陶思言，林 達(dá)，曾曉輝

（四川理工學(xué)院自動(dòng)化與電子信息學(xué)院，四川 自貢 643000）

一種新的多翼蝴蝶超混沌吸引子及其電路設(shè)計(jì)*

陶思言，林 達(dá)，曾曉輝

（四川理工學(xué)院自動(dòng)化與電子信息學(xué)院，四川 自貢 643000）

在Lorenz系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過(guò)增加一個(gè)狀態(tài)方程，并設(shè)計(jì)一種新的分段線性函數(shù)，構(gòu)造了一個(gè)新的四維超混沌系統(tǒng)。通過(guò)數(shù)值仿真，對(duì)系統(tǒng)的相圖、Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖進(jìn)行了研究。結(jié)果表明新的四維超混沌系統(tǒng)能產(chǎn)生六翼蝴蝶超混沌吸引子。最后，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的電路，電路仿真結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果相一致，驗(yàn)證了該系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性。

混沌，Lorenz系統(tǒng)，多翼蝴蝶超混沌吸引子，電路設(shè)計(jì)

0 引言

自1963年Lorenz構(gòu)造第一個(gè)混沌系統(tǒng)以來(lái)［1］，人們對(duì)構(gòu)造不同數(shù)量和不同形狀的混沌吸引子產(chǎn)生了極大的興趣。目前，人們已能很容易地構(gòu)造出多渦卷混沌吸引子［2-3］、兩翼［4-5］和四翼蝴蝶混沌吸引子［6-8］，但對(duì)于構(gòu)造多翼蝴蝶混沌吸引子的相關(guān)報(bào)道還較少［9-12］。而多翼蝴蝶混沌吸引子較兩翼、四翼蝴蝶混沌的動(dòng)力學(xué)行為更復(fù)雜，因此，研究多翼蝴蝶混沌吸引子具有重要意義。目前，構(gòu)造多翼蝴蝶混沌吸引子已成為國(guó)內(nèi)外研究熱點(diǎn)。

2013年，文獻(xiàn)［12］提出一種新的構(gòu)造多翼蝴蝶混沌吸引子的方法，即在三維Lorenz系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過(guò)增加一個(gè)狀態(tài)方程和一個(gè)分段線性函數(shù)得到了多翼蝴蝶混沌吸引子。而對(duì)于該文獻(xiàn)構(gòu)造的混沌系統(tǒng)，其增加了系統(tǒng)的維數(shù)，卻不能產(chǎn)生超混沌吸引子。而超混沌吸引子較混沌吸引子，其動(dòng)力學(xué)行為更復(fù)雜。因此，構(gòu)造多翼蝴蝶超混沌吸引子具有重要意義。為此，本文首先設(shè)計(jì)一個(gè)新的關(guān)于狀態(tài)變量x的分段線性函數(shù)，然后在三維Lorenz系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，利用該分段線性函數(shù)代替了狀態(tài)變量x，并增加了一個(gè)關(guān)于狀態(tài)變量w的一階微分方程，得到了一個(gè)能產(chǎn)生六翼蝴蝶超混沌吸引子的超混沌系統(tǒng)。分析了該超混沌系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)行為。最后，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的電子電路，使用Mutltisim 10.0電路仿真軟件進(jìn)行了電路仿真，電路仿真結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果相一致。

2 多翼蝴蝶超混沌吸引子的構(gòu)造

Lorenz系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如下:

其中a=10,b=8/3,c=28.

在式（1）的基礎(chǔ)上，增加了一個(gè)一階微分方程w˙=-hx，并利用符號(hào)函數(shù)設(shè)計(jì)了一個(gè)新的分段線性函數(shù)f（x），利用分段線性函數(shù)f（x）代替式（1）和新增加的一階微分方程w˙=-hx的狀態(tài)變量x，得到了一個(gè)新的系統(tǒng)：

其中，a,b,c,h,k為系統(tǒng)參數(shù)，分段線性函數(shù)

取 a=10,b=8/3,c=28,h=4.7,k=16，式（2）的 4個(gè)Lyapunov指數(shù)值分別為L(zhǎng)E1=0.469 8,LE2=0.218 4,LE3=-0.011 7≈0，LE4=-14.343 2，顯然式（2）有兩個(gè)大于零的Lyapunov指數(shù)。式（2）處于超混沌狀態(tài)。此時(shí)式（2）能產(chǎn)生六翼蝴蝶超混沌吸引子，其在x~z相平面和x~y相平面的相圖如圖1所示。

圖1 六翼蝴蝶超混沌吸引子

3 基本動(dòng)力學(xué)行為

圖2給出了式（2）隨系統(tǒng)參數(shù)h變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖。從圖2（a）的Lyapunov指數(shù)譜可以看出，當(dāng) h∈［4，5］時(shí)，LE1>0，LE2>0，LE3≈0，LE4<0，此時(shí)式（2）有兩個(gè) Lyapunov指數(shù)大于零，因此，式（2）處于超混沌狀態(tài)。圖2（b）的分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜反映相一致。

