甘志國(guó)

一、選擇題（每題5分，共60分）

1.設(shè)集合A={x∈Rx+1≥2}，集合{-2，-1，0，1，2}，則A∩B=（）.

A.{2}B.{1，2}

C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2}

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)21-i-i3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

第3題圖3.閱讀程序框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間[14，12]內(nèi)，則輸入的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）.

A.（-∞，-2]

B.[-2，-1]

C.[-1，2]

D.[2，+∞）

4.若不等式組x≥0，

x+3y≥4，

3x+y≤4，所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+43分為面積相等的兩部分，則k=（）.

A.73B.37C.43D.34

5.在樣本的頻率分布直方圖中，共有11個(gè)小長(zhǎng)方形，若中間一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于其它10個(gè)小長(zhǎng)方形的面積和的14，且樣本容量為160，則中間一組的頻數(shù)為（）.

A.32B.02C.40D.025

6.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1=1，公差d=2，Sn+2-Sn=36，則n=（）.

A.5B.6C.7D.8

7.6個(gè)人站成一排，其中甲、乙必須站在兩端，且丙、丁相鄰，則不同站法的種數(shù)為（）.

A.12B.18C.24D.36

8.若直線x=1+t

y=a-t（t為參數(shù)）被圓x=2+2cosα

y=2+2sinα（α為參數(shù)）所截得的弦長(zhǎng)為22，則a=（）.

A.1或5B.-1或5

C.1或-5D.-1或-5

9.若0

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

10.如圖所示，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A，D分別在x軸、y軸正半軸上移動(dòng)，則OB·OC的最大值是（）.

A.2B.1+2C.πD.4

第10題圖第11題圖11.如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=22，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）.

A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCD

C.三棱錐A—BEF的體積為定值

D.異面直線AE，BF所成的角為定值

12.對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“⊙”：a⊙b=b，a-b≥1，

a，a-b<1，設(shè)f（x）=（x2-1）⊙（4+x）+k，若函數(shù)f（x）的圖象與x軸恰有三個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍是（）.

A.（-2，1）B.[0，1]

C.[-2，0）D.[-2，1）

二、填空題（每題4分，共16分；最后一題每空2分）

第13題圖13.若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其表面積的最小值為.

14.若過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且AF=2，則BF=.

15.設(shè)A={（a，c）|0

16.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)P是正方體棱上一點(diǎn)（不包括棱的端點(diǎn)），PA+PC1=m.

①若m=2，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為；

②若滿足PA+PC1=m的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6，則m的取值范圍是.

三、解答題（前5題每題12分，最后1題14分）

17.在銳角△ABC中，a=2bsinA.

（1）求B的大??；

（2）求cosA+sinC.

第18題圖18.“你低碳了嗎？”這是某市為倡導(dǎo)建設(shè)資源節(jié)約型社會(huì)而發(fā)布的公益廣告里的一句話.活動(dòng)組織者為了解這則廣告的宣傳效果，隨機(jī)抽取了100名年齡段在[10，20），[20，30），…，[50，60）的市民進(jìn)行問卷調(diào)查，由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求隨機(jī)抽取的市民中年齡段在[30，40）的人數(shù)；

（2）從不小于40歲的人中按年齡段分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8人，求[50，60）年齡段抽取的人數(shù)；

（3）從按（2）中方式得到的8人中再抽取3人作為本次活動(dòng)的獲獎(jiǎng)?wù)?，記X為年齡在[50，60）年齡段的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

第19題圖19.如圖，四棱錐E—ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2.

（1）求證：BD⊥平面ADE；

（2）求直線BE和平面CDE所成角的正弦值；

（3）在線段CE上是否存在一點(diǎn)F使得平面BDF⊥平面CDE，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.已知函數(shù)f（x）=2alnx-x2+1.

（1）若a>0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最大值；

（2）若f（x）≤0（x≥1）恒成立，求a的最大值.

21.已知橢圓x2a2+y2b2=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），且離心率為63.

（1）求橢圓方程；

（2）斜率為k的直線l過點(diǎn)F，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，P為直線x=3上的一點(diǎn)，若△ABP為等邊三角形，求直線l的方程.

22.（1）設(shè)數(shù)列{an}由a1=5，a2=23，an+2=5an+1-an（n∈N*）確定.

①求證an+1-5-212an是等比數(shù)列；

②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

（2）若把無(wú)理數(shù)5+2122015寫成小數(shù)，求其個(gè)位數(shù)字及十分位、百分位、千分位上的數(shù)字.

參考答案

1-12：BABAADCABACD

13.6+2314215.1+2ln2416.6，（3，5）

17.（1）由a=2bsinA及正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以sinB=12.再由△ABC為銳角三角形得B=π6.

（2）cosA+sinC=cosA+sin（π-π6-A）=cosA+sin（π6+A）=cosA+12cosA+32sinA=3sin（A+π3）.

由△ABC為銳角三角形知A的取值范圍是π3，π2，進(jìn)而可得cosA+sinC的取值范圍為32，32.

18.（1）1-10×（0.020+0.025+0.015+0.005）=0.35，100×0.35=35，即隨機(jī)抽取的市民中年齡段在[30，40）的人數(shù)為35.

（2）100×0.15=15，100×0.05=5，所以5×820=2，即抽取的8人中[50，60）年齡段抽取的人數(shù)為2.

（3）X的所有可能取值為0，1，2.

