彭 旭，韓 冰，陳華友

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

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基于可能點的TOPSIS模糊多屬性決策方法

彭 旭，韓 冰，陳華友

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

受定積分思想的啟發(fā)，提出了一種新的基于可能點的兩個三角模糊數(shù)之間差異度量函數(shù)的概念，證明了差異度量函數(shù)滿足的性質(zhì)，并指出其實質(zhì)為一種距離?；谠摼嚯x，將其運用到TOPSIS模糊多屬性決策方法中，分別討論了屬性權(quán)重已知和未知情形下的多屬性決策問題。通過算例驗證了該方法的有效性和計算的簡便性。

三角模糊數(shù)；理想點；可能點；差異度量函數(shù)

決策分析一直是國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點話題，決策模型和方法也被廣泛應(yīng)用到投資決策、方案擇優(yōu)、經(jīng)濟(jì)綜合效用評估、組合預(yù)測等多個領(lǐng)域[1-5]。隨著社會的日益復(fù)雜化，傳統(tǒng)的實數(shù)多屬性決策已經(jīng)不能很好地描述當(dāng)前的決策環(huán)境，模糊多屬性決策，尤其是帶三角模糊數(shù)的多屬性決策越來越受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，文獻(xiàn)[6-7]所取距離為兩個三角模糊數(shù)的3個端點之差的絕對值的最大值。文獻(xiàn)[8]將三角模糊數(shù)的3個端點同等看待，賦以相同的權(quán)重，再利用三維空間的加權(quán)歐氏距離作為其度量。文獻(xiàn)[9]在文獻(xiàn)[8]思想上引入了端點間交叉乘積的影響。文獻(xiàn)[10]采用漢明距離。文獻(xiàn)[11]在3個端點之差絕對值的簡單平均基礎(chǔ)上引入了未知度的思想。文獻(xiàn)[12]在三角模糊數(shù)截集上添加中心點得到三參數(shù)區(qū)間數(shù)，再利用定積分思想使得距離能夠更加完整地體現(xiàn)兩個三角模糊數(shù)的差別。

然而，目前存在的方法并不能完整地體現(xiàn)兩個三角模糊數(shù)之間的差別，并且部分方法的前提是對稱三角模糊數(shù)，筆者在已有研究的基礎(chǔ)上，受定積分思想的啟發(fā)，將三角模糊數(shù)的隸屬度當(dāng)作被積函數(shù)處理，提出了一種基于可能點的兩個三角模糊數(shù)之間差異度量函數(shù)的概念，證明了差異度量函數(shù)滿足的性質(zhì)，并指出其實質(zhì)為一種三角模糊數(shù)之間的新距離。該距離不局限對稱三角模糊數(shù)，更細(xì)致地體現(xiàn)了各端點的加權(quán)情況，同時端點間的交叉影響也得以體現(xiàn)，在可能點的基礎(chǔ)上引入積分的思想使得所定義的距離能更完整地表示兩個三角模糊數(shù)之間的差別，且計算過程較為簡便。筆者將所定義的距離運用到TOPSIS方法中，并提供了一種權(quán)重確定方法，分別討論了屬性權(quán)重已知和屬性權(quán)重未知情形下的帶三角模糊數(shù)多屬性決策問題。

1 三角模糊數(shù)差異度量函數(shù)

(1)

定義2 令X為一個非空集合，映射d:X×X→R，如果對任意x,y,z∈X都滿足：①非負(fù)性，即 d(x,y)≥0，且d(x,y)=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y；②對稱性，即d(x,y)=d(y,x)；③三角不等式，即d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)；則稱d為集合X的一個距離，稱X為一個對于度量d而言的度量空間。

定義3[14]令I(lǐng)=[a,b]，若a

若將隸屬度函數(shù)看作被積函數(shù)，則可定義如下三角模糊數(shù)之間的差異度量函數(shù)：

(3)

2 模糊數(shù)差異度量函數(shù)的性質(zhì)

(4)

引理1 設(shè)a,b,c,d,e,f∈R，則有：

(5)

證明：(1)由式(2)可知：

(6)

(3)為便于計算，記：

(7)

(8)

(9)

由a1、a2、a3的定義，結(jié)合命題1、式(7)和式(8)可得：

a1+a2=2(x1-y1)，a2+a3=2(x3-y3)，

a2=x2-y2

(10)

于是，式(6)可簡化為：

(11)

同理可得：

(12)

顯然有：

(13)

由式(11)可知：

(14)

結(jié)合式(11)和式(12)知：

把式(14)和式(15)代入式(13)，并結(jié)合式(5)可得：

(16)

根據(jù)定義3和定理1顯然可得定理2：

(aM(1-θ)+aRθ)]dθ

(17)

類似于命題1，由式(17)可計算得到：

(18)