圖2 式（2）隨系統(tǒng)參數(shù)h變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖

4 多翼蝴蝶超混沌吸引子的電路設(shè)計(jì)

利用電阻、電容、增益為0.1乘法器AD633JN和運(yùn)算放大器UA741CN對(duì)多翼蝴蝶超混沌式（2）進(jìn)行電路設(shè)計(jì)，其電路圖如圖3所示。其中運(yùn)算放大器的電源電壓E=±15V，輸出飽和值Vsat≈±13.5V。

圖3 多翼蝴蝶超混沌式（2）的電路圖

根據(jù)圖3，可得

取 R1=1 kΩ，根據(jù)式（3）、式（5），可得 R11=R12=14 kΩ，RVI=13.5 kΩ。

取 R=10 kΩ，R0=10 kΩ，C0=10 nF根據(jù)式（2）和式（6），可得 R2=R3=10 kΩ，R4=3.57 kΩ，R5=R9=625 Ω，R6=R7=100 kΩ，R8=37.5kΩ，R10=21.28 kΩ。

根據(jù)圖3，使用Mutltisim 10.0電路仿真軟件進(jìn)行電路仿真，其電路仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 電路仿真結(jié)果

比較圖4和圖1可知，在系統(tǒng)特性上電路仿真結(jié)果和數(shù)值仿真結(jié)果相一致，驗(yàn)證了該系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性。

5 結(jié)論

本文使用符號(hào)函數(shù)設(shè)計(jì)了一個(gè)新的分段線性函數(shù)，并利用該分段線性函數(shù)構(gòu)造了一個(gè)能產(chǎn)生六翼蝴蝶超混沌吸引子的四維超混沌系統(tǒng)。對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值仿真和電路仿真，都得到了六翼蝴蝶超混沌吸引子。由于超混沌吸引子較混沌吸引子的動(dòng)力學(xué)行為更復(fù)雜，因此，與一般的多翼混沌系統(tǒng)相比，該六翼蝴蝶超混沌系統(tǒng)在工程上具有更大的應(yīng)用價(jià)值。

［1］Lorenz E N.Deterministic Nonperiodic Flow［J］.J.Atmos.Sci.，1963（20）：130-141.

［1］王春華，尹晉文，林愿.基于電流傳輸器的網(wǎng)格多渦卷混沌電路設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)［J］.物理學(xué)報(bào)，2012，61（21）：114-121.

［3］黃沄，羅小華，張鵬.一種新的具有光滑二次函數(shù)多渦卷混沌系統(tǒng)及其FPGA實(shí)現(xiàn)［J］.重慶郵電大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，24（4）：479-482.

［4］李春來(lái)，禹思敏，羅曉曙.一個(gè)新的混沌系統(tǒng)的構(gòu)建與實(shí)現(xiàn)[J].物理學(xué)報(bào)，2012，61（11）：127-136.

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［6］Yu S，Tang K S.Tetrapterous Butterfly Attractors in Modified Lorenz Systems［J］.Chaos,Solitons,Fractals,2009，41（4）：1740-1749.

［7］Hu G，Yu B.A Hyperchaotic with a Four-wing Attractor［J］.Int.J.Bifurcation and Chaos，2009，20（2）：323-335.

［11］黃沄.一類多翼蝴蝶混沌吸引子及其電路實(shí)現(xiàn)［J］.物理學(xué)報(bào)，2014，63（8）：080505.

［12］羅明偉，羅小華，李華青.一類四維多翼混沌系統(tǒng)及其電路實(shí)現(xiàn)［J］.物理學(xué)報(bào)，2013，62（2）:153-158.

A NovelM ulti-w ing Butterfly Hyper-chaotic Attractorsand Circuit Design

TAOSi-yan，LINDa，ZENGXiao-hui
（School of Automation and Electronic Information Engineering，Sichuan University of Science&Engineering，Zigong 643000，China）

Based on Lorenz system，a novel four-dimension hyper-chaotic system is presented via adding a state equation and designing a new piecewise linear function in this paper.Through the numerical simulation，the phase diagrams，Lyapunov exponential spectrums and bifurcation diagrams of the system are studied.The numerical simulation result shows that the four-dimension hyper-chaotic system is able to generate six-wing butterfly hyper-chaotic attractors.Furthermore，an electronic circuit is designed to implement the system.The circuit simulation results are in agreementwith the numerical simulation results，which verify the realizability of the system.

chaos，Lorenzsystem，multi-wingbutterfly hyper-chaotic attractors，circuitdesign

O415.5

A

1002-0640（2015）11-0170-03

2014-09-16

2014-10-07

四川省人工智能重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（2011RZJ02）；四川省自貢市科技局重點(diǎn)基金資助項(xiàng)目（2012D09）

陶思言（1981- ），女，四川人，碩士，講師。研究方向：混沌同步及其應(yīng)用。