宋春燕

求二面角的大小是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn)問題.其中二面角的棱在示意圖中未出現(xiàn)，即所謂無棱二面角的情形又為難點(diǎn).因此掌握無棱二面角大小的常用求法是至關(guān)重要的.本文就其常用求法例析如下.

一、隱棱顯化法

把被隱藏的二面角的棱通過相應(yīng)手段和方法顯現(xiàn)出來，即把無棱二面角問題轉(zhuǎn)化為有棱二面角問題，再根據(jù)二面角的定義，作出二面角的平面角，然后求解.這里關(guān)鍵是作棱，有以下幾種基本方法.

1.已知一個(gè)公共點(diǎn)，找出另一個(gè)公共點(diǎn)作棱法

如果兩個(gè)平面α、β有一個(gè)公共點(diǎn)，那么只要找到另一個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)公共點(diǎn)的連線即α、β所成二面角的棱.要注意，另一個(gè)公共點(diǎn)一般是分別在α、β的兩條直線上，同時(shí)又是第三個(gè)平面γ內(nèi)兩相交直線的交點(diǎn).此法的實(shí)質(zhì)是拓展平面，故又叫做延展平面法.

圖1

例1已知四棱錐P-ABCD的底為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的一個(gè)三角函數(shù)值.

分析已知兩平面有一個(gè)公共點(diǎn)P，且這兩平面內(nèi)的AD、BC又在第三個(gè)平面ABCD內(nèi)，而AD、BC必有交點(diǎn)F，則PF即所找的棱.

解如圖1示，延長AD、BC相交于F，連PF，則PF為面PAD與面PBC所成二面角的棱.作AG⊥PF于G，連BG.

∵∠DAB=90°，PA⊥AB，∴AB⊥平面PAD.

∴由三垂線定理，得GB⊥PF.

于是∠BGA就是平面PAD與平面PBC所成銳二面角的平面角.

由2DC=AB，得AF=2，PF=PA2+AF2=12+22=5.

又AG·PF=PA·AFAG=255，

∴在Rt△BAG中，tanAGB=ABAG=

2255=5.

故所求的二面角的正切值是5.

2.平移半平面作棱法

把無棱二面角的一個(gè)半平面平移，使其與另一個(gè)半平面有兩個(gè)明顯的公共點(diǎn)，連這兩個(gè)公共點(diǎn)得棱.于是把所求的無棱二面角轉(zhuǎn)化為與之相等的新的有棱二面角.

例2如圖2（1），在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥側(cè)面AC1，若AA1=A1B1，求面A1EC與面A1B1C1所成二面角的大小.

圖2

分析取棱C1C的中點(diǎn)為K，若E為棱B1B中點(diǎn)（需證明），作EG⊥A1C于G，即可將平面A1B1C1平移至平面GEK，將所求的二面角轉(zhuǎn)化為求二面角C-GE-K的大小.

解如圖2（2），作EG⊥A1C于G，因?yàn)锳1EC⊥面AC1，故EG⊥面AC1.而面ABC⊥面AC1，取AC中點(diǎn)F，連BF，則BF⊥AC，于是BF⊥面AC1，∴EG∥BF，從而B、E、G、F四點(diǎn)共面.

連FG，由BE∥側(cè)面AC1知BE∥GF，所以BEGF是平行四邊形，

∴BE=GF=12AA1=12BB1，即E為棱BB1的中點(diǎn).

取棱CC1的中點(diǎn)K，連EK，GK，易知EK∥面A1B1C1，GK∥面A1B1C1，所以面GEK∥面A1B1C1.

∴二面角C-GE-K的大小等于面A1EC與面A1B1C1所成二面角的大小.

易知∠CGK即為二面角C-GE-K的平面角，

∴∠CGK=45°，即所求.

評注本題也可采用例1的方法分別延長CE、C1B1得交點(diǎn)D，則A1D為二面角的棱，但仍然要確定E為棱BB1的中點(diǎn).

3.補(bǔ)形作棱法

把一個(gè)不容易找到所求二面角的棱的幾何體，補(bǔ)成一個(gè)容易找到這兩個(gè)面交線為棱的一個(gè)新幾何體.

圖3

例3如圖3，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=3.

