耿 濟

(海南大學，海南 ?？?570228)

○○○●●●

—— ○●●●○○

○●●——○●○

——●○●○●○

○○○○●●●●

○——○●●●●○○

○●●○——●●○○

○●●○●○●——○

——●○●○●○●○

○○○…○●●●…●——

——●○●○●○…●○

●(一)○(二)●(三)○(四)●(五)○(六)，

一二三四 五六七八九十

○○○●●●

一二三四五六七八九十

●○●○●○

●○● ○○●

●●○○○●

○○○●●●

··A B A B A B A B

(1) B A A B A B A · · B

(2) B A A B · · A A B B

(3) B · · B A A A A B B

(4) B B B B A A A A

——○●○●○●…○●

●●●…●○○○…○——

○○○…○●●●…●——

? ? ?

——● ○… …●○●○

——● ○ ● ○…● ○ ● ○

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○ ○ ○ … ○|●…● ● ●——

——○ ● ○ ●…○ ●○ ●

? ? ?

● ● ●…● ○ ○ ○…○ ——

a1a2a3a4…anbn…b4b3b2b2——，

——b a b a…b a b a，

(○○○(○●●a4)-D(——●a4)，

?

數(shù)學娛樂(十六)
——移棋相間問題與國際科研成果

耿 濟

(海南大學，海南 海口 570228)

全文分2部分.第1部分是移棋相間，第2部分科研成果.

移棋相間； 逆命題； 科研成果

本文是數(shù)學娛樂系列文獻[1～15]的續(xù)作.

日本著名數(shù)學史家平山諦著《東西數(shù)學物語》一書，敘述日本鴛鴦游戲和英國泰特問題時指出[16]：“也許到日本明治時期后，由于日本和西方頻繁的交通來往，這個游戲自然地從日本傳到了西方，至今在中國文獻中也沒有發(fā)現(xiàn)類似游戲”.因此國際上誤認為這一游戲起源于日本，事實上，最早的文獻記載是中國，稱為移棋相間。

本文目的分為2部分，第1部分主要是移棋相間問題有關(guān)史料，第2部分是移棋相間的國際科研成果.

1 移棋相間問題

中國圍棋源遠流長，棋子分黑與白2色.清代順治年間(1641年—1661年)胡礪之利用黑色和白色棋子進行下述游戲.

首先，把3個相連白子與3個相連黑子排成一行，每次移動相鄰兩子，進行3次移動得到

○○○●●●

—— ○●●●○○

○●●——○●○

——●○●○●○

出現(xiàn)黑白相間的現(xiàn)象.

接著，把4個相連白子與4個相連黑子排成一行，每次移動相鄰兩子，進行4次移動得到

○○○○●●●●

○——○●●●●○○

○●●○——●●○○

○●●○●○●——○

——●○●○●○●○

出現(xiàn)黑白相間的現(xiàn)象.

最后，當5≤n≤10時，經(jīng)過n次移動都有黑白相間的現(xiàn)象.

以上史料根據(jù)清代褚稼軒著《堅瓠集》(成書于康熙年間，即1662年-1722年)，摘錄如下[17]：

“幼時見友人胡礪之將黑白棋子各三枚左右分列，三移則黑白相間.余因問曰：多亦可移乎，礪之曰：自三以至十外皆可移，多一子則多一移.余歸試之，自三以至于十，果相間不亂.今已三十余年，偶雨窗復試，忘其大半，因繹數(shù)四始得就.”

近代學者俞平伯祖父俞曲園著《春在堂隨筆》中有一段記載[17]：

“長洲褚稼軒《堅瓠集》有移棋相間之法，……，余試之良然，而內(nèi)子季蘭復推廣之，自十一子以至二十子”.

由此可知，當11≤n≤20時也能出現(xiàn)移棋相間的現(xiàn)象.

很自然地對于這一游戲產(chǎn)生下面的猜想.

