是這個(gè)長方形的面積減去中間空隙的面積，即65-1=64cm2.

既然這樣，為什么我們在前面動(dòng)手剪紙片和拼接的過程中并沒有發(fā)現(xiàn)這個(gè)空隙呢？這是因?yàn)槠唇雍蟮膱D形中空隙是十分細(xì)小的，空隙平行四邊形AECF的高僅有173cm，

約0.117cm，即1毫米稍微過一點(diǎn)點(diǎn)而已，所以我們在前面動(dòng)手拼圖時(shí)往往發(fā)現(xiàn)不了這個(gè)空隙，即使發(fā)現(xiàn)了也以為是我們剪切與拼合時(shí)的誤差而忽略掉，這就是我們當(dāng)初得到“64=65”的原因（而圖4、圖5、圖6中的空隙是為了論述的需要，我們有意地夸大了）.可見，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們的直覺并不可靠，如果僅僅靠直覺學(xué)習(xí)，有時(shí)可能會得出錯(cuò)誤的結(jié)論.我們一定要對數(shù)學(xué)命題進(jìn)行嚴(yán)密的推理與論證，才能得到正確的結(jié)論.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）endprint