連續(xù)放縮兩次探求多元函數(shù)最值問題

武增明+趙紅革

求多元函數(shù)最值問題，內(nèi)涵豐富，方法靈活多變，技巧性強(qiáng)，難度大，解法沒有規(guī)律性，且有些此類問題按常規(guī)方法求解更有難度.若利用題設(shè)條件、不等式性質(zhì)、基本不等式及柯西不等式等連續(xù)放縮兩次，將多元變量轉(zhuǎn)化為少元變量或單元變量，并兼顧等號(hào)成立的條件來解答，可使思維簡約，過程簡捷.下面舉例說明，旨在拋磚引玉.

1由題設(shè)條件和均值不等式連續(xù)放縮兩次

由題目直接或間接給出的條件和均值不等式連續(xù)放縮兩次，將多元變量最值問題轉(zhuǎn)化為一元變量最值問題，并兼顧等號(hào)同時(shí)成立的條件.

例1（2014年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試（A卷）第2題）設(shè)集合{3a+b|1≤a≤b≤2}中的最大元素與最小元素分別為M，m，則M-m的值為.

2由題設(shè)條件和不等式性質(zhì)連續(xù)放縮兩次

根據(jù)題目直接或間接給出的條件和不等式性質(zhì)，通過逐步連續(xù)放縮兩次，將多元變量最值問題轉(zhuǎn)化為單元變量或雙元變量最值問題，并兼顧等號(hào)同時(shí)成立的條件.

3由題設(shè)條件和柯西不等式連續(xù)放縮兩次

根據(jù)題目直接或間接給出的條件和柯西不等式，通過逐步連續(xù)放縮兩次，減少變量的個(gè)數(shù)，實(shí)現(xiàn)直接求解最值的目標(biāo).

例3（2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試（A卷）第3題）設(shè)x，y，z∈[0，1]，則M=|x-y|+|y-z|+|z-x|的最大值是.

4由題設(shè)條件連續(xù)放縮兩次

根據(jù)題設(shè)條件連續(xù)放縮兩次，減少變量的個(gè)數(shù)或?qū)⒍嘣兞哭D(zhuǎn)化為單元變量，并兼顧等號(hào)同時(shí)成立的條件.

例4（2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽第10題）已知a，b，c，d∈[-1，+∞），且a+b+c+d=0，則ab+bc+cd的最大值為.

解析問題涉及四個(gè)變量，且各變量不具對稱性，使用不等式手段解決的可行性比較小，因此考慮逐步降元的方式處理.由于ab+bc+cd=b（a+c+d）+cd-bd=-b2+cd-bd=-b2+（c-b）d，此時(shí)無法進(jìn)行恒等消元，我們考慮放縮性消元，則必須考慮c-b及d的正負(fù)性.

故ab+bc+cd≤-b2+b+1，等號(hào)成立的條件為b≥c，d=-1，c=-1.從而，當(dāng)a=32，b=12，c=-1，d=-1時(shí)，ab+bc+cd取得最大值54.根據(jù)b，c的對稱性，類似可得，當(dāng)a=-1，b=-1，c=12，d=32時(shí)，ab+bc+cd也取得最大值54.

5由基本不等式連續(xù)放縮兩次

根據(jù)基本不等式、柯西不等式及不等式性質(zhì)連續(xù)放縮兩次，減少變量的個(gè)數(shù)或可直接求解最值.

多元函數(shù)最值問題，具有很強(qiáng)的靈活性，求解方法也沒有固定的模式.本文中我們只是通過幾道典型的多變量最值問題，進(jìn)行放縮兩次的求解策略作一些梳理與總結(jié)，以便提升日后對此類問題教學(xué)的效率，也為廣大的一線同仁提供一些參考.