移棋相間問題 正整數(shù)n≥4時，把n個相連白子、n個相連黑子以及兩子的空位排列成最初形式：

○○○…○●●●…●——

每次任意移動相鄰兩子(不得改變次序)到空位或新的空位上，那么存在著n次移動能使得黑子與白子相間的最后形式；

——●○●○●○…●○

接著敘述移棋相間在國外的情況.

日本文獻中最早的記載是1743年中根法舳著《勘者御伽雙紙》一書中的“鴛鴦游戲”[16]，抄錄如下：

“黑白棋子各有三個，如圖所示，按黑白相隔放置

●(一)○(二)●(三)○(四)●(五)○(六)，

問如何移動一處的每兩個棋子的位置使它變?yōu)槿纭稹稹稹瘛瘛裰问剑?/p>

法曰：使四五移至七八，一二移至四五，三四移至九十，則成為

一二三四 五六七八九十

○○○●●●

圖解這個過程如下：

一二三四五六七八九十

●○●○●○

●○● ○○●

●●○○○●

○○○●●●

因為把黑白棋子來回移動操作，就如鴛鴦朝夕相處，悠然自得地在水面上游泳那樣的緣故，所以，就產(chǎn)生了‘鴛鴦游戲’的名稱.”

歐洲文獻中最早的記載是1884年英國物理學家泰特(Tait)在《哲學雜志》(Philosophical Magazine,1884,vol.5)上，他把4枚金幣(設為B)和4枚銀幣(設為A)進行如下排列：

··A B A B A B A B

(1) B A A B A B A · · B

(2) B A A B · · A A B B

(3) B · · B A A A A B B

(4) B B B B A A A A

歐洲把上述問題叫做泰特問題.[16]

根據(jù)以上史料很自然地類似前面情況產(chǎn)生下面的猜想.

移棋相間的逆問題 正整數(shù)n≥4時，把n個白子和n個黑子加上兩子的空位排列成白子與黑子相間的最初形式：

——○●○●○●…○●

每次任意移動相鄰兩子(不得改變次序)到空位或新的空位上，那未存在著n次移動使得黑子相連和白子相連的最后形式：

●●●…●○○○…○——

最后應該指出上述2個猜想之間的關(guān)系.

性質(zhì)1 假設移棋相間問題成立，那么移棋相間的逆問題也成立，反之亦然.

證明 假設正整數(shù)n≥4時移棋相間問題成立，即從最初形式經(jīng)過n次移動出現(xiàn)的最后形式如下：

○○○…○●●●…●——

? ? ?

——● ○… …●○●○

接著把第1行與第n+1行對調(diào)，類似地把第2行與第n行，第3行與第n-1行，…，依次分別進行對調(diào)后得到下述排列形式

——● ○ ● ○…● ○ ● ○

? ? ?

○ ○ ○ … ○|●…● ● ●——

最后再把所有的白子與所有的黑子對調(diào)，即得移棋相間的逆問題：

——○ ● ○ ●…○ ●○ ●

? ? ?

● ● ●…● ○ ○ ○…○ ——

反之亦然，證畢.

2 國際科研成果

1887年法國德蘭諾伊(Delannoy H)首先證明了移棋間的逆問題，論文發(fā)表在《自然》雜志(La Nature,1887,vol.15)上[16].

對于任意正整數(shù)n≥4分為偶數(shù)與奇數(shù)2種情況.

當n≥4為偶數(shù)時，以n=12為例.

最初形式記為(A)，最后形式記為(C)，中間過渡形式記為(B).

首先從(A)的右邊第2，3兩子移至空位，如圖所示左右分開，作奇、偶順序號1，2，3，4，5，按照順序移動2→1，3→2，4→3，5→4得到(B).再從(B)作前面相反的序號移動得到(C).

一般而言，作(A)的序號有如下規(guī)則：

作(B)的序號有如下規(guī)則：

又當n≥4為奇數(shù)時，與前面偶數(shù)相同，只要改變?nèi)缦碌淖餍蛱柕姆椒?

