李 召 軍， 李 征， ， 李 克 秋

( 1.大連理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 遼寧 大連 116024；2.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 大連 116024 )

工程力學(xué)

一種汽輪機(jī)基礎(chǔ)的并行多目標(biāo)優(yōu)化方法

( 1.大連理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 遼寧 大連 116024；2.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 大連 116024 )

提出一種汽輪機(jī)基礎(chǔ)的并行多目標(biāo)優(yōu)化方法，旨在搜尋能夠使汽輪機(jī)基礎(chǔ)的質(zhì)量和最大動位移取得最小值的設(shè)計(jì)變量的解．基礎(chǔ)的質(zhì)量可用其梁柱截面積的線性表達(dá)式表達(dá)，而其在外加擾力作用下產(chǎn)生的動位移可由黑箱優(yōu)化方法計(jì)算獲?。贙riging替代函數(shù)模型建立的基礎(chǔ)梁柱截面積與動位移的近似表達(dá)式基礎(chǔ)上，發(fā)展了基于熵的期望提高準(zhǔn)則用于提高優(yōu)化的精度，并使用并行計(jì)算策略提高優(yōu)化的效率．對兩個實(shí)際汽輪機(jī)基礎(chǔ)算例優(yōu)化的結(jié)果表明，該方法可以有效解決該類工程優(yōu)化問題，得到比較理想的優(yōu)化解．

汽輪機(jī)基礎(chǔ)；多目標(biāo)優(yōu)化；Kriging；并行計(jì)算；期望提高

0 引 言

汽輪機(jī)基礎(chǔ)通常是包含梁柱結(jié)構(gòu)的混凝土基礎(chǔ)框架，其荷載一般包括基礎(chǔ)的自重以及基礎(chǔ)之上電機(jī)轉(zhuǎn)動所產(chǎn)生的動擾力．汽輪機(jī)基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)原則是在降低基礎(chǔ)質(zhì)量的同時，盡量減少其產(chǎn)生的動位移．在傳統(tǒng)的嚴(yán)格設(shè)計(jì)中，柱的位置是固定的并且基礎(chǔ)頻率比擾力頻率要高很多；但現(xiàn)代的靈活設(shè)計(jì)中，柱的位置是可變的，并且基礎(chǔ)頻率也可以小于擾力頻率．現(xiàn)階段汽輪機(jī)基礎(chǔ)的體積越來越大，傳統(tǒng)意義上的嚴(yán)格設(shè)計(jì)已經(jīng)不再適用，靈活的基礎(chǔ)設(shè)計(jì)模式在當(dāng)今的汽輪機(jī)基礎(chǔ)設(shè)計(jì)領(lǐng)域占據(jù)了主導(dǎo)地位[1]．

近年來，工程優(yōu)化設(shè)計(jì)發(fā)展迅猛．將優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用在汽輪機(jī)基礎(chǔ)設(shè)計(jì)時，梁柱的截面積及柱的幾何位置都可以作為設(shè)計(jì)變量，最終實(shí)現(xiàn)靈活設(shè)計(jì)的目的．通常這類工程優(yōu)化問題都是帶約束的多設(shè)計(jì)變量多目標(biāo)問題．而黑箱優(yōu)化方法的出現(xiàn)，無疑為解決這類問題提供了全新的思路[2]．

20世紀(jì)70年代以來快速發(fā)展的高性能計(jì)算技術(shù)為資源密集型的工程優(yōu)化問題提供了便利．并行計(jì)算技術(shù)作為代表，在幾十年的發(fā)展過程中得到了長足的進(jìn)步，并出現(xiàn)了許多通用的編程框架和計(jì)算環(huán)境．如何將這些技術(shù)應(yīng)用在工程優(yōu)化問題特別是汽輪機(jī)基礎(chǔ)的優(yōu)化設(shè)計(jì)當(dāng)中以獲取最大的效率提高，是一個亟須解決的實(shí)際應(yīng)用問題[3]．

本文提出的并行多目標(biāo)優(yōu)化方法建立在黑箱優(yōu)化的基礎(chǔ)上，通過ANSYS軟件作為黑箱方法計(jì)算基礎(chǔ)在擾力下的動位移，使用Kriging代理模型模擬動位移和設(shè)計(jì)截面變量的函數(shù)關(guān)系；同時，設(shè)計(jì)一種基于熵的期望提高準(zhǔn)則用來添加優(yōu)化解，并使用并行計(jì)算技術(shù)完成整個優(yōu)化過程；最后對由兩個實(shí)際基礎(chǔ)組成的優(yōu)化算例進(jìn)行測試以驗(yàn)證其有效性．