3 TOPSIS模糊多屬性決策方法

對于效益型指標(biāo)：

(19)

對于成本型指標(biāo)：

(20)

(21)

(22)

3.1 屬性權(quán)重已知且為三角模糊數(shù)的情形

將其歸一化處理得到：

(23)

(24)

(25)

定義7[18]令：

(26)

則稱ci為備選方案xi的貼近度。顯然貼近度ci越大，表示對應(yīng)的備選方案xi越優(yōu)。

3.2 屬性權(quán)重完全未知的情形

當(dāng)屬性權(quán)重未給出時，備選方案離負(fù)理想方案越遠(yuǎn)越好，故可用各個方案在某個屬性下的屬性值與負(fù)理想方案距離之和來體現(xiàn)該屬性的重要程度。設(shè)權(quán)重向量為w=(w1,w2,…,wn)，令：

(27)

式(24)和式(25)計算各備選方案到正理想方案和負(fù)理想方案的加權(quán)距離；⑤利用式(26)計算各備選方案的貼近度，并按貼近度的大小對備選方案進(jìn)行排序。

4 算例分析

根據(jù)式(21)可知正理想方案為：

根據(jù)式(22)可知負(fù)理想方案為：

4.1 屬性權(quán)重已知且為三角模糊數(shù)的情形

將其歸一化得：

w=(0.158,0.105,0.263,0.105,0.211,0.158)

根據(jù)式(24)和式(25)計算各候選人屬性到正理想方案和負(fù)正理想方案的加權(quán)距離：

根據(jù)式(26)計算各候選人的貼近度：c1=0.606 4，c2=0.768 2，c3=0.440 5，c4=0.307 8，c5=0.499 9。顯然有：c2>c1>c5>c3>c4，則最佳候選人為x2。

由以上分析可知，筆者方法得出的候選人排序結(jié)果為x2>x1>x5>x3>x4，就最佳候選人而言，筆者方法所得結(jié)果與文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[15]一致，而與文獻(xiàn)[6]不完全一致。產(chǎn)生這種差異的原因主要在于計算兩個三角模糊數(shù)之間距離時所用的公式不一樣，筆者方法充分利用了三角模糊數(shù)的隸屬度函數(shù)，相對文獻(xiàn)[6]直接采用3個端點之差的絕對值中的最大者，能夠充分體現(xiàn)兩個三角模糊數(shù)之間的平均差異。從計算角度，筆者方法的計算過程較為簡單。

4.2 屬性權(quán)重完全未知且權(quán)重為實數(shù)的情形

根據(jù)式(27)計算各屬性的權(quán)重：

w=(0.165,0.173,0.162,0.158,0.158,0.184)

根據(jù)式(24)和式(25)計算各候選人屬性到正理想方案和負(fù)理想方案的加權(quán)距離：

根據(jù)式(26)計算各候選人的貼近度：c1=0.627 1，c2=0.723 2，c3=0.403 4，c4=0.355 9，c5=0.457 1；顯然有c2>c1>c5>c3>c4,則最佳候選人也為x2。

5 結(jié)論

筆者基于定積分思想，將三角模糊數(shù)的隸屬度函數(shù)看作被積函數(shù)，提出了一種基于可能點的三角模糊數(shù)之間的距離，并將其運用到TOPSIS方法中，分別對屬性權(quán)重已知和屬性權(quán)重完全未知的帶三角模糊數(shù)的多屬性決策問題進(jìn)行了討論，算例驗證了筆者方法的有效性，同時也體現(xiàn)了該方法較以前的方法在一定程度上降低了計算量。此外，該思路也可作為三角模糊數(shù)的一種去模糊化方法，并且能夠更好地處理非對稱三角模糊數(shù)，還可將該思路運用到梯形模糊數(shù)信息的多目屬性決策中。

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PENG Xu: Postgraduate; School of Mathematical Science, Anhui University, Hefei 230601, China.

[編輯：王志全]

TOPSIS Method for Fuzzy Multi-attribution Decision-making Based on Possible Points

PENGXu,HANBing,CHENHuayou

Motivated by the idea of definite integral, a novel concept of difference metric function between triangular fuzzy numbers was proposed based on possible points. The properties of difference metric function were proven. And it was pointed out that it actually was a kind of distance. It was applied to fuzzy TOPSIS method for multi-attribution decision-making based on this distance under the cases of known weights and unknown weights, respectively. Finally, a practical example was illustrated to show that the method has effectiveness and simple calculation.

triangular fuzzy number; ideal point; possible point; difference metric function

2015-05-14.

彭旭(1992-)，男，湖南衡陽人，安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士研究生.

國家自然科學(xué)基金資助項目(71371011，71301001);教育部高等學(xué)校博士點基金資助項目(20123401110001).

2095-3852(2015)06-0761-05

A

O22

10.3963/j.issn.2095-3852.2015.06.022