以函數(shù)f（x）=lnxx為背景的高考題賞析

張立建

1試題

例1（2013年江蘇卷20）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a為實(shí)數(shù).

（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；

（2）若g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

例2（2014年湖北卷22）π為圓周率，e=2.71828……為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)f（x）=lnxx的單調(diào)區(qū)間；

（2）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)；

（3）將e3，3e，eπ，πe，3π，π3這6個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論.

例3（2013年北京卷18）設(shè)l為曲線C：y=lnxx在點(diǎn)（1，0）處的切線.

（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）證明：除切點(diǎn)（1，0）之外，曲線C在直線l的下方.

以上3道試題都是考查函數(shù)的性質(zhì)和圖象，或以此為背景綜合考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

2函數(shù)f（x）=lnxx的性質(zhì)和圖象

函數(shù)f（x）=lnxx在（0，e）上是增函數(shù)，在（e，+∞）上是減函數(shù).f（x）max=f（e）=e-1，無(wú)最小值，有唯一零點(diǎn)x=1.

圖1證明f（x）=lnxx定義域（0，+∞），則f′（x）=1-lnxx2，解f′（x）>0得0e，所以f（x）在（e，+∞）上是減函數(shù).又f（x）max=f（e）=e-1，f（1）=0，且當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，恒有f（x）=lnxx>0，由此可得函數(shù)f（x）的圖象如圖1所示.

3問(wèn)題的解決

例1分析函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題是高考熱點(diǎn)問(wèn)題，分離參數(shù)法是常用解法之一，將函數(shù)f（x）=lnx-ax的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)y=a與y=lnxx的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查函數(shù)y=lnxx的圖象，數(shù)形結(jié)合法求解，但做函數(shù)f（x）=lnxx的圖象時(shí)要特別注意函數(shù)在（e，+∞）上時(shí)有漸近線（x軸）.

解析（2）g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，則a≤（ex）min，故a≤1e.函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是方程a=lnxx（x>0）的根，也是函數(shù)y=a與函數(shù)y=lnxx圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故本題也可轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y=lnxx的圖象.令m（x）=lnxx，則由函數(shù)y=lnxx的圖象得當(dāng)a=1e或a≤0時(shí)，函數(shù)m（x）與函數(shù)y=a的圖象有且只有1個(gè)交點(diǎn)，所以f（x）有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0

例2分析利用函數(shù)f（x）=lnxx的單調(diào)性比較大小，可有如下結(jié)論：

（1）當(dāng)0

（2）當(dāng)elnbb，即ab>ba.

（3）方程ab=ba（0

解析（1）f（x）在（0，e）上是增函數(shù)；f（x）在（e，+∞）上是減函數(shù).（2）因?yàn)楹瘮?shù)y=ex，y=3x，y=πx在定義域上單調(diào)遞增，故e3

（3）由（2）易得3e<πe<π3<3π，3e2-eπ.兩邊同乘e得，elnπ>e（2-eπ）>2.7×（2-2.723.1）>2.7×（2-0.88）=3.024>3，即elnπ>3，故lnπe>lne3，所以e3<πe.又由lnπ>2-eπ得3lnπ>3（2-eπ）>6-3eπ>6-e>π，即3lnπ>π，所以eπ<π3.綜上，3e

例3分析第（1）問(wèn)考查函數(shù)f（x）=lnxx在某點(diǎn)處的切線；第（2）問(wèn)考查函數(shù)f（x）=lnxx與其它函數(shù)圖象的關(guān)系.

解析（1）切線l的方程為y=x-1；（2）除切點(diǎn)1，0之外，曲線C在直線l的下方等價(jià)于lnxx0，x≠1恒成立.只需證x-1-lnxx>0，x>0，x≠1恒成立.令g（x）=x-1-lnxx，x>0，x≠1，只需證g（x）min>0.下求g（x）min.g′（x）=x2-1+lnxx2，又h（x）=x2-1+lnx在（0，+∞）上是增函數(shù)，且h（1）=0，故g′（x）=x2-1+lnxx2=0有且只有一個(gè)根x=1.因此，x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）>0，函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；x∈（0，1）時(shí)，g′（x）<0，函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減.故g（x）min>g（1）=0.即除切點(diǎn)1，0之外，曲線C在直線l的下方.

4相關(guān)應(yīng)用

兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系可轉(zhuǎn)化為不等式恒成立來(lái)處理；反之，不等式恒成立問(wèn)題，有時(shí)我們可以從函數(shù)圖象入手，找到解題的切入點(diǎn).

例4當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，證明：x2-12x>（1+x）lnx.

證明因?yàn)閤∈（0，e]，所以不等式可以變形為x-lnx-12>lnxx.令f（x）=x-lnx-12，g（x）=lnxx，又f′（x）=x-1x，故f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，e）上單調(diào)遞增，因此f（x）min=f（1）=12.又g（x）max=g（e）=1e，因此f（x）min>g（x）max，故當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，x2-12x>（1+x）lnx.

點(diǎn)評(píng)（1）對(duì)于由對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)組合而成的函數(shù)，一般是構(gòu)造函數(shù)y=lnxx進(jìn)行證明.（2）不等式f（x）>g（x）恒成立通常是利用構(gòu)造新函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）的最值，當(dāng)此法不易解決時(shí)，我們一般考慮求出函數(shù)f（x）的最小值a和函數(shù)g（x）的最大值b，若a>b，則問(wèn)題得證.但需注意f（x）min>g（x）max是f（x）>g（x）恒成立的充分不必要條件，不具有一般性.

（3）我們可借助函數(shù)圖象，找到證明思路，如圖2.

圖2圖3例5已知f（x）=ex-2-lnxx，證明：f（x）>0.

分析f′（x）=ex-2-1-lnxx2，f′（x）=0的解不易求得.如果作出函數(shù)y=ex-2和y=lnxx的圖象，則容易看出這兩個(gè)函數(shù)的圖象都與直線y=x-1相切（如圖3），從而可以轉(zhuǎn)化為證明不等式ex-2≥x-1及x-1≥lnxx.

證明定義域（0，+∞），設(shè)g（x）=ex-2-x+1，則g′（x）=ex-2-1，所以在（2，+∞）上，g′（x）>0，g（x）單調(diào)增，在（0，2）上，g′（x）<0，g（x）單調(diào)減，故g（x）≥g（2）=0.即ex-2≥x-1（當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)）.又由例3知x-1≥lnxx（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），因此ex-2≥x-1≥lnxx（等號(hào)不能同時(shí)取到），所以ex-2>lnxx，即f（x）>0，得證.