楊文興

(邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河北 邯鄲 056005)

?

K=12、y=15時，盈數(shù)、朒數(shù)的計算過程

楊文興

(邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河北 邯鄲 056005)

用初等數(shù)學(xué)的知識證明了祖沖之的結(jié)論,詳細(xì)介紹盈數(shù)、朒數(shù)的計算過程。

圓周率；祖沖之；盈數(shù)；朒數(shù)

筆者的文章《再現(xiàn)肭數(shù)和盈數(shù)》在《邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報》2015年第2期發(fā)表。該文結(jié)論是：只要計算時，在第15位小數(shù)進(jìn)行近似處理就可得到祖沖之的結(jié)論，并且這個計算工作可以通過筆和紙來完成。遺憾的是，當(dāng)時筆者沒有用紙和筆的方法完成這個工作，而是計算機(jī)程序，調(diào)用了計算機(jī)語言里的庫函數(shù)。由于計算機(jī)計算時的截斷誤差以致一組計算結(jié)果不精確，對此感到抱歉。這篇補(bǔ)充就是來彌補(bǔ)這個不足的。它要達(dá)到如下兩個目的：(1)介紹以手，筆，紙為計算工具的計算辦法及過程；(2)絕對精確。歡迎讀者檢驗。

K=12、y=15時，意味著分圓為6×2^12等份。計算時保留15位小數(shù)，并在第15位小數(shù)上作近似處理。在拙文《再現(xiàn)肭數(shù)和盈數(shù)》中已得到的結(jié)論：

D[1]=3^0.5

D[i+1]=(2+D[i])^0.5,i是自然數(shù)。

s[12]=(2-D[12])^0.5

m[12]=(2×s[12])÷D[13]

3×212×s[12]

注意：為了減少篇幅，開方豎式中的，有時列沒有對齊。

一：盈數(shù)的計算過程

圓周率Pi<3×2^12×m[12]

計算s[12]

s[12]=(2-D[12])^0.5

開方計算D[i]時，當(dāng)?shù)玫降?5位小數(shù)即停止。

D[1]=3^0.5

用筆和紙進(jìn)行的開方豎式如下:

3.000000000000000000000000000000

1 1

200

189 17

1100

1029 173

7100

6924 1732

17600

00000 17320

1760000

1732025 173205

2797500

0000000 1732050

279750000

277128064 17320508

262193600

000000000 173205080

26219360000

24248711249 1732050807

197064875100

173205080725 17320508075

2385979437500

2078460969036 173205080756

30751846846400

27712812921024 1732050807568

303903392537600

277128129210944 17320508075688

2677526332665600

2424871130596369 173205080756887

25265520206923100

24248711305964229 1732050807568877

∴D[1]>1.732050807568877

D[2]= (2+D[1])^0.5

>(2+1.732050807568877)^0.5

開方豎式如下:

3.732050807568877000000000000000

1 1

273

261 19

1220

1149 193

7150

3861 1931

328980

309024 19318

1995675

1931825 193185

6385068

3863701 1931851

252136787

231822156 19318516

2031463170

1931851625 193185165

9961154500

7727406604 1931851652

223374789600

193185165225 19318516525

3018962437500

2704592313549 193185165257

31437012395100

30909626441184 1931851652578

52738595391600

38637033051561 19318516525781

1410156234003900

1159110991546869 193185165257813

25104524245703100

23182219830937596 1931851652578136

∴D[2]>1.931851652578136

D[3]= (2+D[2])^0.5

>(2+1.931851652578136)^0.5

開方豎式如下:

3.931851652578136000000000000000

1 1

293

261 19

3218

3104 198

11451

7924 1982

352765

317184 19828

3558125

3172544 198288

38558178

35691921 1982889

286625713

277604509 19828897

902120460

793155884 198288972

10896457600

7931558884 1982889722

296489871600

277604561129 19828897227

1888531047100

1586311778176 198288972274

30221926892400

27760456118409 1982889722747

246147077399100

237946766729676 19828897227476

820031066942400

793155889099044 198288972274762

2687517784335600

0000000000000000 1982889722747620

D[3]>1.982889722747620

開方豎式篇幅太長，為此，略去一些開方豎式。

D[4]= (2+D[3])^0.5

>(2+1.982889722747620)^0.5

>1.995717846477206

D[5]= (2+D[4])^0.5

>(2+1.995717846477206)^0.5

>1.998929174952731

D[6]= (2+D[5])^0.5

>3.998929174952731^0.5

>1.999732275819123

D[7]=(2+D[6])^0.5

>3.999732275819123^0.5

>1.999933067834802

D[8]= (2+D[7])^0.5

>3.999933067834802^0.5

>1.999983266888701

D[9]= (2+D[8])^0.5

>3.999983266888701^0.5

>1.999995816717800

D[10]= (2+D[9])^0.5

>3.9999958167178^0.5

>1.999998954179176

D[11]= (2+D[10])^0.5

>3.999998954179176^0.5

> 1.999999738544776

D[12]= (2+D[11])^0.5

>(2+1.999999738544776)^0.5

開方豎式如下:

