☉浙江省湖州市雙林中學(xué) 李建潮

2014年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試第一題及其“根”的探究

☉浙江省湖州市雙林中學(xué) 李建潮

一、賽題的“根”

2014年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷加試第一題（以下簡稱“賽題”）：設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，abc＞0，求證：bc+ ca+ab＜

看賽題，筆者自然而然回想起了文1所述的一道競賽題：（2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東預(yù)賽第3題，以下簡稱“試題”）設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求證：bc+

從結(jié)構(gòu)看，試題（2）與賽題（1）如出一轍，且當(dāng)a，b，c都是正數(shù)時(shí)，只需由（2）式去證明（1）式即可.不得不說，試題（2）就是賽題（1）的“根”.伴隨而至，探究“根”的證法也隨之凸現(xiàn)出來……

二、試題“根”的新證

下面是關(guān)于“根”的兩種新穎證法.

證法1：（消元法）不妨設(shè)0≤a≤b≤c，則由a+b+c=1，知0≤a≤.于是（bc+ca+ab）-abc=a（b+c）+bc≤a（b+c）+（1-a）2（4-9a）（因（1-3a）2≤

移項(xiàng)，試題（2）獲證.

證法2：（抽屜原則）注意到當(dāng)a=b=c時(shí)（2）式取得“=”號這一題眼，對任意的三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，由抽屜原則，知其中必有兩個(gè)同時(shí)不小于（或不大于），不妨設(shè)這兩個(gè)實(shí)數(shù)是b，c，則≥0，即3（b+c）≤1+9bc.

于是4（bc+ca+ab）=4bc+4a（b+c）≤（b+c）2+4a（b+c）=（b+c）（4a+b+c）=（b+c）（1+3a）=（b+c）+3a（b+c）≤（b+c）+ a（1+9bc）（因a≥0）=1+9abc.

由此，試題（2）獲證.

以上兩種證法足以讓本來的試題（2）“老樹發(fā)新芽，舊貌變新顏”.

三、賽題“根”的證明

用“根”（2）式極易證明賽題（1）.

證明：由abc＞0，知a，b，c都正，或一正二負(fù).

當(dāng)a，b，c中一正二負(fù)時(shí)，不妨設(shè)a≤b＜0＜c，則bc+ca+ ab=a（b+c）+bc=a（1-a）+bc＜0.

（1）式顯然成立.

綜上，賽題（1）得證.

據(jù)上所證，建議把賽題（1）更改為：設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，abc＞0，求證：bc+ca+ab≤

四、盤“根”錯(cuò)節(jié)

看下面關(guān)于試題（2）的第三種證法.

證法3：試題（2）等價(jià)變形為：-1+4（bc+ca+ab）-8abc≤abc?1-2（a+b+c）+4（bc+ca+ab）≤abc?（1-2a）（1-2b）（1-2c）≤abc?（b+c-a）（c+a-b）（a+b-c）≤abc（因?yàn)閍+b+c=1）.

以上最后一個(gè)不等式實(shí)為1983年瑞士數(shù)學(xué)競賽的一道試題：已知a，b，c都是正實(shí)數(shù)（筆者注：改為“都是非負(fù)實(shí)數(shù)”，證法與結(jié)論不變），試證：（b+c-a）（c+a-b）（a+ b-c）≤abc.（4）

所以，試題（2）成立.由此可見，（4）式系試題（2）的“根”，而試題（2）又系賽題（1）的“根”——盤“根”錯(cuò)節(jié)，大飽眼福.

五、“根”的延伸

深入探究（4）式，獲其延伸.

引申1：設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則（a+b+c）3（b+c-a）（c+ab）（a+b-c）≤27（abc）2.（5）

引申2：設(shè)a，b，c都是實(shí)數(shù)，則（a+b+c）3（b+c-a）（c+ab）（a+b-c）≤［8abc+（b+c-a）（c+a-b）（a+b-c）］2.（6）以下只給出引申2的證明.

證明：令b+c-a=2x，c+a-b=2y，a+b-c=2z，解出a=y+z，b=z+x，c=x+y.

代入（6）式化成：［2（x+y+z）］3·2x·2y·2z≤［8（y+ z）（z+x）（x+y）+2x·2y·2z］2?3xyz（x+y+z）3≤［（y+z）（z+ x）（x+y）+xyz］2.（7）

注意到代數(shù)恒等式：（y+z）（z+x）（x+y）+xyz=（x+y+z）·（yz+zx+xy），知（7）式即為3xyz（x+y+z）3≤（x+y+z）2（yz+ zx+xy）2?3xyz（x+y+z）≤（yz+zx+xy）2.（8）

而由常見不等式：（a+b+c）2≥3（bc+ca+ab）（a，b，c∈R），易知不等式（8）成立.

因此，引申2得證.

值得一提的是，引申2是一個(gè)全新的不等式.

1.侯典峰.一道預(yù)賽解答題的另證［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2010（12）.F