1 研究背景

1.1 黑箱優(yōu)化方法

通常情況下工程優(yōu)化應(yīng)用包含幾個相似的過程:(1)抽樣，采用抽樣算法根據(jù)設(shè)計(jì)變量上下限獲取一定規(guī)模的樣本組群；(2)分析，使用通用或特定的工程應(yīng)用軟件得到所有樣本的響應(yīng)值；(3)建模，在樣本和響應(yīng)值之間建立一個近似的數(shù)學(xué)模型(如果不使用替代函數(shù)法，該過程可省略)；(4)優(yōu)化，采用某種優(yōu)化算法在給定的約束和設(shè)計(jì)變量上下限范圍內(nèi)得到最優(yōu)值；(5)計(jì)算最優(yōu)值樣本的目標(biāo)函數(shù)值，使用同樣的軟件計(jì)算該優(yōu)化值的響應(yīng)值；(6)收斂檢測，若優(yōu)化值滿足所有約束條件且其目標(biāo)函數(shù)值符合優(yōu)化要求，則該優(yōu)化值即為最終的優(yōu)化解，否則將該優(yōu)化值與其響應(yīng)值分別加入樣本組群和目標(biāo)函數(shù)組群，轉(zhuǎn)過程(3)[2，4]．

而黑箱優(yōu)化方法，顧名思義，就是將上述各個階段均采用相對獨(dú)立的模塊完成對應(yīng)的功能，上下模塊間使用標(biāo)準(zhǔn)的輸入輸出進(jìn)行參數(shù)的傳遞，并使用通用型的控制程序完成整個優(yōu)化過程．整個優(yōu)化應(yīng)用執(zhí)行期間，子模塊各司其職，就如同一個個不透明的黑箱，因此這種序列化和標(biāo)準(zhǔn)化的工程優(yōu)化過程也被廣泛稱為黑箱優(yōu)化．因抽樣、分析、建模等黑箱過程均在實(shí)際問題中有許多可以利用的商業(yè)或開源軟件及程序，黑箱優(yōu)化方法也被設(shè)計(jì)人員大量采用和推廣[4-5]．

1.2 通用工程分析軟件

工程領(lǐng)域在應(yīng)用分析軟件的使用上逐漸形成了一系列通用的選擇:結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的ANSYS和ABAQUS；模具設(shè)計(jì)中的Moldflow和Unigraphics UX；建筑設(shè)計(jì)中的Revit、3DMax和AutoCAD等．近年來，越來越多的數(shù)據(jù)中心開始以集中服務(wù)形式(如云平臺)提供給用戶使用這些軟件的各項(xiàng)功能，在方便用戶使用的同時，也極大地節(jié)約了能源和購買成本．這些軟件豐富的應(yīng)用編程接口(API)進(jìn)一步使得用戶可針對具體的應(yīng)用開發(fā)出特定的優(yōu)化邏輯和優(yōu)化模型，極大地促進(jìn)了工程優(yōu)化領(lǐng)域的發(fā)展[6]．

1.3 優(yōu)化算法

蟻群算法(ant colony optimization)、粒子群算法(particle swarm optimization)、遺傳算法(genetic algorithm)和序列二次規(guī)劃(sequential quadratic programming)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(artificial neural networks)算法等是近些年比較流行的優(yōu)化算法．具體問題不同，算法選擇也不一．這些算法對工程優(yōu)化領(lǐng)域的理論研究及實(shí)際應(yīng)用產(chǎn)生了重要的影響．對這些優(yōu)化算法的具體分析已經(jīng)超過了本文的范圍[7]．

1.4 并行計(jì)算技術(shù)

20世紀(jì)70年代之后，諸如多核及多處理機(jī)計(jì)算機(jī)廣泛發(fā)展，并行計(jì)算技術(shù)也因此產(chǎn)生，用來充分利用這些硬件提升所帶來的計(jì)算便利．這期間出現(xiàn)了諸多并行算法與編程語言，消息處理接口(MPI)便是比較流行的一種[3]．

隨后，集群計(jì)算開始出現(xiàn):將硬件和軟件環(huán)境類似的物理機(jī)通過高性能網(wǎng)絡(luò)設(shè)備加以互聯(lián)，輔以并行計(jì)算環(huán)境的配置，可被用來處理更多更復(fù)雜和更耗時的計(jì)算任務(wù)．通常，集群通過批處理作業(yè)管理系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算任務(wù)的管理，如OpenPBS．組成一個集群的計(jì)算機(jī)硬件一般包括磁盤處理單元、控制節(jié)點(diǎn)、計(jì)算節(jié)點(diǎn)及網(wǎng)絡(luò)設(shè)備等[8]．

