周素靜，徐寶林，劉冬華，郭文秀

(鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 鄭州 450052)

0 引言

本文的案例來(lái)源于2013 年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的D 題。

公共自行車(chē)作為一種環(huán)保、節(jié)能、健康的出行方式，正在全國(guó)許多城市推廣與普及。在公共自行車(chē)服務(wù)系統(tǒng)中，自行車(chē)租賃站點(diǎn)的位置及鎖樁和自行車(chē)數(shù)量的配置，對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行效率與用戶的滿意度有重要的影響。

題目附件1［6］為浙江省溫州市鹿城區(qū)公共自行車(chē)管理中心提供的某20 天借車(chē)和還車(chē)的原始數(shù)據(jù)，所給站點(diǎn)的地理位置參見(jiàn)附件2［6］。在搞清楚公共自行車(chē)服務(wù)模式和使用規(guī)則的基礎(chǔ)上，根據(jù)附件提供的數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型，討論以下問(wèn)題:

(1)找出合計(jì)用車(chē)次數(shù)最大的一天;定義兩站點(diǎn)間的距離并計(jì)算已知站點(diǎn)中每?jī)烧军c(diǎn)間的距離。

(2)統(tǒng)計(jì)用車(chē)次數(shù)最多的一天各站點(diǎn)的借車(chē)高峰時(shí)段和還車(chē)高峰時(shí)段，在地圖上標(biāo)注或列表給出高峰時(shí)段各站點(diǎn)的借車(chē)頻次和還車(chē)頻次，并對(duì)具有共同借車(chē)高峰時(shí)段和還車(chē)高峰時(shí)段的站點(diǎn)分別進(jìn)行歸類(lèi)。

根據(jù)公共自行車(chē)服務(wù)模式和使用規(guī)則以及溫州市鹿城區(qū)公共自行車(chē)服務(wù)指南，結(jié)合實(shí)際情況，作出如下假設(shè):

(1)附件1［6］中的數(shù)據(jù)能夠反映該城區(qū)公共自行車(chē)服務(wù)系統(tǒng)的現(xiàn)狀;

(2)附件1［6］中借出車(chē)站號(hào)和還車(chē)車(chē)站號(hào)相同，且用車(chē)時(shí)長(zhǎng)小于等于1 分鐘的記錄為無(wú)效記錄，建立模型時(shí)不予考慮;

(3)附件1［6］中還車(chē)車(chē)站號(hào)為0 的記錄，認(rèn)為該車(chē)丟失或損壞，統(tǒng)計(jì)借車(chē)頻次時(shí)有效，而統(tǒng)計(jì)還車(chē)頻次時(shí)無(wú)效;

(4)每次用車(chē)時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)24 小時(shí)(即1440 分鐘)的數(shù)據(jù)為有效數(shù)據(jù);

(5)各站點(diǎn)所提供的自行車(chē)型號(hào)相同，且每位用車(chē)人的車(chē)速基本相同，為12km/h。

根據(jù)以上假設(shè)，首先對(duì)附件1［6］中借車(chē)和還車(chē)的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，把借出車(chē)站號(hào)與還車(chē)車(chē)站號(hào)相同且用時(shí)小于等于1 分鐘的記錄以及每次用車(chē)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)24 小時(shí)的記錄刪除，得到20 天數(shù)據(jù)的預(yù)處理表。

對(duì)于問(wèn)題(1)，找出用車(chē)次數(shù)最大的一天，定義兩站點(diǎn)間的距離，并以該天的數(shù)據(jù)計(jì)算出已知站點(diǎn)中每?jī)牲c(diǎn)間的距離，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果分析目前該區(qū)站點(diǎn)的設(shè)置是否合理。