作(A)序號的方法：

作(B)序號的方法：

1899年日本林鶴一博士證明移棋相間逆問題的方法，以n=4，5，6，7成立的事實為基礎(chǔ)，通過分別加邊方法得出n=8，9，10，11；再從n=8，9，10，11分別加邊方法得出n=12，13，14，15，如此繼續(xù)下去，得出一般的證明.[16]

2010年中國耿濟發(fā)表了移棋相間問題的證明[6].

首先，把最初形式表示為

a1a2a3a4…anbn…b4b3b2b2——，

經(jīng)過n次移動后的最后形式表示為

——baba…baba，

其中ai(1≤i≤n)以及a代表白子“○”，bi(1≤i≤n)以及b代表黑子“●”.

在n次移動過程中發(fā)現(xiàn)存在[n/2]個始終有移動的棋子，它們的分布情況證明得到

簡單情況，n=4，a4，b2;n=5，a4，b4;n=6,a6,b6,b2;n=7,a4,b6，b2.

一般情況，n≥8時，分為4種類型.

1)當n≡0(mod4)，即n被4整除時，就有a4,a8,a12,…，an-4,an;bn,bn-4,…,b12,b8,b2;

2)當n≡1(mod4)，即n被4整除余1時，就有a4,a8,a12，…，an-5,an-1;bn-1，bn-5,…,b12,b8,b4;

3)當n≡2(mod4),即n被4整除余2時，就有a4,a10,a14,…，an-4,an;bn,bn-4,…，b10,b6,b2;

4)當n≡3(mod4)，即n被4整除余3時，就有a4,a8,a12,…，an-3；bn-1，bn-5,…，b10,b6,b2.

其次，按照n次移動過程中始終沒有移動的棋子把最初形式分割或[n/2]+1個小區(qū)間，類似地又把最后形式分割成[n/2]+1個小區(qū)間，這樣每個小區(qū)間都有對應的小區(qū)間.

以n=8為例，按照a4,a8,b8,b2把最初形式分割成5個小區(qū)間(○○○a4),(a4○○○a8),(a8,b8),(b8●●●●●b2)，(b2●——)；又把最后形式分割成5個小區(qū)間(——●a4)，(a4●○●a8)，(a8,b8)，(b8○●○●○b2),(b2○●○).它們對應小區(qū)間(○○○a4)→(——●a4),(a4○○○a8)→(a4●○●a8)，(a8,b8)→(a8,b8),(b8●●●●●b2)→(b8○●○●○b2),(b2●——)→(b2,○●○).

由于移動的兩子有4種可能情況，白白，黑黑，黑白，白黑，依次用A，B，C，D來表示，移出用記號“-”，移入用記號“+”.

現(xiàn)將以上5個小區(qū)間的移動過程敘述如下.

移動過程記為T1=(-A，+B，-D).

有2種移動過程記為T2=(-A+B-C+D)，T2′=(-A+B+C-D).(a8b8)→(a8b8)，移動過程記為T3=0

2種移動過程記為T4=(+A-2B+2C-D)，T4′=(+A-2B+C-C+D).

移動過程記為T5=(+A-C+D).

根據(jù)以上5個小區(qū)間上的移動結(jié)果得出：T1+T2+T3+T4+T5=0，T1+T2′+T3+T4′+T5=0.這里都是移出8次，移入8次的2種不同移法.

一般情況的4種類型按照以上方法進行論證[6].

最后，從最初形式左邊和右邊向中間分別移出A與B交替出現(xiàn)，即A→B→A→B→…共有[n/2]次；接著再從中間移出C或D，按照…→C→D→C→D，共有[n/2]+1次為止.

當n=8時的2種移法.

第1種移法a1a2…a7a8b8b7…b2b1——，經(jīng)過A與B的4次移動為a2a3,b7b6,a5a6,b4b3，再經(jīng)過C與D的4次移動b3a7，a6b5,b1a2,a1b7,得到——b6a4b4a6b5a8b8a5b1a2b3a7b2a1b7a3.

第2種移法a1a2…a7a8b8b7…b2b1——，前面4次A與B的移動為a2a3,b6b5,a6a7,b4b3,后面4次C與D的移動為b7a6,a5b4,b1a2,a1b6,得到——b5a4b1a2b3a8b8a5b4a7b7a6b2a1b6a3.

