張 琦，趙海森，劉曉芳，張鑫磊

(華北電力大學(xué)，北京102206)

0 引 言

中小型籠型感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)子通常采用斜槽結(jié)構(gòu)，用以削弱齒槽效應(yīng)引起的附加轉(zhuǎn)矩及噪聲［1］。為能夠方便利用二維有限元法計算分析感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)子斜槽的磁場和運行性能，運用多截面法，即利用多段直槽近似代替斜槽［2］。但是，利用多截面場－路耦合時步有限元計算斜槽感應(yīng)電機(jī)損耗時，時間步長、斜槽分段數(shù)及剖分密度的選擇是否合理，不僅會直接影響損耗的計算精度，還會影響計算速度。因此，為了準(zhǔn)確計算電機(jī)損耗，系統(tǒng)研究上述計算參數(shù)對損耗計算影響，進(jìn)而提出相應(yīng)時空離散策略是非常重要的。

文獻(xiàn)［3］針對剖分密度影響永磁電機(jī)脈動轉(zhuǎn)矩計算進(jìn)行了研究;文獻(xiàn)［4］采用場－路－網(wǎng)耦合時步有限元法，研究了有限元計算參數(shù)對大型汽輪發(fā)電機(jī)的大擾動仿真計算結(jié)果的影響;文獻(xiàn)［5］研究了大型水輪發(fā)電機(jī)的有限元參數(shù)對相間短路的影響;文獻(xiàn)［6］通過分析時間步長和剖分密度對鼠籠異步電機(jī)暫態(tài)起動特性的影響，提出了改進(jìn)措施，解決了時步有限元法在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的處理方面存在的效率低、通用性不強(qiáng)和時間步長不確定等問題;文獻(xiàn)［7］利用多截面時步有限元法分析了斜槽分段數(shù)對一臺繞組角接的11 kW、4 極感應(yīng)電機(jī)起動及穩(wěn)態(tài)運行情況的影響。上述文獻(xiàn)分析了有限元參數(shù)對電機(jī)的磁場、電流、轉(zhuǎn)矩等運行性能的影響，但是目前仍缺乏時間步長、斜槽分段數(shù)及剖分密度等三種計算參數(shù)對感應(yīng)電機(jī)損耗計算影響的深入研究。

本文針對多截面場－路耦合時步有限元法準(zhǔn)確計算斜槽感應(yīng)電機(jī)損耗這一問題，以一臺5.5 kW電機(jī)為例，系統(tǒng)研究了時間步長、斜槽分段數(shù)及剖分密度對損耗計算的影響，提出了計算損耗時的最優(yōu)時空離散策略。通過與測試結(jié)果對比，驗證了所提策略的有效性。

1 損耗計算精度影響因素分析

當(dāng)轉(zhuǎn)子斜槽時，電機(jī)內(nèi)部磁場沿軸向分布不同，采用多截面法［2］，將斜槽轉(zhuǎn)子分成多段，把每段近似為一個直槽，對離散后的非線性代數(shù)方程組進(jìn)行求解，得到各時刻的狀態(tài)變量值［8－10］。關(guān)于損耗計算方法，文獻(xiàn)［11－12］中已給出定子銅耗、轉(zhuǎn)子銅耗和鐵耗計算方法，本文不再贅述，以下著重介紹影響損耗計算的主要參數(shù)。

1.1 時間步長

利用時步有限元計算電機(jī)損耗時，時間步長dt的選擇需要注意在計算過程中由于數(shù)值微分帶來的計算誤差，以下通過渦流損耗計算實例說明。假設(shè)存在磁密表達(dá)式和其渦流損耗計算如下式:

式(1)中:Bmv為包括基波在內(nèi)的各次諧波磁密幅值，v 取正整數(shù)，為諧波次數(shù);ω =2πf，為角頻率;此處假設(shè)Bm1=1 T，Bmv=Bm1/v。式(2)中σ 為鐵磁材料電導(dǎo)率;h 為鐵心疊片厚度;δ 為鐵磁材料密度;T為基波周期。

將式(1)代入(2)并進(jìn)行離散處理，可求得在不同時間步長下的數(shù)值微分誤差，表達(dá)式如下:

