基于有色噪聲自適應(yīng)卡爾曼濾波的GPS單點定位

夏志浩，趙長勝，馬曉君

(1. 金壇市城鄉(xiāng)測繪院，江蘇 金壇 213200； 2. 江蘇師范大學(xué)城建與環(huán)境學(xué)部，江蘇 徐州 221116)

GPS Single Point Positioning Based on Adaptive Kalman Filter of the Colored Noise

XIA Zhihao，ZHAO Changsheng，MA Xiaojun

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基于有色噪聲自適應(yīng)卡爾曼濾波的GPS單點定位

夏志浩1，趙長勝2，馬曉君2

(1. 金壇市城鄉(xiāng)測繪院，江蘇 金壇 213200； 2. 江蘇師范大學(xué)城建與環(huán)境學(xué)部，江蘇 徐州 221116)

GPS Single Point Positioning Based on Adaptive Kalman Filter of the Colored Noise

XIA Zhihao，ZHAO Changsheng，MA Xiaojun

摘要：將有色噪聲一階AR模型的自適應(yīng)卡爾曼濾波應(yīng)用到精密單點定位中，采用當(dāng)前歷元的預(yù)測殘差均方根誤差與上一歷元的觀測殘差均方根誤差的比值確定相關(guān)系數(shù)ρspan。在使用一階AR模型進行解算時，使用實測數(shù)據(jù)對模型進行驗證，證明了該方法確定的相關(guān)系數(shù)能夠有效提高擴展卡爾曼濾波(EKF)解算過程中的收斂速度和幅度。

關(guān)鍵詞：擴展卡爾曼濾波；AR模型；自適應(yīng)；有色噪聲

一、引言

有色噪聲可以看成一個平穩(wěn)的時間序列，通常使用自回歸(AR)模型，滑動(MA)模型和自回歸滑動平均(ARMA)模型等方法進行建模[1]。在使用AR模型進行建模時，由于相關(guān)系數(shù)ρk,k-1在整個數(shù)據(jù)解算的過程中是一個時變參數(shù)，而不是一個固定量，因此相關(guān)系數(shù)難以確定。濾波估計參數(shù)向量的初始協(xié)方差陣和動態(tài)噪聲向量協(xié)方差矩陣的確定也是一個難點，而合理的初值和協(xié)方差矩陣才能保證動態(tài)定位的準(zhǔn)確性。

本文在使用一階AR模型進行解算時，采用當(dāng)前歷元的預(yù)測殘差均方根誤差與上一歷元的觀測殘差均方根誤差的比值來確定相關(guān)系數(shù)，有效地避免了相關(guān)系數(shù)的取值不當(dāng)，提高了擴展卡爾曼濾波解算過程中的收斂速度和幅度。

二、一階AR模型自適應(yīng)濾波

對觀測值的噪聲使用一階AR模型對有色噪聲進行建模[2]

u(tk)=ρk,k-1u(tk-1)+ξk

(1)

式中，ρk,k-1為k-1與k歷元的相關(guān)系數(shù)矩陣；u(tk-1)為k-1歷元的觀測噪聲中的非高斯部分；ξk為高斯白噪聲向量。將式(1)代入擴展卡爾曼濾波的狀態(tài)方程和觀測方程可得

(2)

(3)

則狀態(tài)方程和觀測方程為

(4)

(5)

三、濾波初值的選取

濾波初值的選取直接影響濾波的收斂速度和濾波的是否發(fā)散，因此選擇合適的初值對動態(tài)精密單點定位有很大的影響。

GPS單點定位參數(shù)的初值為

使用以下初始方差矩陣可獲得較好的效果。

狀態(tài)估計向量的初始協(xié)方差矩陣為

式中，τ為觀測數(shù)據(jù)的采樣間隔；n為每個歷元的衛(wèi)星數(shù)。

觀測向量的協(xié)方差矩陣為

動態(tài)噪聲向量協(xié)方差矩陣為

四、算例分析

以上海站2012-01-04T14∶19∶00—2012-01-04T16∶31∶30的靜態(tài)觀測數(shù)據(jù)為例，采樣間隔為30s，分別使用擴展卡爾曼濾波(EKF)和基于一階AR模型的擴展卡爾曼濾波(AKF&AR)進行計算，結(jié)果如圖1—圖3所示。

