張杰

教科書(shū)里的數(shù)學(xué)知識(shí)，有著準(zhǔn)確的定義、邏輯的演繹、嚴(yán)密的推理，被顯性地印在紙上，看起來(lái)直觀明了，卻也因此掩蓋了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的真實(shí)過(guò)程，忽略了數(shù)學(xué)家繁復(fù)曲折的數(shù)學(xué)思考。因此，數(shù)學(xué)教師的責(zé)任在于返璞歸真，在符合教育心理規(guī)律的前提下揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，還數(shù)學(xué)本來(lái)面目。正因?yàn)橛羞@樣的認(rèn)識(shí)，在吳正憲老師的數(shù)學(xué)課堂上，我們總能看到吳老師借助一個(gè)個(gè)的問(wèn)題，來(lái)激起學(xué)生內(nèi)心深處學(xué)習(xí)、求知、探索的欲望。正是有了這樣的激發(fā)，這樣的體驗(yàn)，學(xué)生探求數(shù)學(xué)知識(shí)本源的愿望呼之欲出。吳老師曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，教師“不僅要讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)結(jié)論，更要帶著學(xué)生溯本求源去尋根。讓學(xué)生看到知識(shí)背后的知識(shí)，還有知識(shí)背后的思考”。下面就讓我們一起走進(jìn)吳老師的追本溯源的尋根課堂吧。

一、在體驗(yàn)中“追本”

在課堂教學(xué)中，有教師常常習(xí)慣性地將成人的觀念，披上所謂“知識(shí)”的外衣，用標(biāo)準(zhǔn)化答案的方式灌輸給學(xué)生，剝奪了學(xué)生體驗(yàn)與感悟的過(guò)程。如有教師在教學(xué)“面積單位”一課時(shí)偏重于面積的計(jì)算和單位的換算，一味強(qiáng)調(diào)1平方厘米、1平方分米和1平方米各有多大。此舉看似重視了學(xué)生空間觀念的建立，殊不知卻忽視了量的實(shí)際意義。試想沒(méi)有觸及學(xué)生心靈深處的“知識(shí)”，如何能夠?qū)さ綌?shù)學(xué)的“根”呢？

同樣是“面積單位”一課，在吳老師的課堂上卻無(wú)時(shí)無(wú)刻不在開(kāi)展以學(xué)生體驗(yàn)為基礎(chǔ)的教學(xué)活動(dòng)，吳老師注重結(jié)合實(shí)例讓學(xué)生用自選的單位去測(cè)量面積，在不斷的矛盾沖突中親身體驗(yàn)統(tǒng)一面積單位的必要性，為此特別設(shè)計(jì)了這樣一組情節(jié)：首先請(qǐng)學(xué)生拿出兩張面積大小很接近的長(zhǎng)方形和正方形彩紙，想辦法比較出這兩張彩紙誰(shuí)的面積大？學(xué)生接到任務(wù)，紛紛投入到了探索活動(dòng)中。很快，有的學(xué)生就發(fā)現(xiàn)了用重合、剪拼的方法能夠很快地比較出兩者的大小，并通過(guò)自己的實(shí)踐找到了問(wèn)題的答案。

可是，接下來(lái)吳老師提出了一個(gè)更具挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，可謂吊足了學(xué)生的胃口：如果是比較兩塊土地的面積誰(shuí)大，用剛才的方法還行不行？那你們有什么辦法可以比較出土地的大小？在經(jīng)過(guò)一番思考后，有的學(xué)生提出可以借用一個(gè)物體作標(biāo)準(zhǔn)，先分別測(cè)量出兩塊土地的面積，再進(jìn)行比較。有了新的想法，于是課堂上便有了學(xué)生的第二次操作。每組學(xué)生利用學(xué)具袋中的學(xué)具（若干個(gè)長(zhǎng)方形、正方形、三角形和圓形的紙片）先分別測(cè)量出兩張紙的面積，再將測(cè)量的結(jié)果進(jìn)行比較。學(xué)生在這次拼擺過(guò)程中不僅發(fā)現(xiàn)了圓與圓之間有縫隙，不能準(zhǔn)確測(cè)量出圖形的面積。還發(fā)現(xiàn)了因?yàn)楦餍〗M選擇的測(cè)量圖形不同，雖然長(zhǎng)方形、正方形、三角形都能準(zhǔn)確測(cè)量出圖形的面積，并比較出彩紙的大小，但涉及到大多少這個(gè)問(wèn)題時(shí)得到的答案卻不一致。

