關(guān)于數(shù)學(xué)問(wèn)題2080題的探究

☉浙江省海鹽縣元濟(jì)高級(jí)中學(xué) 張艷宗

☉浙江省海鹽縣元濟(jì)高級(jí)中學(xué) 馬喜君

☉浙江省海鹽縣元濟(jì)高級(jí)中學(xué) 曲峰

關(guān)于數(shù)學(xué)問(wèn)題2080題的探究

☉浙江省海鹽縣元濟(jì)高級(jí)中學(xué) 張艷宗

☉浙江省海鹽縣元濟(jì)高級(jí)中學(xué) 馬喜君

☉浙江省海鹽縣元濟(jì)高級(jí)中學(xué) 曲峰

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2012年第9期數(shù)學(xué)問(wèn)題第2080題：

正數(shù)a、b、c滿足a+2b+3c≤abc，求5a+22b+c的最小值.

文1提供解答如下.

設(shè)S=5a+22b+c，則有：

將已知條件變形為：

（1）+（2），經(jīng)整理后再由三元均值不等式放縮可得：

筆者研究此題差不多半年時(shí)間，想了很多方法，都沒(méi)有成功.即使看到此題的供題人黃老師提供的答案，仍不得要領(lǐng)，一直揣摩（1）式、（3）式究竟是如何得到的.最近研讀文2、文3，看到福建王淼生老師對(duì)（3）式的來(lái)歷進(jìn)行了深入的剖析，湖北楊先義老師對(duì)（1）式的來(lái)歷進(jìn)行了解釋，并且給出另證.兩位老師深厚的數(shù)學(xué)功底和執(zhí)著的研究精神，令人佩服.引起筆者興趣的是，雖然原解答在（1）式、（3）式的交代上讓人看不清、摸不透，但是這種解法的確是簡(jiǎn)潔而又初等的，黃老師是如何想到的呢？條件中不等式左邊a、b、c的系數(shù)呈現(xiàn)出一種數(shù)學(xué)美，待求式中a、b、c的系數(shù)有點(diǎn)兒“亂”，二者之間是否隱藏著什么規(guī)律？若規(guī)律存在，此問(wèn)題又是否可作一般化推廣？

王老師希望原作者將此題的構(gòu)思、湊配、變形過(guò)程展現(xiàn)出來(lái)，一些關(guān)鍵性步驟給出詳細(xì)的推理過(guò)程.筆者雖不是此題的作者，但對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了一番獨(dú)立的研究后有些許發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)將其整理成文，和各位同仁一起探討.

此題是有一個(gè)約束條件的三元函數(shù)極值問(wèn)題，考慮使用拉格朗日乘數(shù)法求解.

（Ⅱ）再求函數(shù)在邊界a+2b+3c=abc上的可疑點(diǎn)，令拉格朗日函數(shù)為L(zhǎng)（a，b，c，λ）=5a+22b+c+λ（a+2b+3cabc），其中λ是拉格朗日乘數(shù).

令La′=Lb′=Lc′=Lλ′=0，即：

當(dāng)λ=1時(shí)，a=4，b=1，c=6，從而S=5a+22b+c有最小值48.

三元函數(shù)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為空間中的曲線、曲面問(wèn)題，可挖掘此問(wèn)題的幾何意義.條件式表示的是空間直角坐標(biāo)系下曲面Q1：a+2b+3c=abc和三個(gè)平面xOy、yOz、zOx在第一象限所圍成的區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)S= 5a+22b+c表示平面Q2，當(dāng)曲面Q1與平面Q2恰好相切時(shí)，目標(biāo)函數(shù)S=5a+22b+c有最小值.又所圍成的區(qū)域不封閉，故S=5a+22b+c無(wú)最大值.