3.999999738544776000000000000000

1 1

299

261 19

3899

3501 199

39899

35901 1999

399873

359901 19999

3997285

3599901 199999

39738444

35999901 1999999

373854377

359999901 19999999

1385447660

1199999949 199999993

18544771100

15999999456 1999999934

254477164400

239999992116 19999999346

1447717228400

1199999960769 199999993463

24771726763100

23999999215596 1999999934636

77172754750400

39999998692721 19999999346361

3717275605767900

3599999882345061 199999993463619

11727572342283900

7999999738544764 1999999934636192

D[12]>1.999999934636192

D[13]= (2+D[12])^0.5

> (2+1.999999934636192)^0.5

開方豎式如下:

3.999999934636192000000000000000

1 1

299

261 19

3899

3501 199

39899

35901 1999

399893

359901 19999

3999246

3599901 199999

39934536

35999901 1999999

393463519

359999901 19999999

3346361820

3199999904 199999998

14636191600

11999999889 1999999983

263619171100

239999997996 19999999836

2361917310400

1999999983625 199999998365

36191732677500

35999999705781 1999999983659

19173297171900

00000000000000 19999999836590

1917329717190000

1599999986927216 199999998365904

31732973026278400

27999999771226609 1999999983659047

D[13]>1.999999983659047

s[12]=(2-D[12])^0.5

<(2-1.999999934636192)^0.5

= 0.0000000653638079999999999999910^0.5

開方豎式如下:

0.0000000653638079999999999999910

0 0

00

00 00

000

000 000

0000

0000 0000

00006

00004 00002

000253

000225 000025

0002863

0002525 0000255

00033880

00030636 00002556

000324479

000306756 000025566

0001772399

0001533969 0000255663

00023843099

00020453056 00002556634

000339004399

000306796116 000025566346

0003220828399

0003067961556 0000255663466

00015286684399

00010226538644 00002556634662

000506014575599

000460194239241 000025566346629

00045820336358910

0004090615460704 0000255663466298

開方計算已到第15位小數(shù)，得0.000255663466298，停止開方計算。然后在第15位小數(shù)上加1,得0.000255663466299。有下面不等式成立。

S[12]<0.000255663466299

3×212×s[12]=s[12]×3×212

<0.000255663466299×3×212

=0.000255663466299×12288

0002045307730392

0020453077303920

0051132693259800

0511326932598000

+2556634662990000

3141592673882112

∴3×212×s[12]<3.141592673882112

3×212×m[12]

=3×212× (2×s[12]÷D[13])

= 2×(3×212× s[12])÷D[13]

<2×3.141592673882112÷D[13]

=6.283185347764224÷D[13]

<6.283185347764224÷1.999999983659047

6283185347764224 商

-5999999950977141 3

2831853967870830

-1999999983659047 1

8318539842117830

-7999999934636188 4

3185399074816420

-1999999983659047 1

11853990911573730

-9999999918295235 5

18539909932784950

-17999999852931423 9

5399100798535270

-3999999967318094 2

13991008312171760

-11999999901954282 6

19910084102174780

-17999999852931423 9

19100842492433570

-17999999852931423 9

11008426395021470

-9999999918295235 5

10084264767262350

-9999999918295235 5

0842648489671150

0000000000000000 0

8426484896711500

-7999999934636188 4

4264849620753120

-3999999967318094 2

2648496534350260

-1999999983659047 1

除法計算已到第15位小數(shù)，停止除法計算。然后在第15位小數(shù)上加1。有下面不等式成立。

∴ 3×212×m[12]<3.141592699550422

∵Pi<3×212×m[12]

∴Pi<3.141592699550422

<3.1415927(盈數(shù))

二：朒數(shù)的計算過程。

3×212×s[12]

D[1]=3^0.5

D[i+1]=(2+D[i])^0.5,i是自然數(shù)。

s[12]=(2-D[12])^0.5

計算D[i]，i=1,2,…12。

開方計算D[i]時，當(dāng)?shù)玫降?5位小數(shù)即停止。并在第十五位小數(shù)上加1?？傻靡唤M近似值。

開方豎式略。

D[1]=3^0.5

D[1]<1.732050807568878

D[2]=(2+D[1])^0.5

<(2+1.732050807568878)^0.5

<1.931851652578137

D[3]=(2+D[2])^0.5

<(2+1.931851652578137)^0.5

<1.982889722747621

D[4]=(2+D[3])^0.5

<(2+1.982889722747621)^0.5

<1.995717846477208

D[5]=(2+D[4])^0.5

<(2+1.995717846477208)^0.5

<1.998929174952732

D[6]=(2+D[5])^0.5

<(2+1.998929174952732)^0.5

<1.999732275819124

D[7]=(2+D[6])^0.5

<(2+1.999732275819124)^0.5

<1.999933067834803

D[8]=(2+D[7])^0.5

<(2+1.999933067834803)^0.5

<1.999983266888702

D[9]=(2+D[8])^0.5

<(2+1.999983266888702)^0.5

<1.999995816717801

D[10]=(2+D[9])^0.5

<(2+1.999995816717801)^0.5

<1.999998954179177

D[11]=(2+D[10])^0.5

<(2+1.999998954179177)^0.5

<1.999999738544778

D[12]=(2+D[11])^0.5

<(2+1.999999738544778)^0.5

<1.999999934636194

s[12]=(2-D[12])^0.5

>(2-1.999999934636194)^0.5

=0.000000065363806^0.5

>0.000255663462387 (開方計算已到第 15位小數(shù)，停止開方計算。)

