1階復(fù)結(jié)構(gòu)形變中產(chǎn)生Bott-Chern上同調(diào)群和Aeppli上同調(diào)群維數(shù)跳躍的障礙公式的解析證明

林潔珠，葉軒明

（1.廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)與交叉學(xué)科廣東普通高校重點實驗室，廣州510006 2.中山大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣州510275）

1階復(fù)結(jié)構(gòu)形變中產(chǎn)生Bott-Chern上同調(diào)群和Aeppli上同調(diào)群維數(shù)跳躍的障礙公式的解析證明

林潔珠1，葉軒明2

（1.廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)與交叉學(xué)科廣東普通高校重點實驗室，廣州510006 2.中山大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣州510275）

設(shè)X為一個緊致復(fù)流形，考慮X的任一復(fù)結(jié)構(gòu)形變族π：X→B，則X的Bott-Chern上同調(diào)群和Aeppli上同調(diào)群的維數(shù)在此變化過程中可能產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象.在文獻(xiàn)［1］中，Schweitzer將Bott-Chern上同調(diào)群和Aeppli上同調(diào)群表示成為某一個層鏈L·p,q的上同調(diào)群.在文獻(xiàn)［2］中，作者通過研究X各階形變中與L·p,q［1］擬同構(gòu)的層鏈B·p,q的超上同調(diào)群等價類元素在延拓過程中的障礙來研究這一跳躍現(xiàn)象，得到了產(chǎn)生此障礙的公式.本文將給出1階障礙公式的另一個用L·p,q上同調(diào)計算的解析證明.

Bott-Chern上同調(diào)群；Aeppli上同調(diào)群；復(fù)結(jié)構(gòu)形變；障礙；Kodaira Spencer類

0引言

設(shè)X為一緊致復(fù)流形，π：X→B是以復(fù)流形X為中心纖維的復(fù)結(jié)構(gòu)形變簇.記在t∈B點處的π的纖維為Xt=π-1（t）（關(guān)于復(fù)結(jié)構(gòu)形變簇的介紹，讀者可以參考文［3-4］）.記X的Bott-Chern上同調(diào)群和Aeppli上同調(diào)群分別為H（X）和H（X），他們的維數(shù)h（X）和h（X）是重要的復(fù)結(jié)構(gòu)不變量.在文獻(xiàn)［5］中，Angella討論了Iwasawa流形在小的復(fù)結(jié)構(gòu)形變中，h（X）和h（X）的變化情況，給出了一個在小復(fù)結(jié)構(gòu)形變過程中，h（X）和h（X）產(chǎn)生跳躍的例子.

在文獻(xiàn)［1］中，Schweitzer將Bott-Chern上同調(diào)群和Aeppli上同調(diào)群表示成為某一個層鏈L的上同調(diào)群；他還引進(jìn)了另一個層鏈B，并證明了該層鏈與［1］是擬同構(gòu)的.這意味著可以通過研究層鏈的超上同調(diào)的跳躍現(xiàn)象來研究（X）和（X）的跳躍，提供了研究Bott-Chern上同調(diào)群和Aeppli上同調(diào)群的重要工具.在文獻(xiàn)［1］中，我們找出了在無窮小復(fù)結(jié)構(gòu)形變中，（X）和（X）發(fā)生跳躍現(xiàn)象的“原因”.從障礙理論的角度去研究這個問題，確切地說，給定一個復(fù)流形X，現(xiàn)考慮它的一個以底空間B為參數(shù)空間的復(fù)結(jié)構(gòu)形變族X，對于X任一的超上同調(diào)Hl（X,）的等價類［θ］.找出將這個元素延拓成為相對超上同調(diào)群Hl（X,）里的一個等價類的障礙，并稱那些有非平凡障礙的元素為障礙元素.實際上，這些元素在研究無窮小復(fù)結(jié)構(gòu)形變（X）和（X）發(fā)生跳躍的現(xiàn)象中將扮演重要角色.因為這類元素的存在，是無窮小復(fù)結(jié)構(gòu)形變中（X）和（X）發(fā)生變化的充分條件（關(guān)于Hodge數(shù)和切層上同調(diào)群維數(shù)在復(fù)結(jié)構(gòu)變化過程中的障礙理論可參考文獻(xiàn)［6］、［7］）.