原解答（1）式中S除以24的目的是為了后面使用均值不等式，而（3）之所以對(duì)進(jìn)行如此分解，是根據(jù)均值不等式的取等條件配湊的，這下終于揭開(kāi)了原解答（1）式、（3）式的神秘面紗.其之所以神秘，就在于命題人較解題者提前知道了不等式取等時(shí)a、b、c的取值，根據(jù)均值不等式取等條件合理配湊.為了保持答案的簡(jiǎn)潔與初等，黃老師在解答上略去了不等式取等時(shí)a、b、c的取值來(lái)歷這一重要步驟，故讀者看到解答后仍云里霧里.

在以上利用均值不等式求解待求因式的最小值過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)待求式a、b、c的系數(shù)受條件a、b、c取值的影響.不定方程a+2b+3c=abc有無(wú)數(shù)組正實(shí)數(shù)解，當(dāng)a、b、c的取值發(fā)生變化時(shí)，待求式a、b、c的系數(shù)有何變化呢？

文3深入研究了不定方程a+2b+3c=abc，此處不妨取其中一組解a=8，b=1，c=2探究.根據(jù)以上思路，當(dāng)a=8，b= 1時(shí)，即對(duì)配湊，有；當(dāng)b=1，c=2時(shí)，當(dāng)c=2，a=8時(shí)

由以上分析過(guò)程，立即可以“造出”類似不等式問(wèn)題：若正數(shù)a、b、c滿足a+2b+3c≤abc，求a+14b+5c的最小值.

為進(jìn)一步分析不定方程a+2b+3c=abc的正實(shí)數(shù)解與待求式a、b、c的系數(shù)的關(guān)系，研究更一般的情況.

正數(shù)a、b、c滿足pa+qb+rc=abc，其中p、q、r是正常數(shù).若此方程有一組解a=x，b=y，c=z，則三式相加，則

將其整理，即得到以下結(jié)論.

結(jié)論1：若正數(shù)a、b、c分別為x、y、z時(shí)，pa+qb+rc≤abc的等號(hào)成立，其中p、q、r是正常數(shù)，則

當(dāng)p=1，q=2，r=3，方程a+2b+3c=abc取解a=4，b=1，c= 6時(shí)，即為以上2080號(hào)數(shù)學(xué)問(wèn)題.

已知正數(shù)a、b、c滿足2a+4b+7c≤2abc，求a+b+c的最小值.

進(jìn)一步推廣，還可以得到下面的結(jié)論.

結(jié)論2：若正數(shù)a、b、c分別為x、y、z時(shí)，pa+qb+rc≤abc的等號(hào)成立，其中p、q、r是正常數(shù)，n∈N*，則≥（n+2）（px+qy+rz）-nxyz.

此結(jié)論的證明，留給感興趣的讀者.

從上面的分析可知，在已知等號(hào)成立的前提下利用均值不等式配湊求解此類不等式，過(guò)程簡(jiǎn)潔，形式優(yōu)美.根據(jù)文1中的解答，筆者猜測(cè)黃老師的命題思路即源自于此.此題的難點(diǎn)在于不等式取等時(shí)a、b、c的取值.故在a、b、c取值未知的情況下，即使黃老師給出了解答，但（1）、（3）式的出現(xiàn)讓讀者感到突然，猶如魔術(shù)師的帽子中跑出一只兔子來(lái).在以上求解過(guò)程中，我們借助高等數(shù)學(xué)中的拉格朗日乘數(shù)法確定不等式取等時(shí)a、b、c的取值后，再回過(guò)頭看文1的解答，也就不足為奇了.

1.黃兆麟.數(shù)學(xué)問(wèn)題解答2080［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2012（9）.

2.王淼生.追尋數(shù)學(xué)問(wèn)題2080解答的本來(lái)面目［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（11）.

3.楊先義.也談數(shù)學(xué)問(wèn)題2080題的解答［J］.數(shù)學(xué)通訊（教師版），2014（11）.

4.李歆.均值不等式的變式探究及其應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（9）.A