張秋爽

提到數(shù)學(xué)思想，我們就會想到轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、對應(yīng)、函數(shù)、分類等?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》），明確了數(shù)學(xué)的“基本思想”主要有數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想和數(shù)學(xué)模型的思想，因為這些思想既是數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展所依賴的根本，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以后應(yīng)該具備的思維能力。本文筆者將結(jié)合教學(xué)實踐談?wù)剬?shù)學(xué)抽象的理解、分類及實踐。

一、多角度地理解數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，無論概念、運算律還是公式等都是高度概括的結(jié)果。數(shù)學(xué)抽象就是把與數(shù)學(xué)有關(guān)的知識引入數(shù)學(xué)內(nèi)部。人類通過數(shù)學(xué)抽象，從客觀世界中得到數(shù)學(xué)的概念和法則，從而建立了數(shù)學(xué)學(xué)科。如1，2，3，4等數(shù)是從具體實物抽象的結(jié)果，a-1，a，a+1這三個連續(xù)的自然數(shù)（a∈N且a≥1）也是從大量確定的實例中抽象出來的結(jié)果，點、線、面、體也是抽象出來的。

那么對于數(shù)學(xué)抽象可以從哪幾個維度去理解呢？筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)抽象從教學(xué)內(nèi)容上分可以分為概念抽象、關(guān)系抽象、規(guī)律抽象和方法抽象等。

（一）概念抽象

這里的概念抽象是從廣義上而言的，教學(xué)內(nèi)容分別包括：數(shù)的抽象、圖形的抽象、概念、法則以及定律的抽象等。

經(jīng)歷數(shù)的抽象過程：“2”是由“2個蘋果、2支筆、2粒扣子、2張桌子”等具體實物抽象出來的；分?jǐn)?shù)是測量或者分東西得不到整數(shù)的情況下產(chǎn)生的；負(fù)數(shù)表示意義相反的量，是從生活中的溫度計中的零下5℃、電梯的地下2層、吐魯番盆地的海拔高度、工資卡支出的錢數(shù)等實例中抽象出來的。

經(jīng)歷圖形的抽象過程：空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，從這句話中可以看出幾何圖形也是抽象出來的。如什么是圓？圓在生活中普遍存在，它是軸對稱圖形和中心對稱圖形。圓的認(rèn)識過程可以通過摸一摸、折一折、描一描、量一量等方法，讓學(xué)生建立對圓的直觀認(rèn)識，是脫離了生活中的光盤、井蓋、車輪子等具體實物的物理屬性而對形狀進(jìn)行抽象的結(jié)果。

經(jīng)歷概念的抽象過程：封閉圖形一周的長度叫作周長；物體表面或平面圖形的大小叫作面積；含有未知數(shù)的等式叫作方程。這些概念本身只是描述性的定義，學(xué)生會背誦就代表他們已經(jīng)理解了嗎？顯然不是的，概念同樣需要讓學(xué)生經(jīng)歷抽象的過程。

以“平均分”這個概念的學(xué)習(xí)為例，教師可舉多個例證，來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概念的抽象。

把8朵花放在2個花瓶里，每個花瓶里放4朵，每瓶插的同樣多就是平均分；

把9個蘋果分給3個人，每個人分3個，每人得到同樣多就是平均分；

把50本數(shù)學(xué)書分給50個人，每人得到1本，每人得到同樣多就是平均分。

教師在給學(xué)生舉了多個例子之后，學(xué)生就能逐步感悟：分什么都可以，分多少份都行，只要每一份同樣多就是平均分。

經(jīng)歷計算算理的抽象過程：對于計算教學(xué)，“理解算理，掌握算法”是重中之重，要讓學(xué)生體會算理直觀和算法抽象的過程。以數(shù)的加減法為例，整數(shù)加減法、小數(shù)加減法和分?jǐn)?shù)加減法，教師可給學(xué)生提供直觀模型：小棒、方格紙、人民幣等，讓學(xué)生體會計數(shù)單位相同才能相加減。

經(jīng)歷計算算法的抽象過程：在計算算法的抽象中，以“萬以內(nèi)數(shù)的加法”一課為例，教師可以給學(xué)生出幾個算式，讓學(xué)生知道第一步要相同數(shù)位對齊，逐步體會“個位滿十向十位進(jìn)1，十位滿十向百位進(jìn)1，百位滿十向千位進(jìn)1”，當(dāng)然也包括連續(xù)進(jìn)位的例子。學(xué)生有了這些實例的體驗和感悟，就能抽象出“哪一位滿十就向前一位進(jìn)1”的結(jié)論。這個抽象過程運用了數(shù)學(xué)推理中的合情推理。

（二）規(guī)律抽象

“探索規(guī)律”在第一學(xué)段和第二學(xué)段都有涉及，《課程標(biāo)準(zhǔn)》對于第一學(xué)段的要求是“探索簡單情境下的變化規(guī)律”；對于第二學(xué)段要求是“探索給定情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢”?！疤剿饕?guī)律”既是一個發(fā)現(xiàn)關(guān)系、發(fā)展思維的過程，也是經(jīng)歷規(guī)律獲得的抽象過程?！疤剿饕?guī)律”包括數(shù)的規(guī)律、形的規(guī)律、式的規(guī)律等，都是用已知推想未知。

（三）關(guān)系抽象

小學(xué)數(shù)學(xué)是一門關(guān)系學(xué)科，包括數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系等。數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系有大小關(guān)系、相差關(guān)系、比率關(guān)系等。如王阿姨買了2千克梨、4千克蘋果。那么梨比蘋果少2千克，蘋果比梨多2千克；買的蘋果是梨的2倍，梨是蘋果的；蘋果和梨的比是2：1。這里倍數(shù)、份、分?jǐn)?shù)和比有著密切的聯(lián)系，它們的本質(zhì)是比率關(guān)系。