1.5 Kriging替代函數(shù)模型

諸如梁柱截面等汽輪機(jī)基礎(chǔ)優(yōu)化中的設(shè)計(jì)變量值(樣本)和在動擾力作用下這些樣本產(chǎn)生的動位移(響應(yīng)值)之間存在某種隱函數(shù)關(guān)系．基于這些樣本和它們的響應(yīng)值，Kriging可以計(jì)算出一種替代的多項(xiàng)式函數(shù)模型．假設(shè)樣本組為x=(x1x2…xn)，對應(yīng)的響應(yīng)值為y，Kriging模型可構(gòu)建為[9]

(1)

該模型包含線性回歸部分和隨機(jī)部分．β為回歸系數(shù)；f(x)為確定性漂移，通常使用x的多項(xiàng)式形式對整個設(shè)計(jì)域進(jìn)行全局近似；隨機(jī)函數(shù)z(x)為波動，對整個設(shè)計(jì)域進(jìn)行局部近似，其均值為0，方差可表示為σ2．

工程領(lǐng)域常使用稱為DACE的開源Matlab優(yōu)化工具箱來建立樣本與響應(yīng)的Kriging替代函數(shù)模型．使用者僅需提供樣本及響應(yīng)值數(shù)據(jù)和一個用來定義模型建立精確度的θ函數(shù)值，創(chuàng)建最基本的Kriging代理模型[10]．

1.6 期望提高準(zhǔn)則

積分后可得

(2)

其中Φ和φ分別代表正態(tài)分布函數(shù)和正態(tài)密度函數(shù)．而優(yōu)化解的搜索方向也即為式(2)的最大值方向[11]．

EI準(zhǔn)則也存在一種加權(quán)形式的表述方式，記為

E[I(x)]=σ(x)[λvΦ(v)+(1-λ)φ(v)]；λ∈[0，1]

(3)

權(quán)系數(shù)λ代表著搜索時對局部和全局的重視程度，λ值越小，EI準(zhǔn)則的優(yōu)化解越集中在全局的解空間內(nèi)，反之則將搜索過程集中在當(dāng)前的局部解空間內(nèi)．

2 汽輪機(jī)基礎(chǔ)的并行多目標(biāo)優(yōu)化方法

2.1 汽輪機(jī)基礎(chǔ)的多目標(biāo)優(yōu)化模型

考慮決定基礎(chǔ)造價成本的基礎(chǔ)質(zhì)量以及決定基礎(chǔ)力學(xué)性能指標(biāo)之一的動位移兩個目標(biāo)，汽輪機(jī)基礎(chǔ)的多目標(biāo)優(yōu)化模型可創(chuàng)建為

w0和u0為使該問題量綱一化所引入的基礎(chǔ)參考質(zhì)量和參考動位移，計(jì)算時采用初始設(shè)計(jì)對應(yīng)的值進(jìn)行賦值．進(jìn)一步采用K-S函數(shù)對優(yōu)化模型進(jìn)行處理后可得

(5)

2.2 基于熵的期望提高(EEI)準(zhǔn)則

為獲取一個最優(yōu)的權(quán)系數(shù)求解式(3)的問題，特引入信息熵模型：

(6)

使用拉格朗日乘子法對上述模型轉(zhuǎn)化，可得

(7)

η和μ分別為多目標(biāo)優(yōu)化的加權(quán)系數(shù)及拉格朗日乘子，此處η=0.5．在最優(yōu)解處對式(7)求導(dǎo)，有

(8)

可計(jì)算出

(9)

其中r=(η-1)/η，稱為準(zhǔn)權(quán)系數(shù)，而式(9)可計(jì)算出最優(yōu)的加權(quán)系數(shù)，并進(jìn)而根據(jù)這組加權(quán)系數(shù)預(yù)測出一個最優(yōu)的Pareto解．

2.3 收斂準(zhǔn)則

同時考慮EI準(zhǔn)則的精確程度對優(yōu)化的影響以及多目標(biāo)問題目標(biāo)函數(shù)的精確程度，特引入兩個收斂準(zhǔn)則：

(10)

(11)