對(duì)于問(wèn)題(2)，利用spss 統(tǒng)計(jì)出用車(chē)次數(shù)最多的一天各站點(diǎn)的借車(chē)最高時(shí)段和還車(chē)高峰時(shí)段及頻次，并對(duì)具有共同借車(chē)高峰時(shí)段和還車(chē)高峰時(shí)的站點(diǎn)分別根據(jù)借、還車(chē)頻次進(jìn)行聚類(lèi)分析。然后利用聚類(lèi)分析的結(jié)果評(píng)價(jià)各站點(diǎn)的自行車(chē)數(shù)量和鎖樁數(shù)配置是否合理，并給出高峰時(shí)段站點(diǎn)間自行車(chē)的調(diào)配方案。

1 兩站點(diǎn)距離模型的建立與求解

(1)數(shù)據(jù)的預(yù)處理

由假設(shè)2 和假設(shè)4 可知，每次用車(chē)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)24小時(shí)，以及借出車(chē)站號(hào)與還車(chē)車(chē)站號(hào)相同且用車(chē)時(shí)長(zhǎng)小于等于1 分鐘的為無(wú)效租車(chē)記錄，所以要對(duì)附件1［6］中借車(chē)和還車(chē)的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。將20 天的數(shù)據(jù)表導(dǎo)入軟件spss，利用數(shù)據(jù)篩選功能，刪除上述兩類(lèi)記錄，得到20 天借車(chē)與還車(chē)數(shù)據(jù)的預(yù)處理表，并將它們導(dǎo)入spss，建立spss 數(shù)據(jù)文件。

由數(shù)據(jù)表統(tǒng)計(jì)可知:20 天中每次用車(chē)時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)30 分鐘的占98%;第13 天的合計(jì)使用公共自行車(chē)次數(shù)最多，為38800 次。

(2)計(jì)算兩站點(diǎn)之間的距離，并求出最長(zhǎng)距離和最短距離

由于實(shí)際城市交通中兩站點(diǎn)間有不同的路線，為了更好地與實(shí)際交通情形一致，兩站點(diǎn)的距離可以用一定時(shí)段內(nèi)(比如一周或有代表性的一天)兩站點(diǎn)間的平均用車(chē)時(shí)長(zhǎng)與車(chē)速的乘積來(lái)計(jì)算。記自行車(chē)的平均車(chē)速為v;第13 天兩站點(diǎn)間所有有效借車(chē)記錄中的用車(chē)時(shí)長(zhǎng)的平均值為ˉt;兩站點(diǎn)間的距離記為d;兩不同站點(diǎn)之間所有有效借車(chē)記錄中的用車(chē)時(shí)長(zhǎng)分別為t1，t2，…，tm，則有

其中，v 根據(jù)假設(shè)5 取為12m/h。

利用第13 天借車(chē)、還車(chē)數(shù)據(jù)，按定義(1)，利用matlab 編程求任意兩不同站點(diǎn)之間的距離及平均距離，得到平均距離為3.5349km，各站點(diǎn)間的距離如表1 所示。

表1 不同站點(diǎn)間的距離 (單位:km)

從表1 可以看出，站點(diǎn)號(hào)為123 的杏花路十七中路口與站點(diǎn)號(hào)為5 的星河廣場(chǎng)之間的距離最長(zhǎng)，為74.8km;最短距離為0.2km，對(duì)應(yīng)的站點(diǎn)號(hào)有兩對(duì)，分別為98 的市公安局與106 的金橋路桃源、34的廣信大廈與174 的信河嘉會(huì)里路口站。

根據(jù)國(guó)內(nèi)外調(diào)查研究，出行距離為200～300m時(shí)，人們通常會(huì)選擇步行方式;出行距離為0.5～5.5km時(shí)人們會(huì)選擇公共自行車(chē)方式。所以為了方便市民出行和提高公共自車(chē)服務(wù)系統(tǒng)的效率，兩公共自行車(chē)站點(diǎn)的距離以0.3～5.5km 比較合理。由前面的計(jì)算可知，溫州市鹿城區(qū)公共自行車(chē)服務(wù)系統(tǒng)中所有站點(diǎn)間的平均距離為3.5349km，在合理距離范圍內(nèi)，這說(shuō)明該系統(tǒng)站點(diǎn)的設(shè)置是基本合理的。對(duì)于距離較大的站點(diǎn)，可再結(jié)合附件2 所給站點(diǎn)的地理位置及周邊自行車(chē)站點(diǎn)的具體情況，適當(dāng)增加一些站點(diǎn)。例如，站點(diǎn)號(hào)為118 的上陡門(mén)住宅公交站和站點(diǎn)號(hào)為149 的均瑤賓館對(duì)面的距離為20.2km，且中間站點(diǎn)比較少，可以在這兩點(diǎn)間合適的位置增加新站。