通過以上證明發(fā)現(xiàn)移棋相間及其逆命題的移法都不是唯一性.同時應該指出移動過程中沒有移動棋子的分布也不是唯一性.以n=12為例，除了a4,a8,a12,b12,a8,b2外，還有a4,a8,a12,b6,b2;以n=14為例，除了a4,a10,a14,b14,b10,b6,b2外，還有a4,a8,a14,b14,b10,b2,一般情況請參考[6].

[1] 耿濟.數(shù)學娛樂(一)——夫妻問題的新證與應用[J].海南大學學報(自然科學版)，2007，25(4)：321-324.

[2] 耿濟.數(shù)學娛樂(二)——牙牌問題的新證與推廣[J].海南大學學報(自然科學版)，2008，26(3)：206-219.

[3] 耿濟.數(shù)學娛樂(三)——洛書定理與應用[J].海南大學學報(自然科學版)，2008，26(4)：303-308.

[4] 耿濟.數(shù)學娛樂(四)——Nasik幻方的性質(zhì)與構(gòu)造法[J].海南大學學報(自然科學版)，2009，27(2)：107-115.

[5] 耿濟.數(shù)學娛樂(五)——推廣Fibonacci數(shù)列與冪級和[J].海南大學學報(自然科學版)，2009，27(4)：313-319.

[6] 耿濟.數(shù)學娛樂(六)——移棋相間[J].海南大學學報(自然科學版)，2010，28(1)：1-10，14.

[7] 耿濟.數(shù)學娛樂(七)——一個麻將和牌問題[J].海南大學學報(自然科學版)，2010，28(2)：93-98.

[8] 耿濟.數(shù)學娛樂(八)——易經(jīng)卦象的起源與考古發(fā)現(xiàn)的奇字[J].海南大學學報(自然科學版)，2011，29(2)：99-103.

[9] 耿濟.數(shù)學娛樂(九)——學習《九章算術(shù)》的收獲[J].海南大學學報(自然科學版)，2011，29(4)：297-304.

[10] 耿濟.數(shù)學娛樂(十)——學習《九章算術(shù)》的收獲[J].海南大學學報(自然科學版)，2012，30(2)：95-102.

[11] 耿濟.數(shù)學娛樂(十一)——幻方與線性代數(shù)[J].海南大學學報(自然科學版)，2012，30(4)：299-305.

[12] 耿濟.數(shù)學娛樂(十二)——廣義華林公式與應用[J].海南大學學報(自然科學版)，2013，31(1)：1-7.

[13] 耿濟.數(shù)學娛樂(十三)——類似華林公式的新公式[J].海南大學學報(自然科學版)，2013，31(2)：93-99.

[14] 耿濟.數(shù)學娛樂(十四)——圓組合新概念與圓組合恒等式[J].海南大學學報(自然科學版)，2014，32(1)：1-7.

[15] 耿濟.數(shù)學娛樂(十五)——從三角函數(shù)公式到伯努利數(shù)和歐拉數(shù)[J].海南大學學報(自然科學版)，2014，32(4)：295-301.

[16] 平山諦.東西數(shù)學物語[M].代欽，譯.上海：上海教育出版社，2005：100-107.

[17] 姜長英.科學消遣[M].上海：科學出版社，1949，85-86.

Mathematical Recreation (ⅩⅣ):Problem of Move Pieces Become Black Alternation with White and International Achievements in Scientific Research

GengJi

(HainanUniversity,Haikou570228,China)

Thereportfallsintotwoparts,thefirstpartsisabouttheproblemofmovepiecesbecomeblackalternationwithwhite,andthesecondpartisabouttheachievementsinscientificresearch.

movepiecesbecomeblackalternationwithwhite;converseproposition;achievementsinscientificresearch

2014-11-28

耿濟(1929-)，男，江蘇鎮(zhèn)江人，海南大學(退休)教授.

1004-1729(2015)03-0197-07

O 11

A DOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2015.0036