薛競舟

剛開始學(xué)習(xí)幾何，老師就教給我們各種尺規(guī)作圖的方法，以前只是模仿操作，很多作法的依據(jù)老師并不深入講解，只說“等你們學(xué)習(xí)了全等之后就會明白”，我總是對作圖中最后出現(xiàn)的那個(gè)神奇的“小叉”特別好奇.待到本章學(xué)完全等，再看之前有些尺規(guī)作圖，原來角平分線、垂線、復(fù)制角等操作的理由都來自全等三角形.下面我再把教材中提到的一些作三角形的方法整理一下，看看作圖過程中那個(gè)神奇的“小叉”是如何出來的！

情形1：已知三邊作三角形

己知一個(gè)三角形三條邊分別為a，b，c求作這個(gè)三角形.

作法步驟：先作線段BA=c，分別以B，A為圓心，a，b為半徑畫弧交于C，連接AC，BC，則△ABC即為所求.

作法依據(jù)：最后得出的三角形三個(gè)頂點(diǎn)都被唯一確定，根據(jù)SSS，只要按上述作圖保證了三邊相等，則兩個(gè)三角形一定全等.

情形2：已知兩邊及其夾角作三角形

已知一個(gè)三角形的兩條邊長分別是1 cm和2 cm，這兩條邊的夾角為40°（如圖3）.請作出一個(gè)滿足題設(shè)條件的三角形.

作法步驟：如圖4，先作∠MAN=40°，在AM、AN上分別取AB=2cm，AC=1cm，連結(jié)BC，則△ABC即為所求.

作法依據(jù)：這個(gè)作法的關(guān)鍵在于復(fù)制∠MAN=40°，那個(gè)神奇的小叉就是尺規(guī)作角的特征之一，本題作法的依據(jù)是“SAS”證明全等.

情形3：已知兩角及其夾邊作三角形

已知一個(gè)三角形的兩角分別為∠a、∠β，夾邊為a，求作這個(gè)三角形.

作法步驟：如圖6，先作線段AB=a，再分別以A、B點(diǎn)為頂點(diǎn)，射線AB、BA為一邊，在AB的同一側(cè)作∠DAB=∠a，∠EBA=∠β，AD，BE交于C點(diǎn)，則△ABC即為所求.

作法依據(jù)：跟“情形1”一樣，這里關(guān)鍵是復(fù)制兩次角，∠a、∠β，依據(jù)仍然是SSS復(fù)制角；然而作圖的順序跟“情形1”不同，先作出線段AB=a，可以明確三角形的兩個(gè)頂點(diǎn).

情形4：已知一直角邊、斜邊作直角三角形

如圖7，已知線段c、b（c>b）.

求作：△ABC，使∠C=90°，AB=c，AC=b.

作法：第一步：作直線MN，并在直線MN上取點(diǎn)C；

第二步：作平角MCN的平分線CE；

第三步：在射線CE上截取CA=b；

第四步：以A為圓心，c為半徑畫弧交直線CM于B點(diǎn)；

第五步：連接AB.則△ABC就是所求作的三角形（如圖8）.

作法依據(jù)：上面的作法中作垂直比較費(fèi)事，其實(shí)可以看成是作一個(gè)平角的角平分線.

教師點(diǎn)評：尺規(guī)作圖問題是平面幾何的經(jīng)典，需要合理安排作圖次序.如果做一些人文的聯(lián)想，有點(diǎn)類似于中國古代建筑中的某些木作結(jié)構(gòu)，工序的先后往往決定了成敗.在一定意義上說，尺規(guī)作圖也是這樣.小作者在上文中提到四種作三角形的情形，還只是最為基本的作三角形問題，有興趣的同學(xué)還可以深入思考一些較為復(fù)雜的作三角形問題，這里不妨提供一例，供挑戰(zhàn).

挑戰(zhàn)作圖題：已知線段a，b，h. 求作△ABC，使BC=a，AC=b，AC邊上的高BD=h.

提示：先作出Rt△BCD，滿足斜邊BC=a，直角邊BD=h，再將CD延長到A，使CA=b，連接AB，所以△ABC為所求.（這里第一次作出的Rt△BCD，常常被稱之為“奠基三角形”.）

（指導(dǎo)教師：江海人）