2 借車(chē)與還車(chē)高峰時(shí)段分析模型的建立與求解

首先，將第13 天數(shù)據(jù)表中的借車(chē)時(shí)刻和還車(chē)時(shí)刻進(jìn)行整點(diǎn)處理(例如，17:00:00-17:59:59 轉(zhuǎn)換成17 點(diǎn)，按17-18 時(shí)段統(tǒng)計(jì))，然后利用spss 的交叉列聯(lián)表功能對(duì)第13 天各個(gè)站點(diǎn)借車(chē)和還車(chē)的時(shí)段進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到各站點(diǎn)的借車(chē)高峰時(shí)段和還車(chē)高峰時(shí)段，及相應(yīng)時(shí)段的借、還車(chē)頻次(如表2 所示)。

表2 各站點(diǎn)的借車(chē)和還車(chē)高峰時(shí)段及相應(yīng)的借車(chē)頻次和還車(chē)頻次(按各站點(diǎn)借車(chē)高峰時(shí)段的借車(chē)頻次排序)

圖1 具有相同借車(chē)、還車(chē)高峰時(shí)段的站點(diǎn)數(shù)

對(duì)表2 進(jìn)一步分析，統(tǒng)計(jì)出各借車(chē)高峰時(shí)段和還車(chē)高峰時(shí)段的站點(diǎn)數(shù)，如圖1 所示?？梢钥闯鼋柢?chē)高峰時(shí)段在7-8、17-18 和9-10 時(shí)段的車(chē)站較多;還車(chē)高峰時(shí)段在8-9 和17-18 時(shí)段的車(chē)站較多。將各站點(diǎn)借、還車(chē)高峰時(shí)段的借車(chē)頻次和還車(chē)頻次標(biāo)注在該區(qū)的交通圖上，如圖2 所示。將這些數(shù)據(jù)和圖上傳到網(wǎng)上，可以方便市民出行時(shí)選擇合適的路線，避開(kāi)高峰站點(diǎn)，及時(shí)租到自行車(chē)。另外，從借車(chē)高峰時(shí)段的借車(chē)頻次來(lái)看，街心公園和五馬美食林的借車(chē)頻次分別為154 次和119 次，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于該站自行車(chē)的鎖樁數(shù)40 個(gè)，即使按每次用車(chē)時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)30 分鐘，仍然不能滿足需求，需要增加自行車(chē)和鎖樁數(shù)或者在高峰時(shí)段從相鄰的用車(chē)頻次較低的車(chē)站調(diào)運(yùn)車(chē)輛;用車(chē)頻次在50～70 次的站點(diǎn)(如開(kāi)太百貨等)，高峰時(shí)段的用車(chē)頻次與配備的自行車(chē)和鎖樁數(shù)基本相符，說(shuō)明這些站的設(shè)施基本滿足需求。

圖2 各站點(diǎn)借、還高峰時(shí)段的借車(chē)頻次和還車(chē)頻次

3 具有相同借車(chē)高峰時(shí)段、還車(chē)高峰時(shí)段的站點(diǎn)的聚類(lèi)分析模型

為了研究各站點(diǎn)的自行車(chē)數(shù)量和鎖樁數(shù)等設(shè)施設(shè)置是否合理，以及如何在高峰時(shí)段合理調(diào)度自行車(chē)，下面用聚類(lèi)分析法對(duì)幾個(gè)主要借車(chē)高峰時(shí)段和還車(chē)高峰時(shí)段的站點(diǎn)進(jìn)行聚類(lèi)分析。