式(10)表示預(yù)測的最優(yōu)值的提高程度已經(jīng)非常小，因此沒有進(jìn)一步迭代的必要；式(11)表示當(dāng)前模型下Kriging的近似程度已經(jīng)接近真實(shí)情況，故可以停止優(yōu)化．Fn為第n次迭代時的實(shí)際目標(biāo)函數(shù)值．ε1和ε2是收斂系數(shù)，均定義為0.05．

2.4 并行優(yōu)化方法

本文使用一個由22個計(jì)算節(jié)點(diǎn)和一個控制節(jié)點(diǎn)組成的天梭10000型計(jì)算集群作為并行程序的測試環(huán)境．每個計(jì)算節(jié)點(diǎn)有2個CPU，每個CPU含4個物理核心．集群采用英特爾MPI軟件配置了并行計(jì)算環(huán)境．假定計(jì)算節(jié)點(diǎn)上可利用的物理核心共m個(本文將每個核心對應(yīng)一個并行MPI進(jìn)程)，則并行優(yōu)化的方法可描述為

(1)在控制節(jié)點(diǎn)上使用拉丁超立方采樣方法生成一個N(本文中等于截面向量維度的5倍)個的樣本群．

(2)使用ANSYS軟件作為黑箱分析模塊對樣本進(jìn)行分析，前m-1個MPI進(jìn)程獲得個樣本，最后一個MPI進(jìn)程獲得剩余的樣本．

(3)在控制節(jié)點(diǎn)上對所有的樣本分析數(shù)據(jù)進(jìn)行匯總，按式(5)求出所有樣本的目標(biāo)函數(shù)值．

(4)在控制節(jié)點(diǎn)上對樣本和目標(biāo)函數(shù)建立Kriging代理模型，并根據(jù)式(9)計(jì)算出一個最優(yōu)加權(quán)系數(shù)．

(5)在計(jì)算節(jié)點(diǎn)上，前m-1個MPI進(jìn)程使用加權(quán)系數(shù)λ=j/m計(jì)算式(3)(j為進(jìn)程的編號)，得出m-1個優(yōu)化解；最后一個MPI進(jìn)程使用最優(yōu)加權(quán)系數(shù)，得到一個優(yōu)化解．

(6)使用2.3節(jié)的收斂準(zhǔn)則對優(yōu)化過程進(jìn)行控制，同時滿足時優(yōu)化結(jié)束，否則置N=m，轉(zhuǎn)第(2)個優(yōu)化過程．

3 測試算例

本文采用兩個實(shí)際工程算例對上述并行多目標(biāo)優(yōu)化方法進(jìn)行測試．分別使用EI準(zhǔn)則及EEI準(zhǔn)則對算例進(jìn)行計(jì)算，并定義計(jì)算節(jié)點(diǎn)可利用的物理核心數(shù)為1、2、4、8、16．

3.1 測試算例1

第1個測試算例為一個600MW的汽輪機(jī)基礎(chǔ)模型，包含15個截面設(shè)計(jì)變量，其FEM[12]和優(yōu)化結(jié)果分別如圖1和表1所示．

圖1 600 MW汽輪機(jī)基礎(chǔ)FEMFig.1 FEM of 600 MW turbine foundation

3.2 測試算例2

第2個測試算例為一個300 MW的汽輪機(jī)基礎(chǔ)模型，包含17個截面設(shè)計(jì)變量，其FEM和優(yōu)化結(jié)果分別如圖2和表2所示．

3.3 算例的加速比與并行效率

上述算例的并行計(jì)算性能使用表3的數(shù)據(jù)加以描述．

3.4 結(jié)果分析與討論

和初始設(shè)計(jì)相比，優(yōu)化后(EI和EEI準(zhǔn)則)的基礎(chǔ)設(shè)計(jì)均有更好的目標(biāo)函數(shù)值(F)，對應(yīng)地也會使基礎(chǔ)的自重有所減輕，進(jìn)而減少建造基礎(chǔ)時的經(jīng)濟(jì)投入；在符合式(4)的質(zhì)量和動位移約束條件下，基礎(chǔ)的梁柱截面積部分會有相應(yīng)的減少或者增加，但基礎(chǔ)整體會在迭代過程中朝質(zhì)量的下限和動位移的上限靠近．

與傳統(tǒng)的EI準(zhǔn)則相比，EEI準(zhǔn)則在對加權(quán)形式的EI準(zhǔn)則進(jìn)一步改進(jìn)后，可以獲得一個更加優(yōu)良的加權(quán)系數(shù)，用以對最優(yōu)值進(jìn)行預(yù)測．從表1和表2所示的數(shù)據(jù)來看，使用EEI準(zhǔn)則可以提高最優(yōu)值的精確度，獲取更優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值，進(jìn)而對工程造價等產(chǎn)生積極作用．