由式(3)可以看出，數(shù)值微分誤差與時間步長有直接關(guān)系，此外，時間步長還會引起諧波磁場的混疊效應(yīng)，將在下面詳細(xì)論述。因此，選擇合適的時間步長至關(guān)重要。

1.2 斜槽分段數(shù)

在利用多截面時步有限元法對斜槽電機(jī)進(jìn)行分析時，分段數(shù)選擇會影響電機(jī)內(nèi)部不同橫截面的磁場分布情況，圖1 是采用兩段計算時各截面磁密分布云圖。圖1 中，位于定轉(zhuǎn)子軛部和齒部的①～⑥位置的不同截面磁密分布存在明顯差異。如果分段數(shù)選擇過少，就會導(dǎo)致相鄰各截面的磁密發(fā)生過度畸變，與電機(jī)實際斜槽效果不符，導(dǎo)致不僅不能達(dá)到削弱齒諧波的目的，反而會放大諧波效應(yīng)，增加電機(jī)損耗;如果分段數(shù)過多，則會導(dǎo)致計算時間過長。因此，在計算中必須選擇合適的分段數(shù)，以求在節(jié)省計算時間的前提下，能夠準(zhǔn)確反映電機(jī)內(nèi)部實際磁場分布特點。

圖1 采用兩段計算時各截面磁密分布

1.3 剖分密度

對于電機(jī)而言，研究剖分密度通常側(cè)重于能否準(zhǔn)確計及高次諧波磁場，也就是說針對高次諧波磁場較大的區(qū)域，即氣隙及定轉(zhuǎn)子齒。上述區(qū)域的剖分密度是否合理，會直接影響計算時能否準(zhǔn)確計及的定轉(zhuǎn)子鐵心高次諧波次數(shù)。以定子齒為例，圖2中的定子齒Ⅰ采用2 點剖分可以采集到一個周期基波的2 點，定子齒Ⅱ采用4 點剖分可以采集到一個周期基波的4 點。顯而易見，定子齒采用越多的節(jié)點數(shù)剖分，計算結(jié)果越精確。因此，在計算中必須選擇合適的剖分密度，以求在節(jié)省計算時間的前提下，能夠計及高次諧波磁場及二階空間齒諧波。

圖2 定子齒采用不同節(jié)點數(shù)剖分的示意圖

1.4 影響損耗計算精度的計算參數(shù)小結(jié)

綜上所述，感應(yīng)電機(jī)損耗計算時所需要選擇的時空離散方式，主要涉及的計算參數(shù)可總結(jié)如下:

針對上述參數(shù)，本文以一臺5.5 kW 電機(jī)為例，研究利用多截面場－路耦合時步有限元法計算感應(yīng)電機(jī)損耗時，如何合理選擇時空離散策略。該電機(jī)基本參數(shù):定子槽數(shù)Z1=36，轉(zhuǎn)子槽數(shù)Z2=32，定子外徑D1=210 mm，定子內(nèi)徑Di1=136 mm，轉(zhuǎn)子外徑D2=135.2 mm，氣隙長度q =0.4 mm，定子槽口寬bs0=3.5 mm，轉(zhuǎn)子槽口寬br0=1 mm。

2 時間離散策略對計算精度影響分析

由式(3)可知，當(dāng)時間步長dt ＜0.1 ms 時，產(chǎn)生的誤差小于10%，當(dāng)dt ＜1 ×10－4ms 時，誤差接近于零，但計算耗時較長。因此，從計算時間角度考慮，選擇0.025 ms 能夠滿足損耗計算精度要求。

除了數(shù)值微分誤差外，時間步長選擇還需要考慮對諧波磁場的混疊效應(yīng)。根據(jù)采樣定理，為保證采樣之后的數(shù)字信號完整地保留原始信號中的信息，采樣頻率fs需大于原始信號中最高頻率(奈奎斯特頻率)fh的2 倍;反之，則對于高于fs/2 的信號，將出現(xiàn)混疊現(xiàn)象［13］:

式中:fa為信號混疊后的頻率;f 為混疊前的實際頻率;D=Int(f/fs+0.5)，Int 為取整運算。

對本文研究的感應(yīng)電機(jī)計算時，若選擇時間步長為0.4 ms，則fs=50f1，即在一個基波周期內(nèi)選取50 個采樣點，這時高于25 次的諧波分量被混疊至低次。于是原信號中的30、36、42、54 次諧波分別被混疊為20、14、8、4 次諧波。由于這些高次諧波分量幅值比低次諧波小很多，致使混疊效果在磁位結(jié)果中體現(xiàn)得并不明顯，而在通過對磁位求導(dǎo)計算電流密度以及通過電流密度的平方計算損耗的過程中，放大了周期信號的幅值，最終使損耗結(jié)果中混疊效應(yīng)十分明顯。

同理，dt=0.1 ms、0.04 ms 和0.025 ms 時分別將高于100 次、250 次和400 次的諧波混疊。表1 是不同時間步長的損耗對比。表中pcu1和pcu2分別為定、轉(zhuǎn)子銅耗;pfe為鐵耗;p∑為總損耗。

表1 不同時間步長的損耗對比

因此，基于時步有限元法計算感應(yīng)電機(jī)損耗時，需根據(jù)采樣定理選擇時間步長。綜合上述分析，考慮k 階(通常考慮到k=2 即可)齒諧波的情況下，且計算過程不發(fā)生混疊，選擇時間步長應(yīng)按照:

式中:T1為基波的周期。

綜上所述，通過分析渦流損耗的數(shù)值微分誤差和諧波磁場的混疊效應(yīng)，可選擇出合適的時間步長。

3 空間離散策略對計算精度影響分析

3.1 斜槽分段數(shù)

利用二維有限元法計算斜槽電機(jī)損耗時，損耗計算的精度很大程度上取決于采用的斜槽分段數(shù)能否準(zhǔn)確接近實際電機(jī)，因此選取合適的分段數(shù)是非常重要的。圖3 為采用1 ～5 段斜槽分段數(shù)計算得到的空載定子相電流波形及諧波分析，如圖3 所示，斜槽分3 段以后，電流諧波含量趨于穩(wěn)定。

圖3 不同分段數(shù)的空載定子相電流波形及諧波分析

進(jìn)一步計算了不同分段數(shù)對于損耗的影響，結(jié)果如表2所示，表中k是分段數(shù)，pcu1ν為定子諧波銅耗，其它符號含義與表1 中相同。可以看出，斜槽后定子諧波銅耗由12.48 W 降至3.77 W，轉(zhuǎn)子諧波銅耗由37.37 W 降至3.90 W。斜槽可以降低定轉(zhuǎn)子諧波銅耗。分段數(shù)為1 段是直槽，隨著分段數(shù)增加，定子諧波銅耗、轉(zhuǎn)子銅耗減少，達(dá)到4 段基本不變。直槽變?yōu)樾辈蹠r鐵耗增加，由于分段數(shù)為2 段時軸向磁密分布不均，當(dāng)分段數(shù)增加時，軸向磁密分布均勻接近實際的斜槽電機(jī)，達(dá)到3 段基本不變。進(jìn)一步分析了11 kW、22 kW、55 kW、132 kW 等電機(jī)在不同分段數(shù)下的電流及損耗計算數(shù)據(jù)，得出同樣變化規(guī)律。因此，用時步有限元計算感應(yīng)電機(jī)損耗時，建議斜槽分段數(shù)為5 段。

表2 不同分段數(shù)的損耗對比

3.2 氣隙及定轉(zhuǎn)子齒剖分密度

3.2.1 氣隙剖分密度選擇

由于氣隙磁場的齒諧波分量對磁密影響很大，需要正確選擇切向剖分密度［14］。仍以上述5.5 kW電機(jī)為例，為了計及高次諧波，對氣隙分別采用200點、400 點、600 點、800 點和1 000 點的剖分網(wǎng)格，如圖4 所示(由于篇幅所限，僅列出4 種剖分方式圖)，相應(yīng)計算得到的氣隙磁密波形及諧波分析如圖5 所示。可以看出，氣隙剖分200 點與800 點時相比，兩者的氣隙磁密存在明顯差異，而從氣隙磁密諧波分析可以看出，氣隙剖分節(jié)點數(shù)為200 點時，計及的諧波較不準(zhǔn)確，當(dāng)氣隙剖分節(jié)點數(shù)達(dá)到800 點時，磁密的諧波含量趨于穩(wěn)定。表3 為分段數(shù)為5，時間步長為0.025 ms 時，氣隙采用不同節(jié)點數(shù)剖分的損耗對比，m 為氣隙剖分節(jié)點數(shù)。由表3 可以看出，當(dāng)氣隙剖分節(jié)點數(shù)達(dá)到800 點時，損耗基本穩(wěn)定。

