鄭福昌

(武夷學院 機電工程學院，福建 武夷山 354300)

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基于電磁協(xié)變理論由庫侖定律導出畢奧-薩伐爾定律

鄭福昌

(武夷學院 機電工程學院，福建 武夷山 354300)

摘要基于電磁協(xié)變理論由庫侖定律導出了畢奧-薩伐爾定律，不僅解決了引入畢奧-薩伐爾定律數(shù)學上的嚴密性問題，也加深對電場量和磁場量在不同慣性參考系中具有相對性的觀測效應的理解。說明電磁場量的相對性是電磁場統(tǒng)一性的反映。

關鍵詞電磁場變換； 庫侖定律； 畢奧-薩伐爾定律

在大學物理教科書中,對畢奧-薩伐爾定律的引入，都是介紹完長直流磁場的實驗結果后,不做推導直接引入。查閱有關資料發(fā)現(xiàn)，對引入的根據(jù)有以下三種不同說法: (1)是拉普拉斯以概括實驗數(shù)據(jù)的方法得到的;(2)畢奧-薩伐爾定律是拉普拉斯從畢奧和薩伐爾的實驗結果倒推出來的;(3)拉普拉斯用絕妙的數(shù)學分析幫助畢奧和薩伐爾把實驗結果提高到理論高度得到了該定律等等[1-3]。不論那種說法，終歸缺乏數(shù)學上的嚴密性。以下，嘗試由庫侖定律出發(fā)利用電磁協(xié)變理論導出點電荷的畢奧-薩伐爾定律公式。

1電磁場變換關系式理論推導

1.1　電磁場張量

(1)

(2)

(3)

式中i≠j≠k，很明顯，式(3)右邊恰是由四維矢量算符?/?xμ和四維矢量Av相乘而形成的二階張量的一些分量。

(4)

由于對指標μ,v是反對稱的,所以一定有

(5)

于是,式(3)又可寫成形式為

(6)

其中

(7)

1.2　四維二階張量分量的變換規(guī)律

如果存在有四維變換式

(8)

其中μ,v,λ,τ=1,2,3,4，則應有

(9)

于是可得到變換后四維二階張量的分量

(10)

若令

(11)

則有

(12)

(13)

其中

(14)

式(13)就是協(xié)變的電磁場四維二階張量分量的變換規(guī)律。

1.3　電磁場變換關系式

滿足式(13)變換系數(shù)的變換式是電磁波相位不變變換式

(15)

因式(15)中

(16)

(17)

依據(jù)麥克斯韋場方程的協(xié)變性要求，經(jīng)式(17)變換后四維二階張量的分量應滿足

(18)

把式(18)代入式(17)，就可得到協(xié)變的電磁場張量分量變換規(guī)律為

(19)

1.3.1磁場變換關系式的導出

按式(19)變換規(guī)律，有

(20)

(21)

同理可證

(22)

(23)

于是，可證得

(24)

(25)

1.3.2電場變換關系式的導出

按照式(19)變換規(guī)律，還可看出

(26)

(27)

同理可證

(28)

(29)

于是，有

(30)

(31)

(32)

2用電磁場的變換關系導出點電荷的畢奧-薩伐爾定律

用上述電磁場的變換公式來推演一個勻速運動的電荷q在r處產生磁場的公式。把電荷q放在s參考系的原點，并使q對s保持靜止。在s系中觀察就有一個靜電場，有庫侖定律得到點電荷的場強表達式是

(33)

(34)

=φ(Bxi+Byj+Bzk)-[(vyEz-vzEy)i

+(vzEx-vxEz)j+(vxEy-vyEx)k]/c2

(35)

(36)

(37)

圖1　q放在S系的原點處，S′系相對于S系以速度V沿任一方向平動

3導出畢奧-薩伐爾定律標準形式

為了得到畢奧-薩伐爾定律的標準形式，可以取一截面面積為S，通有電流為I的通電導線。并在導線上取一長為dl的電流元Idl，設dl導體內的載流子數(shù)目為dN，單位體積內載流子數(shù)目n。

導體內各個以速度為V同向運動的載流子，在相同的某一點所產生的磁場應為dN個載流子單獨存在時在該點產生磁場的矢量和，即

(38)

因為I=nqSV，dN=nSdl，有

(39)

將式(39)代入式(38)，得

(40)

該式正是由庫侖定律出發(fā)運用電磁場的協(xié)變理論導出的畢奧-薩伐爾定律。

通過以上分析可以看出，電磁場的相對論變換充分體現(xiàn)了電磁場的相對性和統(tǒng)一性,空間的電場和磁場只是同一物質形式——電磁場所表現(xiàn)的兩個側面。它們并非彼此獨立、互不相干，在一個參考系中的純磁場(或純電場)，在另一個參考系中可能還會存在電場(或磁場)。電場量和磁場量卻是電磁場在某個慣性參考系中的觀測效應，具有相對性。電磁場量的相對性正是電磁場統(tǒng)一性的反映，沒有這種相對性就談不上它的統(tǒng)一性，反之亦然。

參考文獻:

[1]肖軍.統(tǒng)一場及動體電磁理論[M].哈爾濱：哈爾濱工程大學出版社,2008.

[2]趙凱華,陳熙謀.新概念物理學教程電磁學(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]付林興,鄧志武.畢奧-薩伐爾定律的推導[J].湘潭師范學院學報(自然科學版),2006,28(1):28-29.

編輯王菊平

Biot-savart is derived from Coulomb’s law based on electromagnetic theory of covariant

ZHENG Fu-chang

(College of mechanical and electrical engineering, Wuyi University, Wuyishan 354300, Fujian, China)

AbstractBased on electromagnetic theory of covariant, Biot-savart is derived from Coulomb’s law, not only introducing the Biot-savart law rigor in Mathematics problems, deepen an electric field and magnetic field in different inertial frames of reference has a comparative observation of effect of understanding. description the relativity of electromagnetic field is the reflects of the integrity.

Key wordselectromagnetic field transform; Coulomb’s law; Biot-savart law

作者簡介鄭福昌，男，山西大同人，副教授，主要研究方向為物理理論及物理教學。

收稿日期2015-05-29

doi10.3969/j.issn.1003-8078.2015.06.13

中圖分類號O44

文獻標志碼A

文章編號1003-8078(2015)06-0045-05