在文獻(xiàn)［2］中，解釋了障礙元素和超上同調(diào)群Hl（X,）維數(shù)（從而也就是（X）和（X））發(fā)生跳躍現(xiàn)象的關(guān)系如下.

定理0.1［2］設(shè)π：X→B是以緊復(fù)流形X為中心纖維的復(fù)結(jié)構(gòu)形變族.現(xiàn)在考慮以t∈B為變量的函數(shù)dimHl（X（t）,B）.此函數(shù)將在t=0發(fā)生跳躍（減少）當(dāng)且僅當(dāng)存在Hl（X,）或者Hl-1（X,）中的等價類［θ］和一個自然數(shù)n≥1使得該元素的n階障礙

同時，還得到計算障礙on（［θ］）的一個公式.

定理0.2［2］設(shè)π：X→B是π-1（0）=X的一個復(fù)結(jié)構(gòu)形變族，其中X是一個緊復(fù)流形.令πn：Xn→Bn為X的n階無窮小形變.對于上同調(diào)群Hl（X,B）的任一等價類［θ］，如果，能將其延拓到n-1階，即將其延拓為上同調(diào)群Hl（Xn-1,；Xn-1/Bn-1）中的一個等價類［θn-1］，則將［θ］延拓到n階的障礙是

其中κn是n階Kodaira-Spencer類（關(guān)于n階Kodaira-Spencer類的定義，可參考文獻(xiàn)［8］）ˉκn是→的n階Kodaira-Spencer類.是在文獻(xiàn)［2］中定義的在同調(diào)群間的映射.

定理0.3［2］設(shè)π：X→B是π-1（0）=X的一個復(fù)結(jié)構(gòu)形變族，其中X是一個緊復(fù)流形.令πn：Xn→Bn為X的n階無窮小形變.如果存在上同調(diào)群H（X）的一等價類［θ1］或者存在上同調(diào)群H（X）的一等價類［θ2］和一個自然數(shù)n≥1使得on（［θ1］）/= 0或者on（［θ2］）/=0，則h（X（t））會在0點發(fā)生跳躍.其中on（［θ1］）和on（［θ2］）由下面公式給出：

定理0.4［2］設(shè)π：X→B是π-1（0）=X的一個復(fù)結(jié)構(gòu)形變族，其中X是一個緊復(fù)流形.令πn：Xn→Bn為X的n階無窮小形變.如果存在上同調(diào)群（X）的一等價類［θ2］或者存在上同調(diào)群Hq+p-2（X,B）的一等價類［θ3］和一個自然數(shù)n≥1使得on（［θ2］）/=0或者on（［θ3］）/=0，則（X（t））會在0點發(fā)生跳躍.其中on（［θ2］）和on（［θ3］）由下面公式給出：

公式中各個算子的定義請參看文獻(xiàn)［2］.

在本文中，將給出以上定理0.3和定理0.4中的障礙公式在n=1的時候的一個用層鏈的上同調(diào)群計算的證明.在n=1時，以上的障礙公式變?yōu)椋簩τ谌我饨o定的方

1.o1（θ1,V0）為Hq+p（X,）中的

2.o1（θ2,V0）為H（X）中的

3.o1（θ3,V0）為（X）中的

在下文中，將給出上面1-3的證明.在此之前，先介紹一下有關(guān)Bott-Chern上同調(diào)群和Aeppli上同調(diào)群的一些結(jié)果.