在“數(shù)與代數(shù)”這個領(lǐng)域，除了數(shù)之間的關(guān)系，還有數(shù)量關(guān)系。加、減、乘、除四種運算體現(xiàn)著不同的數(shù)量關(guān)系。以乘法為例，隨著知識的豐富、年級的升高，學(xué)生認(rèn)識了單價、數(shù)量、總價之間的關(guān)系，理解了速度、時間、路程之間的關(guān)系，也掌握了工作效率、工作時間、工作總量之間的關(guān)系，就會發(fā)現(xiàn)其實它們都是求每份數(shù)、份數(shù)和總數(shù)之間的關(guān)系，也就是乘法模型。這是一個循序漸進(jìn)、逐步抽象的過程。

在“圖形與幾何”領(lǐng)域，圖形之間可以有全等關(guān)系或相似關(guān)系等；從圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系角度可以分為包含關(guān)系、交叉關(guān)系等。如在平面圖形中，長方形、正方形和平行四邊形都是四邊形，它們之間具有怎樣的關(guān)系呢？正方形是特殊的長方形，長方形是特殊的平行四邊形?？梢杂孟聢D表示它們之間的關(guān)系：

（四）思想方法的抽象

由“數(shù)學(xué)抽象的思想”派生出來的下一層次的思想包括：分類、集合、數(shù)形結(jié)合、“變中有不變”、符號表示、對稱、對應(yīng)、有限與無限的思想等。教師在教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生習(xí)得方法，更要重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，并在教學(xué)中有意識地滲透思想方法。

如“分類”是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中經(jīng)常會遇到分類問題，如數(shù)的分類、圖形的分類、代數(shù)式的分類、函數(shù)的分類等。在研究數(shù)學(xué)問題中，常常需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對事物共性的抽象過程。

“分與合”也是一種重要的思想方法。數(shù)的認(rèn)識中就有“分與合”的思想，如1234是由1個千、2個百、3個十和4個一組成的，10.34是由1個10、3個0.1和4個0.01組成的……數(shù)的計算也是如此，計算123×4，就是把100個4、20個4和3個4合起來；除數(shù)是一位數(shù)的除法，先分整捆的，再分單根，最后把分的結(jié)果合起來。計算中也運用到了“分與合”的思想，如以下算式：endprint

平面圖形面積的學(xué)習(xí)則離不開“轉(zhuǎn)化”。長（正）方形面積的計算方法是利用小的面積單位密鋪得到的，每行的個數(shù)乘行數(shù)就是面積；接下來學(xué)習(xí)的平行四邊形面積、三角形面積、梯形面積、圓的面積等都是通過“轉(zhuǎn)化”成已學(xué)過的圖形，在保證等積變形的基礎(chǔ)上獲得新圖形面積的計算方法的。

二、有層次地進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的分類

數(shù)學(xué)抽象從認(rèn)知層面可以分為三個層次：抓住事物特征、語言表達(dá)；抓住事物本質(zhì)、符號表達(dá)；抓住事物關(guān)聯(lián)、模型表達(dá)。層層深入，共同作用，完成學(xué)生對概念的深入理解和掌握。

如對周長、面積、體積本質(zhì)的理解可以用語言來表達(dá)：周長是長度單位個數(shù)的累加；面積是面積單位個數(shù)的累加；體積是體積單位個數(shù)的累加。讓學(xué)生體會度量的思想。

乘法分配律的抽象既可以用語言表達(dá)、用符號表達(dá)，也可以用模型表達(dá)。

兩個數(shù)的和同一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別同這個數(shù)相乘，再把兩個積相加，結(jié)果不變。這就是語言表達(dá)； （a+b）×c= a×c+b×c，這是符號表達(dá)。

又如“正比例的意義”的學(xué)習(xí)，通過學(xué)生能理解的多個素材獲得對概念的抽象過程，也可以用三種抽象來表達(dá)。

語言表達(dá)：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值一定，也就是商一定，這兩種量就叫作成正比例的量，它們的關(guān)系叫作正比例關(guān)系。

教師在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點和接受程度，讓學(xué)生的抽象概括能力分階段、有層次地發(fā)展，在循序漸進(jìn)中獲得對概念的豐富理解。

三、有意識地進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的實踐

小學(xué)生受自身思維和認(rèn)識水平的制約，在學(xué)習(xí)中必須借助感性認(rèn)識才能實現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念、公式、數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系等的掌握，因此需要教師精心設(shè)計活動，有必要讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，了解知識的來龍去脈，感受概念的抽象概括歷程。

對于抽象的數(shù)學(xué)知識，可以借助教具的演示、多樣化學(xué)具的操作，讓抽象知識形象化。

對于抽象的數(shù)學(xué)定律，需要找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點，能夠在已知和未知之間架起一道橋梁，讓數(shù)學(xué)的抽象水到渠成。

對于抽象的關(guān)系，要從生活中尋找原型，多舉實例，從概念的動作表征、表象表征和符號表征等多個表征理解概念，能夠透過現(xiàn)象看本質(zhì)。

對于抽象的數(shù)學(xué)概念，要像泡壓縮餅干一樣慢慢泡開，體現(xiàn)舉三反一的過程，并在生活中應(yīng)用概念，詮釋舉一反三的含義。與此同時，要和數(shù)學(xué)的推理、數(shù)學(xué)的模型結(jié)合在一起，貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，共同承擔(dān)對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象概括能力的培養(yǎng)。

（北京市順義區(qū)教育研究考試中心 101300）endprint