設(shè)具有相同借車(chē)(或還車(chē))高峰時(shí)段的站點(diǎn)數(shù)為n，利用spss 的交叉列聯(lián)表分析功能，統(tǒng)計(jì)出借車(chē)高峰時(shí)段在該站點(diǎn)的借車(chē)頻次和還車(chē)頻次，分別記為xi，yi(i=1，2，…，n)，則兩站點(diǎn)的歐式距離為:

定義兩站點(diǎn)的“親疏程度”用它們的歐式距離表示。

(1)借車(chē)高峰時(shí)段為7-8 時(shí)的站點(diǎn)的聚類(lèi)分析

利用spss 統(tǒng)計(jì)出7-8 時(shí)借車(chē)高峰時(shí)段的43 個(gè)站點(diǎn)的借車(chē)頻次和還車(chē)頻次，利用K-Means 聚類(lèi)分析法得到的聚類(lèi)分析結(jié)果如表3 所示。

表3 借車(chē)高峰時(shí)段為7-8 時(shí)的站點(diǎn)的聚類(lèi)分析結(jié)果

從表3 可以看出，這一時(shí)段類(lèi)型1 和類(lèi)型2 的借車(chē)頻次均不超過(guò)40，如果每次用車(chē)時(shí)長(zhǎng)按30 分鐘計(jì)，這兩類(lèi)中的站點(diǎn)配置20 輛自行車(chē)和30 個(gè)鎖樁即可基本滿足需要，對(duì)照目前的鎖樁數(shù)，可以看出這些站點(diǎn)目前的設(shè)施基本滿足需求;類(lèi)型1 中的站點(diǎn)借車(chē)頻次明顯高于還車(chē)頻次，容易造成無(wú)車(chē)可借的情形，實(shí)際運(yùn)行中可以適當(dāng)從其它站點(diǎn)調(diào)運(yùn)車(chē)輛以滿足這一時(shí)段的需求;類(lèi)型3 中借、還車(chē)頻次均不超過(guò)20，說(shuō)明這些站點(diǎn)不是用車(chē)繁忙的站點(diǎn)，配置10輛自行車(chē)和鎖樁數(shù)基本可以滿足需要，而目前這些站點(diǎn)的鎖樁數(shù)均不小于20，因此這些站點(diǎn)的設(shè)施即使是在高峰期也是富余的，在這一時(shí)段可將多余的車(chē)輛調(diào)往附近用車(chē)量大的站點(diǎn)。

(2)借車(chē)高峰時(shí)段為17-18 時(shí)的站點(diǎn)的聚類(lèi)分析

利用spss 統(tǒng)計(jì)出17-18 時(shí)借車(chē)高峰時(shí)段的78個(gè)站點(diǎn)的借車(chē)頻次和還車(chē)頻次，利用K-Means 聚類(lèi)分析得到的結(jié)果如表4 所示。

表4 借車(chē)高峰時(shí)段為17-18 時(shí)的站點(diǎn)的聚類(lèi)分析結(jié)果

從表4 可以看出，類(lèi)型3 中的站點(diǎn)借車(chē)頻次和還車(chē)頻次基本相同，借車(chē)和還車(chē)的頻次均不超過(guò)60，如果每次用車(chē)時(shí)長(zhǎng)按30 分鐘計(jì)，這些站點(diǎn)合理的自行車(chē)數(shù)量和鎖樁數(shù)應(yīng)為30，對(duì)照目前的設(shè)施大部分站點(diǎn)的鎖樁數(shù)為30 或40，基本滿足要求，對(duì)于一些鎖樁數(shù)為20 的站點(diǎn)，需要適當(dāng)增加一些車(chē)輛和鎖樁數(shù)或?qū)⒏浇军c(diǎn)的車(chē)輛調(diào)度到這些站來(lái)滿足這一時(shí)段的需求;類(lèi)型2 中的站點(diǎn)借車(chē)頻次遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于還車(chē)頻次，且用車(chē)頻次均高于70，即使每次用車(chē)時(shí)長(zhǎng)按30 分鐘計(jì)，合理的自行車(chē)數(shù)量和鎖樁數(shù)應(yīng)不少于40，這一數(shù)值高于絕大部分站點(diǎn)目前的設(shè)施數(shù)，說(shuō)明目前的設(shè)施不能滿足要求，需要適當(dāng)增加一些車(chē)輛和鎖樁數(shù);類(lèi)型1 中的站點(diǎn)借車(chē)頻次略高于還車(chē)頻次，且均為30 左右，合理的設(shè)施配置和目前的基本相同，可以認(rèn)為這些站點(diǎn)的設(shè)施基本能滿足要求。