誰(shuí)大 大多少

通過(guò)動(dòng)手體驗(yàn)，學(xué)生們很快得出了這樣一個(gè)結(jié)論：需要選擇一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，這樣才便于交流。選誰(shuí)好呢？這似乎又成為了擺在學(xué)生面前的一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。不過(guò)在這里吳老師并沒(méi)有刻意為難學(xué)生，而是直接告訴大家在人類歷史上最終選擇的是用正方形作為測(cè)量面積的標(biāo)準(zhǔn)，并請(qǐng)同學(xué)們思考其中的原因。此時(shí)，學(xué)生的頭腦中會(huì)再次呈現(xiàn)剛才的拼擺過(guò)程，在回憶中仿佛又進(jìn)行了一次操作?！叭切纹磾[起來(lái)太麻煩了，老對(duì)不上?！薄伴L(zhǎng)方形因?yàn)橄噜弮蓷l邊的長(zhǎng)度不同，拼擺起來(lái)也比較麻煩?！薄皩?duì)，正方形4條邊長(zhǎng)度相等，特別好拼擺。”……在同學(xué)間的相互啟迪、交流中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)無(wú)論是三角形還是長(zhǎng)方形最終都可以轉(zhuǎn)化成正方形，因此，人們選擇正方形作為一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)還是有道理的。

此時(shí)看來(lái)問(wèn)題好像解決了，可接下來(lái)的一個(gè)游戲卻使學(xué)生剛剛建立起來(lái)的認(rèn)知平衡，又一次被無(wú)情的事實(shí)擊垮了。游戲的內(nèi)容是這樣的：首先請(qǐng)男生閉眼，女生觀察并用語(yǔ)言描述自己所看到的A紙的面積相當(dāng)于幾個(gè)小正方形的面積？然后交換角色，男生觀察并用語(yǔ)言描述自己看到的B紙的面積又相當(dāng)于幾個(gè)小正方形的面積？如圖：

A B

然后大家都睜開(kāi)眼，猜一猜哪張彩紙面積大？因?yàn)锳紙的面積相當(dāng)于4個(gè)小正方形的面積，而B(niǎo)紙的面積相當(dāng)于16個(gè)小正方形的面積，學(xué)生想當(dāng)然地認(rèn)為B紙面積比A紙面積大?？蓪蓮埣堉睾媳容^的結(jié)果卻是兩張紙的面積一樣大。是什么影響了測(cè)量的準(zhǔn)確性？疑問(wèn)使學(xué)生又一次產(chǎn)生了探索的欲望，他們爭(zhēng)相陳述著自己的見(jiàn)解，當(dāng)謎底揭開(kāi)的那一刻，學(xué)生都笑了。笑聲中不僅有猜想得到驗(yàn)證后的欣喜，更提醒著他們今后在選擇正方形作測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)的同時(shí)還要注意統(tǒng)一它的大小。

那多大合適呢？問(wèn)題似乎一個(gè)接著一個(gè)，可以說(shuō)整堂課自始至終學(xué)生都是在操作中體驗(yàn)，在體驗(yàn)中質(zhì)疑、思考，在體驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造，在體驗(yàn)中抽象、提升。

下課的鈴聲響了，盡管學(xué)生沒(méi)能有更多的時(shí)間在課堂上做一些有關(guān)面積單位的鞏固練習(xí)題，但他們卻在充足的時(shí)間內(nèi)用自己的頭腦和雙手進(jìn)行了一次次的實(shí)驗(yàn)和探索，親身經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，對(duì)這堂課的“知識(shí)”顯然理解得更加透徹，感悟到的也更多了。這難道不比多做幾道練習(xí)題更有價(jià)值嗎？

二、在歷史中“溯源”

有句話叫作“不懂歷史的人沒(méi)有根”。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也是一樣。追本溯源的數(shù)學(xué)課堂更應(yīng)該有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生去了解數(shù)學(xué)之源。以“圓的周長(zhǎng)計(jì)算”一課為例，當(dāng)學(xué)生通過(guò)觀察、操作、思考，發(fā)現(xiàn)了“圓的周長(zhǎng)總是它直徑的3倍多一些”這個(gè)規(guī)律時(shí)，通常教師的做法是先肯定學(xué)生發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，然后反問(wèn)：“到底是3倍多多少呢？”由此引出圓周率π。“圓周率是怎樣發(fā)現(xiàn)的？”由此引導(dǎo)學(xué)生翻看課本小資料，講述祖沖之的故事并對(duì)學(xué)生進(jìn)行德育教育：早在1500年前，祖沖之把圓周率算到了3.1415926和3.1415927之間，比外國(guó)人早了整整一千年，這是中華民族對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)巨大貢獻(xiàn)，今天，同學(xué)們自己動(dòng)手也發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律，老師相信同學(xué)們當(dāng)中將來(lái)也會(huì)有人成為像祖沖之一樣偉大的科學(xué)家。根據(jù)需要，在計(jì)算中我們一般保留π的兩位小數(shù)。

吳老師在教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，并沒(méi)有馬上對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)的規(guī)律予以肯定，而是又提出了新的問(wèn)題：“用實(shí)驗(yàn)的方法得到的數(shù)據(jù)，受誤差的影響會(huì)不夠精確，那怎么辦？到底圓的周長(zhǎng)與直徑之間存在的這個(gè)3倍多一些的關(guān)系是變化的還是確定不變的？如果是確定不變的又該怎樣得到呢？“這一問(wèn)題顯然難倒了學(xué)生。因?yàn)槭聦?shí)上這個(gè)令人頭疼的問(wèn)題同樣曾經(jīng)困擾了人類數(shù)千年！endprint