1關(guān)于Bott-Chern上同調(diào)群和Aeppli上同調(diào)群

下文中關(guān)于Bott-Chern上同調(diào)群和Aeppli上同調(diào)群的結(jié)果都可以在文獻(xiàn)［1］中找到.令X為一緊致復(fù)流形.我們知道Dolbeault上同調(diào)群Hp,qˉ?（X）或更一般的Fr?licher譜序列［9］中的（X）都是復(fù)流形的有限維不變量；另一方面在文獻(xiàn)［10-11］定義的Bott-Chern上同調(diào)群和Aeppli上同調(diào)群給出了更多的X的復(fù)結(jié)構(gòu)不變量，它們的定義分別為

和

由Hodge定理知道，所有的這些不變量都是有限維并且有這樣的同構(gòu)

和鏈算子

其中嵌入S·?L·是一個擬同構(gòu)［1］.

文獻(xiàn)［1］中還構(gòu)造了另一個層鏈B·p,q是

由此得到下面在超上同調(diào)的同構(gòu)

和

2關(guān)于o1（θ?,V0），其中?∈｛1,2,3｝

現(xiàn)考慮復(fù)結(jié)構(gòu)形變簇π：X→B，其中π-1（0）=X，X為緊復(fù)流形.記令C為B上的復(fù)值實解析函數(shù)層，為X上的在π的纖維方向為全純，B方向上是實解析的復(fù)值函數(shù)層.為X上的在π的纖維方向為反全純，B方向上是實解析的復(fù)值函數(shù)層.令m為C，的極

對于任意的群Hl（X,）中的等價類［θ］，我們希望將［θ］延拓成為一個-閉的截面θt（其中，dt是Xt上的層鏈的第l階微分算子）.現(xiàn)在，考慮以下的短正合列

這個短正合列誘導(dǎo)了下面的長正合列

和

所以，有

因此，如果取定方向V0之后，能對θ?進(jìn)行一階延拓當(dāng)且僅當(dāng)在Hl+1（X,）中的δ?（θ?）（V0）是平凡的.稱o1（θ?,V0）=δ?（θ?）（V0）為一階障礙，并且我們將給出其具體的計算公式.

和鏈算子

由前一節(jié)的討論知道，為了計算o1（θ?,V0），要考慮正合列（1），因為希望通過相對比較直觀解析的方法來計算這個障礙.但是因為沒有相應(yīng)的零調(diào)層分解，所以考慮下面這個層鏈正合列

而不是正合列（1）.短正合列（2）誘導(dǎo)了下面的長正合列

以及連接映射

另一方面，因為有短正合列

誘導(dǎo)的映射

不難驗證

因此，為了計算δ?（［θ］），不能只考慮δ?∞（［θ］），還需要考慮如何求映射φ.

現(xiàn)考慮如下映射

其中，φ′的具體定義如下，對于任意的Hl+1（X,M?B）中的等價類［ωt］.定義φ′（［ωt］）為TB→Hl+1（X,B））映射如下：令?t為的一個截面，滿足其商映射φ的象為ωt.取定V0后，定義

其中，LV為X上的Lie導(dǎo)數(shù)，V為X的光滑切向量場，且滿足π?（V）（0）=V0.關(guān)于以上映射，有以下引理.

引理3.1上述映射φ′是的定義是合理的，且有

證明首先我們要計算φ′.設(shè)B在0點附近的局部坐標(biāo)為ti，對于任意的Hl+1（X, M?）中的等價類［ωt］.

int（·）（·）表示切向量場和形式作內(nèi)積，而

設(shè)V纖維方向上的分量為VX，因為φ（int（VX）d?t）|X+φ（d（int（VX）（?t）））|X=0，所以得到

為了證明φ′的定義是合理的，我們需要證明：

（I）φ′（［ωt］）（V0）不依賴于等價類［ωt］的代表元ωt的選?。?/p>

（II）φ′（［ωt］）（V0）只依賴于向量場VX在0點的值；

（III）φ′（［ωt］）（V0）是閉的.