圖1　X軸坐標(biāo)差值比較

圖2　Y軸坐標(biāo)差值比較

圖3　Z軸坐標(biāo)差值比較

從圖中可以看出，基于一階AR模型的擴展卡爾曼濾波(EKF&AR)比擴展卡爾曼濾波(EKF)的收斂速度和幅度都得到了提高。兩種濾波最后都近似收斂于同一曲線，這是由于一開始是將IGS參考站已知坐標(biāo)作為起算初始值，相對應(yīng)的系統(tǒng)噪聲向量協(xié)方差取0.000 3，系統(tǒng)噪聲向量協(xié)方差較小,增大預(yù)測值對結(jié)果的影響，使得最終坐標(biāo)都收斂于該點。由此可以看出，卡爾曼濾波在進行解算的過程中無論是白噪聲還是有色噪聲都能起到去噪作用(見表1)。

表1　EKF和AKF&AR兩種算法誤差對比圖　m

由表1可以看出，本文中的改進方法可以使3個方向收斂后的均方根差分別減少1 mm、2 mm和1 mm，在濾波解算的過程中，定位結(jié)果更加接近坐標(biāo)的真實值。

如圖4所示，ρk,k-1分別取0.3、0.5、0.8和當(dāng)前歷元的預(yù)測殘差均方根誤差與上一歷元的觀測殘差均方根誤差的比值r。從圖中可以看出當(dāng)取0.5和0.8時，觀測噪聲中的非高斯部分u(tk)隨著時間推移有增大的趨勢；當(dāng)取0.3和r時，u(tk)相對比較平穩(wěn)，更加符合AR模型是基于平穩(wěn)的時間序列的假設(shè)。

圖4　ρk,k-1取值對u(tk)的影響

由表2中可以看到，分別為擴展卡爾曼濾波及其與AR模型組合的無電離層載波相位觀測值殘差ξk的均方根誤差。ξk為高斯白噪聲向量，無論ρk,k-1取0.3還是r都要比EKF的殘差均方根誤差小，而使用本文方法確定的ρk,k-1更加接近于0，滿足白噪聲的假設(shè)。

表2　EKF和AKF&AR Lc觀測值殘差均方根誤差　m

五、結(jié)論

1) 從坐標(biāo)差值分析，本文中基于一階AR模型的擴展卡爾曼濾波能夠有效地減少觀測值之間的有色噪聲，平滑卡爾曼濾波定位曲線，提高定位的精度。

2) 未知相關(guān)系數(shù)ρk,k-1采用當(dāng)前歷元的預(yù)測殘差均方根誤差與上一歷元的觀測殘差均方根誤差的比值確定，能夠反映ρk,k-1為時變參數(shù)的性質(zhì)，更加符合一階AR模型的假設(shè)。

3) 觀測值的相關(guān)性與采樣間隔有關(guān)，本文采用的是30 s間隔的靜態(tài)觀測數(shù)據(jù)，有色噪聲相對較小，因此EKF和EKF&AR的定位誤差曲線會逐漸重合。

參考文獻：

[1]曹軼之.非高斯/非線性濾波算法研究及其在GPS動態(tài)定位中的應(yīng)用[D].鄭州：信息工程大學(xué),2012.

[2]崔先強.動態(tài)定位有色噪聲自適應(yīng)抗差濾波理論的拓展與應(yīng)用研究[D].西安：長安大學(xué),2012.

[3]崔先強,楊元喜,高為廣.多種有色噪聲自適應(yīng)濾波算法的比較[J].武漢大學(xué)學(xué)報：信息科學(xué)版,2006,31(8):731-735.

[4]趙長勝,陶本藻.有色噪聲作用下的抗差卡爾曼濾波[J].武漢大學(xué)學(xué)報：信息科學(xué)版,2007,32(10):880-882.

[5]趙長勝,陶本藻.有色噪聲作用下的卡爾曼濾波[J].武漢大學(xué)學(xué)報：信息科學(xué)版,2008,33(2):180-182，207.

[6]楊元喜,崔先強.動態(tài)定位有色噪聲影響函數(shù)——以一階AR模型為例[J].測繪學(xué)報,2003,32(1):6-10.

[7]崔先強.動態(tài)導(dǎo)航有色噪聲的影響與控制[D].鄭州：信息工程大學(xué),2002.

[8]崔先強,樊月波.有色噪聲模型參數(shù)改進算法[J].測繪學(xué)院學(xué)報,2002,19(3):174-177，181.

引文格式： 夏志浩，趙長勝，馬曉君. 基于有色噪聲自適應(yīng)卡爾曼濾波的GPS單點定位[J].測繪通報，2015(3)：66-68.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2015.0077

作者簡介：夏志浩(1988—)，男，碩士生，主要研究方向為GNSS數(shù)據(jù)處理理論及應(yīng)用。E-mail:cehuixzh@sina.com

基金項目：國家自然科學(xué)基金(41174032)

收稿日期：2014-02-17

中圖分類號：P228.4

文獻標(biāo)識碼：B

文章編號：0494-0911(2015)03-0066-03