此時(shí)，學(xué)生們絞盡腦汁，而吳老師正是利用了學(xué)生的這一思維節(jié)點(diǎn)，對(duì)圓周率的歷史進(jìn)行了介紹：在古代巴比倫、印度、埃及、中國(guó)，由于生產(chǎn)生活的需要，人們用實(shí)驗(yàn)測(cè)量的方法就已經(jīng)知道，圓的周長(zhǎng)與直徑之比大約為3。公元前2世紀(jì)，中國(guó)的《周髀算經(jīng)》里也出現(xiàn)了“周三徑一”的記載。東漢時(shí)期官方還明文規(guī)定計(jì)算圓大小的標(biāo)準(zhǔn)是取周長(zhǎng)與直徑的比值3，后人稱之為“古率”。用這個(gè)古率估計(jì)圓的面積時(shí)，沒(méi)有太大影響，但以此來(lái)制造精細(xì)的圓形器皿就不太合適了。為求得圓的周長(zhǎng)與直徑更精確的比值，人類走過(guò)了一條漫長(zhǎng)而曲折的道路！

此時(shí)，吳老師特別介紹了割圓術(shù)，并借助電腦進(jìn)行了演示。

通過(guò)電腦的演示，學(xué)生很直觀地就能發(fā)現(xiàn)正多邊形的邊數(shù)越多越接近圓。

吳老師又提問(wèn)：此時(shí)這個(gè)正多邊形的周長(zhǎng)仍然只是圓的周長(zhǎng)的近似值！但卻是可以控制的了，可以用計(jì)算的方法來(lái)代替操作測(cè)量的方法了，而且這種方法所能達(dá)到的精確程度是操作測(cè)量永遠(yuǎn)無(wú)法達(dá)到的！我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽正是用這樣一種全新的割圓的思想來(lái)研究圓的周長(zhǎng)與直徑的比值的！這就是著名的——割圓術(shù)！后來(lái)，我國(guó)另一位偉大的數(shù)學(xué)家祖沖之，繼承并發(fā)揚(yáng)了劉徽的思想，他將這個(gè)比值精確到3.1415926與3.1415927之間，這是人類歷史上第一次將這個(gè)比值算得如此精確，并且這個(gè)紀(jì)錄保持了將近一千年而無(wú)人超越！再后來(lái)，歷經(jīng)中外許多數(shù)學(xué)家嘔心瀝血、堅(jiān)苦卓絕的演算、證明，人們終于認(rèn)識(shí)到：圓的周長(zhǎng)（C）與直徑（d）的比值，是一個(gè)固定不變的數(shù)，是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)，稱之為圓周率，用希臘字母π來(lái)表示。當(dāng)然，人類對(duì)圓周率的探索從未停止過(guò)，計(jì)算機(jī)的誕生結(jié)束了人類手工計(jì)算π的歷史，目前最新的世界紀(jì)錄是：日本科學(xué)家利用超級(jí)計(jì)算機(jī)已經(jīng)將圓周率算到了小數(shù)點(diǎn)后上萬(wàn)億位！

這樣一節(jié)數(shù)學(xué)課，除了有數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)外，還洋溢著濃濃的人文氣息。在揭示圓周率時(shí)，吳老師沒(méi)有例行公事一樣地推出學(xué)生早已熟悉的祖沖之，進(jìn)行老生常談的愛(ài)民族、愛(ài)祖國(guó)的教育，而是介紹了劉徽的“割圓術(shù)” 。接著談到祖沖之是站在前人的肩膀上才有了將π值精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的輝煌成就。在此過(guò)程中，學(xué)生親歷正多邊形逼近圓的過(guò)程，體會(huì)割圓術(shù)中所閃爍的化曲為直、極限等豐富的數(shù)學(xué)思想內(nèi)涵，同時(shí)經(jīng)歷了圓周率的研究史。吳老師還在看似簡(jiǎn)單的敘述中滲透了數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生體會(huì)到人類對(duì)真理和完美的追求正像圓周率的小數(shù)位數(shù)無(wú)窮無(wú)盡一樣，也是永無(wú)止境的。使得學(xué)生的心靈徜徉在數(shù)學(xué)的歷史長(zhǎng)河里，切身感受著數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。

吳老師的課堂向我們展示了數(shù)學(xué)極富魅力的一面。呈現(xiàn)在學(xué)生面前的不再是以往數(shù)學(xué)課上乏味單一的定理、公式、計(jì)算和題海，而是數(shù)學(xué)的思想、精神和方法。在吳老師的課堂上，我們可以隨時(shí)隨地觸覺(jué)到數(shù)學(xué)的源頭、數(shù)學(xué)的精神乃至數(shù)學(xué)的力量，似乎呈現(xiàn)在我們眼前的不再是一兩頁(yè)薄薄的教材，而是一幅源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的數(shù)學(xué)畫(huà)卷。吳老師讓更多的學(xué)生感受到數(shù)學(xué)雖然從表面上看是枯燥無(wú)味的，然而它卻有著一種更為隱蔽的、深邃的美，一種感性與理性交融的美，一種彰顯人文精神的科學(xué)美。

（北京市東城區(qū)教育研修學(xué)院 100000）endprint