首先證明（II），給定V0，現(xiàn)考慮向量場V，滿足V為X的切向量場，且π?（V）（0）=V0.因為φ′（［ωt］）（V0）是取Lie導(dǎo)數(shù)，φ作用后再限制在X上，所以只依賴于V|X.且從上面計算可以看到，實際上φ′（［ωt］）（V0）只依賴于V0，而不依賴于V|X在X切向上的分量.

再看（I），現(xiàn)設(shè)ω′t為等價類［ωt］的另一個代表元.所以，存在的整體截面βt,i,，使得類似于前面的計算，

根據(jù)定義

對比前面的結(jié)果，得到φ′=φ.

有了以上的準(zhǔn)備，現(xiàn)在可以具體求o1（θ?,V0）（其中?∈｛1,2,3｝）的障礙公式了.現(xiàn)考慮上同調(diào)群Hl（X,）中的一個等價類［θ?］總是可以將θ?延拓為中的一個截面.根據(jù)前面分析，需要求δ?（θ?）.所以要求φ′?δ∞?（θ?）.根據(jù)定義即，要求一個整體截面，滿足，φ（?）為θ（其中φ為X上微分形式層到相對微分形式層自然的商映射）.根據(jù)以下記V在TX上的投影為V1，在ˉTX上的投影為V2，因為對于任意的（p,q）形式?p,q，有

則由映射φ′的定義，得到：

綜上所述，得到了所有障礙公式的證明.

［1］SCHWEITZER M.Autour de la cohomologie de Bott-Chern［J/OL］.arXiv：0709 3528v1，2007［2014-03-06］.http：//arxiv.org/abs/0709.3528.

［2］LIN J Z，YE X M.The jumping phenomenon of the dimensions of Bott-Chern cohomology groups and Aeppli cohomology groups［J/OL］.arXiv：1403 0285v2，2014［2014-03-06］.http：//arxiv.org/abs/1403.0285.

［3］KODAIRA K.Complex manifolds and deformation of complex structures［M］.New York：Springer，1986.

［4］VOISIN C.Hodge theory and complex algebraic geometry I［M］.London：Cambridge University Press，2002.

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［11］AEPPLI A.On the cohomology structure of Stein manifolds［J］，Proc Conf Complex Analysis（Minneapolis，Minn.，1964），1965：58-70.

（責(zé)任編輯李藝）

An analytic proof for the formula of the first order obstruction making the dimensions of Bott-Chern cohomology groups and Aeppli cohomology groups jumping

Lin Jie-zhu1，Ye Xuan-ming2
（1.School of Mathematics And Information Science，Guangzhou University，Key Laboratory of Mathematics，and Interdisciplinary Sciences of Guangdong Higher Education Institutes，Guangzhou510006，China；2.School of Mathematics and Computational Science，Sun Yat-sen University，Guangzhou510275，China）

Let X be a compact complex manifold，and let π：X→B be a small deformation of X，the dimensions of the Bott-Chern cohomology groups or Aeppli cohomology groups may vary under this deformation.In［1］，M.Schweitzer constructed a complex of sheaves L·p,q，and represented Bott-Chern cohomology groups or Aeppli cohomology groups as the cohomology groups of L·p,q.In［2］，the author have studied this jumping phenomenon by studying the deformation obstructions of a hyper cohomology class of a complex of sheaves B·p,qwhich is quasi-isomorphic to L·p,q［1］.In particular，theyobtain an explicit formula for the obstructions.In this paper，the formula of the first order obstruction is proved in another way by using cohomology of.

Bott-Chern cohomology；Aeppli cohomology；deformation；obstruction；kodaira spencer class

O186

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2015.01.010

1000-5641（2015）01-0084-11

2014-03

國家青年基金（11201090，11201491）；博士點新教師類項目（20124410120001，201201711 20009）；高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費青年教師培育項目（34000-3161248）

林潔珠，女，副教授，研究方向為數(shù)學(xué)物理、復(fù)微分幾何.E-mail：jlin@gzhu.edu.cn.

葉軒明，男，講師，研究方向為復(fù)幾何、復(fù)代數(shù)幾何.E-mail：yexm3@mail.sysu.edu.cn.