朱小飛， 檀結慶， 張 旭

（合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院，安徽 合肥 230009）

非線性方程和非線性方程組的數(shù)值解法［1－3］是計算數(shù)學的一個重要的研究內容，它在解決很多實際問題中起到了重要作用。Newton迭代方法是最經(jīng)典的迭代方法，具有二階收斂性。Halley迭代法和Chebyshev迭代法是三階收斂的，文獻［4－5］利用Adomian分解法分別給出了三階收斂和四階收斂的迭代方法，文獻［6－7］根據(jù)求積公式分別提出了具有四階收斂和五階收斂的迭代方法。

1 迭代方法

考慮非線性方程組F（x）＝0，其中函數(shù)F（x）：D?Rn在凸集D?Rn上p階可微，且ξ是非線性方程組的一個實數(shù)根，對函數(shù)F（x）進行Taylor展開［8］得：

當p＝1時，可得：

利用左矩形積分公式可得：

將（3）式帶入（2）式，并令F（x）＝0得：

進而得到如下迭代格式：

（5）式為經(jīng)典的Newton迭代格式。對于（2）式中的積分部分，若利用不同的數(shù)值積分公式則可以得到不同的迭代方法。文獻［9］提出了2點Newton－Cotes公式，即閉－開求積公式和開－閉求積公式：

文獻［10］利用（6）式的2種積分公式來近似（2）式中的積分部分，得到：

相應地得到了2種改進的兩步求解非線性方程組的迭代方法，即

文獻［11］給出了1種改進的求解非線性方程組的迭代方法，即

文獻［12］給出了1種改進的求解非線性方程組的兩步Newton迭代方法，即

其中，y（m）＝x（m）－F′（x（m））－1F（x（m））為著名的二階收斂的Newton迭代方法。

文獻［7］根據(jù)以上公式得到了相應的3種求解非線性方程組的迭代方法，并證明其是一階收斂的，即

本文在上述三步五階迭代方法的基礎上再加一步，得到了相應的3種新的求解非線性方程組的迭代方法，并證明其是五階收斂的。（1）新方法一。

（2）新方法二。

（3）新方法三。

（8）～（17）式中m＝0，1，2，…。

2 收斂分析

定理1 設F（x）：D?Rn→Rn在凸集D 上p階可微，且非線性方程組F（x）＝0在凸集D上存在根η，則上面提出的3種迭代方法（15）～（17）式都是八階收斂的，且滿足誤差等式：

其中

證明 先證明方法一，即（15）式具有八階收斂。分別將F（x（m））、F′（x（m））、F′（y（m））在點η處運用Taylor公式展開得：

由（18）式和（15）式的預測一可得：

由（21）式可得：

其中，

由（22）式可得：

其中，

因為［7］

所以［7］

其中，R5＝L5／2＋C42；R6＝L6／2＋P6／2；R7＝L7／2＋P7／2；R8＝L8／2＋P8／2。

所以有：

其中，

T6＝2C2R6＋34C3C42； T7＝2C2R7＋32C22C3L4； T8＝2C2R8＋34C3L24＋3C22C3C5。

由（24）式可得：

綜上可得：

即證得新方法一（15）式具有八階收斂，同樣可證得新方法二、新方法三都具有八階收斂。

3 數(shù)值實例

分別用牛頓迭代公式（Newton）、文獻［7］提出的算法（方法一和方法三）以及本文提出的3種新方法（取其中的新方法一和新方法三）求解幾個非線性方程組，并比較這些不同的方法在每次迭代后得到的近似解。所有的結果都是在Matlab R2010b環(huán)境下實現(xiàn)的。

例1 解非線性方程組：

取初始值為［2.5，5］T，數(shù)值計算結果見表1所列。

例2 解非線性方程組：

取初始值為［0.5，2，3］T，數(shù)值計算結果見表2所列。

表1 例1不同方法迭代3次后的計算結果

表2 例2不同方法迭代3次后的計算結果

以上數(shù)值實例表明，本文提出的3種求解非線性方程組的方法都是可行的，且所需的迭代次數(shù)較少，收斂速度較快。

效率指數(shù)如圖1所示，由圖1可以得到，當?shù)螖?shù)n＜3.5時，本文的方法效果相對較好。

4 結束語

本文給出了3種新的解非線性方程組的方法，并證明其具有八階收斂性；數(shù)值實例表明這3種方法都是可行的，且本文方法迭代的次數(shù)較少，收斂速度較快，本文方法效率指數(shù)也相對較好。

圖1 效率指數(shù)圖

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