圖4 氣隙剖分方式

圖5 氣隙不同剖分節(jié)點數(shù)的氣隙磁密波形及諧波分析

表3 氣隙不同剖分節(jié)點數(shù)的損耗對比

3.2.2 定轉(zhuǎn)子鐵心剖分密度選擇

為了能夠計及高次諧波及二階空間齒諧波，對定轉(zhuǎn)子齒剖分密度進(jìn)行選擇，從電機(jī)基波及諧波磁場空間所占距離分析如下。

沿定子鐵心內(nèi)圓諧波所占的距離:

式中:ν=1 時為基波。

沿轉(zhuǎn)子鐵心外圓諧波所占的距離:

式中:ν=1 時為基波。

定、轉(zhuǎn)子齒距:

定、轉(zhuǎn)子齒剖分節(jié)點數(shù)與諧波次數(shù)的關(guān)系式:

式(10)和式(11)中的n1和n2分別為定、轉(zhuǎn)子齒剖分節(jié)點數(shù)。

定子k1階齒諧波次數(shù):

轉(zhuǎn)子k2階齒諧波次數(shù)為:

文中電機(jī)沿定子鐵心內(nèi)圓基波所占的距離λs1=213.63 mm，諧波所占的距離λsν= 68π/ν。定子齒距ts=11.87 mm，定子一階齒諧波(36/2 ±1)次，即17，19 次。沿轉(zhuǎn)子鐵心外圓基波所占的距離λr1=212.37 mm，諧波所占的距離為λrν=67. 6π/ν。轉(zhuǎn)子齒距tr=13.27 mm，轉(zhuǎn)子一階齒諧波(32/2 ±1)次，即15，17 次。

由式(10)可知，定子齒剖分節(jié)點數(shù)為2 點、4點、6 點、8 點、10 點時，可至少準(zhǔn)確計及諧波次數(shù)分別為13 次、25 次、37 次(定子二階齒諧波)、49 次、61 次。由式(11)可知，轉(zhuǎn)子齒剖分節(jié)點數(shù)為2 點、4點、6 點、8 點、10 點時可至少準(zhǔn)確計及諧波次數(shù)分別為7 次、17 次、25 次、33 次(轉(zhuǎn)子二階齒諧波)、43次。圖6 和圖7 分別是定、轉(zhuǎn)子齒選擇不同節(jié)點數(shù)的剖分網(wǎng)格圖。表4 和表5 分別是在分段數(shù)為5段、時間步長為0.025 ms 時，定、轉(zhuǎn)子齒不同剖分節(jié)點數(shù)的損耗對比。n1和n2分別為定、轉(zhuǎn)子齒剖分節(jié)點數(shù)。

圖6 定子齒剖分方式

圖7 轉(zhuǎn)子齒剖分方式

因此，為了考慮到空間的二階齒諧波以及3 次、5 次等低次諧波，并且減少計算耗時，定、轉(zhuǎn)子齒選擇10 點剖分。

表4 定子齒不同剖分節(jié)點的損耗對比

表5 轉(zhuǎn)子齒不同剖分節(jié)點的損耗對比

通過上述理論分析和計算推導(dǎo)，可以得到在利用時步有限元計算感應(yīng)電機(jī)損耗時，對于需要考慮ν 次氣隙磁場諧波的情況下，氣隙中間層剖分點數(shù)m 的選取應(yīng)滿足:

對于需要考慮定子k1階齒諧波的情況下，定子齒點n1的選取應(yīng)滿足:

對于需要考慮轉(zhuǎn)子k2階齒諧波的情況下，轉(zhuǎn)子齒點n2的選取應(yīng)滿足:

4 實驗驗證

利用如圖8 所示的試驗平臺對5.5 kW 電機(jī)的空載損耗進(jìn)行實測和計算對比，由于空載時電機(jī)功率因數(shù)較低，故利用高精度功率分析儀對其輸入功率進(jìn)行測試。表6 為計算時采用的不同計算參數(shù);表7 為計算和實測對比情況，考慮到轉(zhuǎn)子銅耗、鐵耗以及附加損耗難以準(zhǔn)確分離，故將三種損耗放在一起。對比表7 中數(shù)據(jù)可得，算例1 與實測基本吻合;其它五種算例計算結(jié)果與實測有較大誤差。因此，可以得出本文提出的時間步長、斜槽分段數(shù)及剖分密度選擇方法是有效的。

表6 計算所用參數(shù)

表7 額定電壓下的電機(jī)損耗

5 結(jié) 語

本文針對多截面場－路耦合時步有限元法準(zhǔn)確計算斜槽感應(yīng)電機(jī)損耗的問題，以一臺5.5 kW 為例，系統(tǒng)研究了時間步長、斜槽分段數(shù)及剖分密度對損耗計算的影響，并提出了基于時步有限元的損耗計算時的最優(yōu)時空離散策略。本文的研究成果可為研究影響感應(yīng)電機(jī)的損耗精確計算因素，以及如何提高損耗計算精度提供重要參考。

［1］ 陳世坤.電機(jī)設(shè)計［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2008:73.

［2］ WILLIAMAON S，F(xiàn)LACK T J，VOLSCHENK A F.Representation of skew in time－stepped two－dimensional finite－element models of electrical machines ［J］. IEEE Transactions on industry applications，1995，31(5):1009－1015.

［3］ HOWE D，ZHU Z Q.The influence of finite element discretisation on the prediction of cogging torque in permanent magnet excited motors［J］.IEEE Tansactions on magnetics，1992，28(2):1080－1083.

［4］ 胡笳，羅應(yīng)立，劉曉芳，等.汽輪發(fā)電機(jī)時步有限元計算參數(shù)對大擾動仿真結(jié)果的影響［J］. 中國電機(jī)工程學(xué)報，2009，29(27):59－66.

［5］ WAMKEUE R，KAM WA I. Line－to－line short－circuit－based finite－element performance and parameter predictions of large hydrogenerators［J］. IEEE Transactions on Energy Conversion，2003，18(3):370－378.

［6］ 嚴(yán)登俊，劉瑞芳，胡敏強(qiáng)，等.鼠籠異步電機(jī)起動性能的時步有限元計算［J］.電機(jī)與控制學(xué)報，2003，7(3):177－181.

［7］ 江建中，傅為農(nóng).斜槽異步電機(jī)的多截面有限元法分析［J］.電工技術(shù)學(xué)報，1997，12(5):11－17.

［8］ 傅為農(nóng)，江建中.異步電機(jī)時步法有限元軟件的研制［J］.微特電機(jī)，1998，26(5):5－7，11.

［9］ HO S L，LI H L，F(xiàn)U W N，et al.A novel approach to circuit－field－torque coupled time stepping finite element medeling of electric machines［J］.IEEE Tansactions on magnetics，2000，36(4):1886－1889.

［10］ 趙海森，劉曉芳，羅應(yīng)立，等. 轉(zhuǎn)子斜槽及不同槽斜度對鼠籠式異步電機(jī)損耗影響的時步有限元分析［J］. 中國科學(xué)，2011，41(10):1380－1387.

［11］ GMYREK Z，BOGLIETTI A，CAVAGNINO A.Estimation of iron losses in induction motors:calculation method，results，and analysis［J］. IEEE Transactions on industrial electronics，2010，57(1):161－171.

［12］ 趙海森，劉曉芳，楊亞秋，等. 基于時步有限元分析的超高效定子槽形優(yōu)化設(shè)計［J］. 中國電機(jī)工程學(xué)報，2011，31(33):115－122.

［13］ 韓峰，李義軍. Nyquist 采樣頻率下的頻譜失真與采樣定理［J］.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2002，21(4):298－301.

［14］ 李軍，羅應(yīng)立.計算參數(shù)對低速同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩計算結(jié)果的影響［J］.電機(jī)與控制學(xué)報，2011，15(6):7－12.