求二面角的大小是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn)問題.其中二面角的棱在示意圖中未出現(xiàn)，即所謂無棱二面角的情形又為難點(diǎn).因此掌握無棱二面角大小的常用求法是至關(guān)重要的.本文就其常用求法例析如下.

一、隱棱顯化法

把被隱藏的二面角的棱通過相應(yīng)手段和方法顯現(xiàn)出來，即把無棱二面角問題轉(zhuǎn)化為有棱二面角問題，再根據(jù)二面角的定義，作出二面角的平面角，然后求解.這里關(guān)鍵是作棱，有以下幾種基本方法.

1.已知一個(gè)公共點(diǎn)，找出另一個(gè)公共點(diǎn)作棱法

如果兩個(gè)平面α、β有一個(gè)公共點(diǎn)，那么只要找到另一個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)公共點(diǎn)的連線即α、β所成二面角的棱.要注意，另一個(gè)公共點(diǎn)一般是分別在α、β的兩條直線上，同時(shí)又是第三個(gè)平面γ內(nèi)兩相交直線的交點(diǎn).此法的實(shí)質(zhì)是拓展平面，故又叫做延展平面法.

圖1

例1已知四棱錐P-ABCD的底為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的一個(gè)三角函數(shù)值.

分析已知兩平面有一個(gè)公共點(diǎn)P，且這兩平面內(nèi)的AD、BC又在第三個(gè)平面ABCD內(nèi)，而AD、BC必有交點(diǎn)F，則PF即所找的棱.

解如圖1示，延長AD、BC相交于F，連PF，則PF為面PAD與面PBC所成二面角的棱.作AG⊥PF于G，連BG.

∵∠DAB=90°，PA⊥AB，∴AB⊥平面PAD.

∴由三垂線定理，得GB⊥PF.

于是∠BGA就是平面PAD與平面PBC所成銳二面角的平面角.

由2DC=AB，得AF=2，PF=PA2+AF2=12+22=5.

又AG·PF=PA·AFAG=255，

∴在Rt△BAG中，tanAGB=ABAG=

2255=5.

故所求的二面角的正切值是5.

2.平移半平面作棱法

把無棱二面角的一個(gè)半平面平移，使其與另一個(gè)半平面有兩個(gè)明顯的公共點(diǎn)，連這兩個(gè)公共點(diǎn)得棱.于是把所求的無棱二面角轉(zhuǎn)化為與之相等的新的有棱二面角.

例2如圖2（1），在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥側(cè)面AC1，若AA1=A1B1，求面A1EC與面A1B1C1所成二面角的大小.

圖2

分析取棱C1C的中點(diǎn)為K，若E為棱B1B中點(diǎn)（需證明），作EG⊥A1C于G，即可將平面A1B1C1平移至平面GEK，將所求的二面角轉(zhuǎn)化為求二面角C-GE-K的大小.

解如圖2（2），作EG⊥A1C于G，因?yàn)锳1EC⊥面AC1，故EG⊥面AC1.而面ABC⊥面AC1，取AC中點(diǎn)F，連BF，則BF⊥AC，于是BF⊥面AC1，∴EG∥BF，從而B、E、G、F四點(diǎn)共面.

連FG，由BE∥側(cè)面AC1知BE∥GF，所以BEGF是平行四邊形，

∴BE=GF=12AA1=12BB1，即E為棱BB1的中點(diǎn).

取棱CC1的中點(diǎn)K，連EK，GK，易知EK∥面A1B1C1，GK∥面A1B1C1，所以面GEK∥面A1B1C1.

∴二面角C-GE-K的大小等于面A1EC與面A1B1C1所成二面角的大小.

易知∠CGK即為二面角C-GE-K的平面角，

∴∠CGK=45°，即所求.

評注本題也可采用例1的方法分別延長CE、C1B1得交點(diǎn)D，則A1D為二面角的棱，但仍然要確定E為棱BB1的中點(diǎn).

3.補(bǔ)形作棱法

把一個(gè)不容易找到所求二面角的棱的幾何體，補(bǔ)成一個(gè)容易找到這兩個(gè)面交線為棱的一個(gè)新幾何體.

圖3

例3如圖3，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=3.