3×212×s[12]

>0.000255663462387×(3×212)=0.000255663462387×12288

=3.141592625811456

∵Pi >3×212×s[12]

∴Pi>3.141592625811456

>3.1415926(朒數(shù))

以上就是當(dāng)K= 12，y= 15時盈數(shù)、朒數(shù)的全部計算過程。

與上一篇文章一起，筆者證明了祖沖之的結(jié)論。證明過程涉及一點(diǎn)幾何及近似計算知識，都屬初等數(shù)學(xué)知識。再由于筆者所用方法和所得結(jié)果與史書一些記載資料相吻合，因此筆者認(rèn)為，祖沖之的結(jié)論是其證明出來的，并且他把證明的方法藏在了結(jié)果里。

和上一篇一樣，冒昧獻(xiàn)丑，方法繁瑣笨重，不得要領(lǐng)。歡迎批評指正。

這篇文章結(jié)束了。借此機(jī)會筆者要對文章《再現(xiàn)肭數(shù)和盈數(shù)》作一點(diǎn)補(bǔ)充。

結(jié)論：圓的周長介于其內(nèi)接和外切正多邊形之間。

證明：

圓心o,AB是內(nèi)接

正多邊形的一條邊，

CD是外切正多邊形

的一條邊。F是切點(diǎn)。

AE=BE,CF=DF

AB∥CD

記扇形OAFB的面積為s,圓弧段AB的長度為t，圓的半徑為R

t>AB (兩點(diǎn)間線段最短)

s1=0.5×CD×OF

=0.5×CD×R

s=0.5×t×R

s1>s

∴CD>t

∴ AB

證畢。

[1] 楊文興.再現(xiàn)朒數(shù)和盈數(shù)[J].邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2015，(2)

[2] 華羅庚.從祖沖之的圓周率談起[M].北京：科學(xué)出版社，2002

[3] 王海坤，葛麗.祖沖之是怎樣計算圓周率的[J].數(shù)學(xué)通訊， 2013，(4)

[4] 曲安京.祖沖之是怎樣得到圓周率π=355/113的[J].自然辯證法通訊，2002，(3)

[5] 王青建.祖沖之的影響與現(xiàn)代數(shù)學(xué)史教育[J]數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2001，(5)

[責(zé)任編校：張彩紅]

更正聲明

文章《再現(xiàn)朒數(shù)和盈數(shù)》(見《邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報》2015第2期)近末尾處，

關(guān)于不同情況下圓周率的估計計算部分，結(jié)果不正確。正確的結(jié)果如下：

K= 11 yx= 14時

C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 0 1 7 6 3 8 4

A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 7 6 4 5 8 6 8 4

K= 11 yx= 15時

C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 1 3 7 9 9 9 3 6

A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 7 2 8 4 9 6 9 7 6

K= 11 yx= 16時

C(pi)=3 1 4 1 5 9 2 6 1 9 2 0 9 7 2 8 0

A(pi)=3 1 4 1 5 9 2 7 2 2 4 8 3 8 4 1 3

K= 11 yx= 17時

C(pi)=3 1 4 1 5 9 2 6 1 9 3 2 9 9 0 4 6 4

A(pi)=3 1 4 1 5 9 2 7 2 2 0 6 3 2 8 4 2 9

K= 11 yx= 18時

C(pi)= 3 1 4 1 5 9 2 6 1 9 3 5 9 9 5 4 9 4 4

A(pi)= 3 1 4 1 5 9 2 7 2 2 0 3 9 1 9 9 7 8 4

***********************************

K= 12 yx= 14時

C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 4 8 1 5 8 7 2 0

A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 7 4 7 7 3 1 6 9

K= 12 yx= 15時

C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 2 5 8 1 1 4 5 6

A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 9 9 5 5 0 4 2 2

K= 12 yx= 16時

C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 4 2 6 3 9 8 7 2 0

A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 7 3 1 1 5 2 4 4 9

K= 12 yx= 17時

C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 4 4 8 0 3 2 9 7 2 8

A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 7 0 9 5 2 4 3 3 8 8

K= 12 yx= 18時

C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 4 5 0 1 9 6 8 8 9 6 0

A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 7 0 7 1 2 0 3 1 4 4 0

楊文興

2015-12-12

楊文興，男，河北邢臺人，邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授。

O112

A

1009-5462(2015)04-0035-11