P（X=0）=C36C38=514；P（X=1）=C12C26C38=1528；P（X=2）=C22C16C38=328.所以X的分布列為

X012P5141528328得X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=0·514+1·1528+2·328=34.

19.（1）由BC⊥CD，BC=CD=2，可得BD=22.由EA⊥ED，且EA=ED=2，可得AD=22.

又AB=4，所以BD⊥AD.

又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，所以BD⊥平面ADE.

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz.

得D（0，0，0），B（0，22，0），C（-2，2，0），E（2，0，2），所以BE=（2，-22，2），DE=（2，0，2），DC=（-2，2，0）.

可求得平面CDE的一個(gè)法向量是n=（1，1，-1）.

設(shè)直線BE與平面CDE所成的角為α，得

sinα=|cos|=|BE·n||BE|·|n|=|2-22-2|23·3=23.

即直線BE和平面CDE所成角的正弦值為23.

（3）設(shè)CF=λCE，λ∈[0，1]，得DC=（-2，2，0），CE=（22，-2，2），DB=（0，22，0），所以DF=DC+CF=DC+λCE=2（2λ-1，-λ+1，λ）.

設(shè)平面BEF一個(gè)法向量是m，可求得m=（1，0，-2λ-1λ）.若平面BEF⊥平面CDE，則m·n=0，即1+2λ-1λ=0，λ=13，λ∈[0，1].所以在線段CE上存在一點(diǎn)F使得平面BEF⊥平面CDE.

20.（1）f′（x）=2ax-2x=-2（x2-a）x，x>0.

①當(dāng)a≤1，即0

所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最大值為f（1）=0.

②當(dāng)a>1，即a>1時(shí)，x在[1，+∞）上變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表

x1（1，a）a（a，+∞）f′（x）+0-f（x）0↗alna-a+1↘所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最大值為f（a）=alna-a+1.

綜上所述：當(dāng)01時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最大值為f（a）=alna-a+1.

（2）當(dāng)a≤0時(shí)，可證函數(shù)f（x）是減函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最大值為f（1）=0，即a≤0滿足題設(shè).

當(dāng)0

當(dāng)a>1時(shí)，由于f（x）在區(qū)間[1，a]上是增函數(shù)，所以f（a）>f（1）=0，即在區(qū)間[1，+∞）上存在x=a使得f（x）>0.

綜上所述，a的最大值為1.

21.（1）依題意有c=2，ca=63，可得a2=6，b2=2.所以所求橢圓的方程為x26+y22=1.

（2）直線l的方程為y=k（x-2）.聯(lián)立方程組y=k（x-2），

x26+y22=1.消去y并整理得（3k2+1）x2-12k2x+12k2-6=0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），得x1+x2=12k23k2+1，x1x2=12k2-63k2+1，所以|AB|=1+k2|x1-x2|=26（k2+1）3k2+1.

設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x0，y0），得x0=6k23k2+1，y0=-2k3k2+1.得直線MP的斜率為-1k，又xP=3，所以MP=1+1k2·x0-xP=k2+1k2·3（k2+1）（3k2+1）.當(dāng)△ABP為正三角形時(shí)，|MP|=32|AB|，即k2+1k2·3（k2+1）（3k2+1）=32·26（k2+1）3k2+1.解得k=±1.即直線l的方程為x-y-2=0，或x+y-2=0.

22.（1）①對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x（x≠5），有

an+2-xan+1=（5-x）an+1-15-xan，

令x=15-x，得x=5±212.所以，當(dāng)x=5±212時(shí)，有an+2-xan+1=（5-x）（an+1-xan），進(jìn)而可得{an+1-xan}是首項(xiàng)為23-5x、公比為5-x的等比數(shù)列，得欲證成立.

②由以上解答，得

an+1-5-212an=21+52125+212n-1=215+212n

an+1-5+212an=21-52125-212n-1=-215-212n

解這個(gè)關(guān)于an+1、an的方程組，得

an=5+212n+5-212n

（2）因?yàn)閿?shù)列an由a1=5，a2=23，an+2=5an+1-an（n∈N*）確定，所以由數(shù)學(xué)歸納法可證數(shù)列an是遞增數(shù)列且各項(xiàng)均是正整數(shù).

又因?yàn)?<5-212<1，所以a2015是大于5+2122015的最小整數(shù)，即a2015=5+2122015+1（這里[a]表示實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分）5+2122015的個(gè)位數(shù)字即5+2122015也即a2015-1被10除所得的余數(shù).由于數(shù)列{an}由a1=5，a2=23，an+2=5an+1-an（n∈N*）確定，得{an}的各項(xiàng)被10除所得的余數(shù)依次是5，3，0，7，5，8，5，7，0，3，5，2，5，3，…

所以該數(shù)列是以12為周期的周期數(shù)列，又2015被12除所得的余數(shù)是11（因?yàn)?016是12的倍數(shù)），所以a2015被10除所得的余數(shù)即a11被10除所得的余數(shù)5，得5+2122015的個(gè)位數(shù)字是5-1=4.

因?yàn)?<5-212<14，所以0<5-2122015<142015<11000，0.999<1-5-2122015<1，即1-5-2122015=0.999….

又a2015=5+2122015+5-2122015是正整數(shù)，所以5+2122015=（a2015-1）+1-5-2122015=（a2015-1）+0.999…，即5+2122015的個(gè)位數(shù)字是4，十分位、百分位、千分位上的數(shù)字均是9.