求二面角的大小是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn)問題.其中二面角的棱在示意圖中未出現(xiàn)，即所謂無棱二面角的情形又為難點(diǎn).因此掌握無棱二面角大小的常用求法是至關(guān)重要的.本文就其常用求法例析如下.

一、隱棱顯化法

把被隱藏的二面角的棱通過相應(yīng)手段和方法顯現(xiàn)出來，即把無棱二面角問題轉(zhuǎn)化為有棱二面角問題，再根據(jù)二面角的定義，作出二面角的平面角，然后求解.這里關(guān)鍵是作棱，有以下幾種基本方法.

1.已知一個(gè)公共點(diǎn)，找出另一個(gè)公共點(diǎn)作棱法

如果兩個(gè)平面α、β有一個(gè)公共點(diǎn)，那么只要找到另一個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)公共點(diǎn)的連線即α、β所成二面角的棱.要注意，另一個(gè)公共點(diǎn)一般是分別在α、β的兩條直線上，同時(shí)又是第三個(gè)平面γ內(nèi)兩相交直線的交點(diǎn).此法的實(shí)質(zhì)是拓展平面，故又叫做延展平面法.

圖1

例1已知四棱錐P-ABCD的底為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的一個(gè)三角函數(shù)值.

分析已知兩平面有一個(gè)公共點(diǎn)P，且這兩平面內(nèi)的AD、BC又在第三個(gè)平面ABCD內(nèi)，而AD、BC必有交點(diǎn)F，則PF即所找的棱.

解如圖1示，延長AD、BC相交于F，連PF，則PF為面PAD與面PBC所成二面角的棱.作AG⊥PF于G，連BG.

∵∠DAB=90°，PA⊥AB，∴AB⊥平面PAD.

∴由三垂線定理，得GB⊥PF.

于是∠BGA就是平面PAD與平面PBC所成銳二面角的平面角.

由2DC=AB，得AF=2，PF=PA2+AF2=12+22=5.

又AG·PF=PA·AFAG=255，

∴在Rt△BAG中，tanAGB=ABAG=

2255=5.

故所求的二面角的正切值是5.

2.平移半平面作棱法

把無棱二面角的一個(gè)半平面平移，使其與另一個(gè)半平面有兩個(gè)明顯的公共點(diǎn)，連這兩個(gè)公共點(diǎn)得棱.于是把所求的無棱二面角轉(zhuǎn)化為與之相等的新的有棱二面角.

例2如圖2（1），在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥側(cè)面AC1，若AA1=A1B1，求面A1EC與面A1B1C1所成二面角的大小.

圖2

分析取棱C1C的中點(diǎn)為K，若E為棱B1B中點(diǎn)（需證明），作EG⊥A1C于G，即可將平面A1B1C1平移至平面GEK，將所求的二面角轉(zhuǎn)化為求二面角C-GE-K的大小.

解如圖2（2），作EG⊥A1C于G，因?yàn)锳1EC⊥面AC1，故EG⊥面AC1.而面ABC⊥面AC1，取AC中點(diǎn)F，連BF，則BF⊥AC，于是BF⊥面AC1，∴EG∥BF，從而B、E、G、F四點(diǎn)共面.

連FG，由BE∥側(cè)面AC1知BE∥GF，所以BEGF是平行四邊形，

∴BE=GF=12AA1=12BB1，即E為棱BB1的中點(diǎn).

取棱CC1的中點(diǎn)K，連EK，GK，易知EK∥面A1B1C1，GK∥面A1B1C1，所以面GEK∥面A1B1C1.

∴二面角C-GE-K的大小等于面A1EC與面A1B1C1所成二面角的大小.

易知∠CGK即為二面角C-GE-K的平面角，

∴∠CGK=45°，即所求.

評注本題也可采用例1的方法分別延長CE、C1B1得交點(diǎn)D，則A1D為二面角的棱，但仍然要確定E為棱BB1的中點(diǎn).

3.補(bǔ)形作棱法

把一個(gè)不容易找到所求二面角的棱的幾何體，補(bǔ)成一個(gè)容易找到這兩個(gè)面交線為棱的一個(gè)新幾何體.

圖3

例3如圖3，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=3.