(3)還車(chē)高峰時(shí)段為8-9 時(shí)的站點(diǎn)的聚類(lèi)分析

利用spss 統(tǒng)計(jì)出8-9 時(shí)還車(chē)高峰時(shí)段62 個(gè)站點(diǎn)的借車(chē)頻次和還車(chē)頻次，利用K-Means 聚類(lèi)分析得到的結(jié)果如表5 所示。

表5 還車(chē)高峰時(shí)段為8-9 時(shí)的站點(diǎn)的聚類(lèi)分析結(jié)果

從表5 可以看出，三個(gè)類(lèi)型在這一時(shí)段的還車(chē)頻次均大于借車(chē)頻次。類(lèi)型2 和類(lèi)型3 中的站點(diǎn)借車(chē)頻次均不超過(guò)40，合理的自行車(chē)的數(shù)量和鎖樁數(shù)應(yīng)為20～30，對(duì)比目前這些站點(diǎn)的鎖樁數(shù)，可以認(rèn)為這些站點(diǎn)的設(shè)施是基本滿足用車(chē)需要的;類(lèi)型1 中的站點(diǎn)借車(chē)頻次雖然高于50，配置自行車(chē)的數(shù)量應(yīng)不少于30，且由于還車(chē)頻次明顯高于借車(chē)頻次，所以這些站點(diǎn)需要適當(dāng)增加鎖樁數(shù)以滿足這一時(shí)段的需求。

(4)還車(chē)高峰時(shí)段為17-18 時(shí)的站點(diǎn)的聚類(lèi)分析

利用spss 統(tǒng)計(jì)出17-18 時(shí)還車(chē)高峰時(shí)段60 個(gè)站點(diǎn)的借車(chē)頻次和還車(chē)頻次，利用K-Means 聚類(lèi)分析得到的結(jié)果如表6 所示。

表6 還車(chē)高峰時(shí)段為17-18 時(shí)的站點(diǎn)的聚類(lèi)分析結(jié)果

從表6 可以看出，三個(gè)類(lèi)型在這一時(shí)段的還車(chē)頻次均大于借車(chē)頻次。類(lèi)型1 中各站點(diǎn)的借車(chē)頻次均不超過(guò)40，合理的自行車(chē)數(shù)量和鎖樁數(shù)應(yīng)為20，對(duì)照目前的設(shè)施，可以認(rèn)為這些站點(diǎn)的設(shè)施是基本滿足用車(chē)需要的;類(lèi)型2 中的站點(diǎn)借車(chē)頻次和還車(chē)頻次基本相當(dāng)，且借車(chē)頻次高于50，說(shuō)明這些站點(diǎn)配置30 輛自行車(chē)和鎖樁數(shù)比較合理，所以對(duì)于部分鎖樁數(shù)為20 的站點(diǎn)需要適當(dāng)增加車(chē)輛數(shù)和鎖樁數(shù)來(lái)滿足這一時(shí)段的需求;類(lèi)型3 中的站點(diǎn)借車(chē)頻次小于20，說(shuō)明目前這些站點(diǎn)的設(shè)施在這一時(shí)段是富余的，可以將車(chē)輛調(diào)到臨近用車(chē)緊張的站點(diǎn)去。

［1］韓中庚.數(shù)學(xué)建模實(shí)用教程［M］.北京:高等教育出版社，2012.

［2］薛薇.SPSS 統(tǒng)計(jì)分析方法及應(yīng)用(第二版)［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2009.

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