從表1和表2中EEI準(zhǔn)則的優(yōu)化結(jié)果可看出，隨著投入計(jì)算的MPI進(jìn)程的數(shù)量增多，用于預(yù)測最優(yōu)值的EEI加權(quán)系數(shù)也會相應(yīng)增多，在同一個迭代過程中，同時獲得的最優(yōu)值也會增加．樣本群及響應(yīng)值的豐富，使得Kriging替代模型的預(yù)測準(zhǔn)確度增加，進(jìn)而也會增加在最優(yōu)值計(jì)算時的準(zhǔn)確度，提高優(yōu)化結(jié)果的精度．

以黑箱方法對優(yōu)化進(jìn)行模塊化分割，能夠使得各模塊之間相互獨(dú)立，進(jìn)而使用特定的程序和軟件作最優(yōu)化的分析和計(jì)算．將這種算例使用并行環(huán)境運(yùn)算后，可最大程度地發(fā)揮并行計(jì)算的優(yōu)勢，各進(jìn)程間無頻繁的信息交互，每個進(jìn)程有自己相對匹配的數(shù)據(jù)和結(jié)果．如表3數(shù)據(jù)所示，黑箱形式的優(yōu)化模式可獲得比較高的并行加速比和效率．

表1 600 MW汽輪機(jī)基礎(chǔ)優(yōu)化結(jié)果Tab.1 Optimized result for 600 MW turbine foundation

圖2 300 MW汽輪機(jī)基礎(chǔ)FEMFig.2 FEM of 300 MW turbine foundation

表2 300 MW汽輪機(jī)基礎(chǔ)優(yōu)化結(jié)果Tab.1 Optimized result for 300 MW turbine foundation

表3 加速比和效率Tab.3 Speed up ratio and efficiency

4 結(jié) 語

本文提出的汽輪機(jī)基礎(chǔ)的并行多目標(biāo)優(yōu)化方法，在對傳統(tǒng)的EI準(zhǔn)則進(jìn)行改進(jìn)的基礎(chǔ)上，將熵原理加入加權(quán)形式的EI準(zhǔn)則中(EEI準(zhǔn)則)：通過最優(yōu)權(quán)系數(shù)的作用，增加最優(yōu)值的預(yù)測準(zhǔn)度；對使用EEI準(zhǔn)則的優(yōu)化方法進(jìn)行了并行化，在獲得較好的優(yōu)化解的同時，得到了比較滿意的并行加速效果．鑒于黑箱方法在工程優(yōu)化領(lǐng)域的大量采用，本文所發(fā)展的并行多目標(biāo)優(yōu)化方法可進(jìn)而應(yīng)用到其他實(shí)際的工程問題中．

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A parallel multi-objective optimization method for turbine foundation

( 1.School of Computer Science and Technology, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China；2.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China )

A parallel multi-objective optimization method for turbine foundation is proposed. The problem is described as to find the design variables which get the minimum values of a turbine foundation′s mass and maximum vibration amplitude. The mass of the turbine foundation is a linear expression of the beams and columns′ cross-sectional area, and the vibration amplitude of the foundation acted by additional disturbing force can be calculated by black-box functions. Based on the simulation model which Kriging surrogate function established between the cross-sectional area and the vibration amplitude of the foundation, an entropy-based expected improvement criterion and a parallel strategy are developed to improve the computing accuracy and the efficiency, separately. Two practical turbine foundations are investigated as test cases, and the experimental results demonstrate that the proposed method could be effectively used in this kind of engineering optimization problems with satisfactory optimization solutions achieved.

turbine foundation; multi-objective optimization; Kriging; parallel computing; expected improvement

1000-8608(2015)03-0229-07

2014-10-28；

2015-03-26．

“九七三”國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展規(guī)劃資助項(xiàng)目(2012CB025905)；高等學(xué)校學(xué)科創(chuàng)新引智計(jì)劃資助項(xiàng)目(B14013)；國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11202049)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(DUT14RC(3)060).

李召軍(1986-)，男，博士生，E-mail:lizhaojun@mail.dlut.edu.cn；李 征*(1982-)，男，講師，E-mail:lizheng@dlut.edu.cn.

TP393；TU323.3

A

10.7511/dllgxb201503001